第二十三讲计数原理原卷版

这是一份第二十三讲计数原理原卷版，共9页。
1.排列与组合的概念
排列问题的解题策略
特殊元素优先安排的策略； （2）合理分类与准确分步的策略；
正难则反、等价转化的策略；（4）相邻问题捆绑处理的策略；
不相邻问题插空处理的策略；（6）定序问题除法处理的策略；
3.二项式定理
．
4.二项展开式的通项公式
二项展开式的通项：
公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；
②字母的次数和组合数的上标相同；③与的次数之和为．
二项式系数的性质
（1）对称性；（2）增减性与最大值；（3）二项式系数的和
【典型题型讲解】
考点一：排列、组合
【典例例题】
例1．（2022·广东中山·高三期末）男女六位同学站成一排，则位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2022·广东·铁一中学高三期末）高三一班周一上午有四节课，分别安排语文､数学､英语和体育.其中语文不安排在第一节，数学不安排在第二节，英语不安排在第三节，体育不安排在第四节，则不同的课表安排方法共有______种.
【方法技巧与总结】
排列、组合搞清楚区别
【变式训练】
1．（2022·广东清远·高三期末）为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度，降低新冠肺炎感染风险，某医院准备将3名医生和6名护士分配到3所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种新冠疫苗，若每所学校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法共有_______种．
2．（2022·广东惠州·一模）现有名学生报名参加校园文化活动的个项目，每人须报项且只报项，则恰有名学生报同一项目的报名方法有（ ）
A．种B．种C．种D．种
3．（2022·广东湛江·一模）为提高新农村的教育水平，某地选派4名优秀的教师到甲､乙､丙三地进行为期一年的支教活动，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（ ）
A．18种B．12种C．72种D．36种
4．（2022·广东韶关·一模）在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（ ）
A．100B．120C．300D．600
5．（2022·广东茂名·二模）某大学计算机学院的丁教授在2021年人工智能方向招收了6名研究生．丁教授拟从人工智能领域的语音识别、人脸识别、数据分析、机器学习、服务器开发共5个方向展开研究，每个方向均有研究生学习，每位研究生只参与一个方向的学习．其中小明同学因录取分数最高主动选择学习人脸识别，其余5名研究生均表示服从丁教授统一安排．则这6名研究生不同的分配方向共有（ ）
A．480种B．360种C．240种D．120种
6．（2022·广东·二模）某校安排高一年级（1）～（5）班共5个班去A，B，C，D四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高一（1）班被安排到A基地的排法总数为（ ）
A．24B．36C．60D．240
7.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
8.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种B．120种C．240种D．480种
9.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
10.已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为________
考点二：二项式定理
【典例例题】
例1．（2022·广东汕尾·高三期末）已知的展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，则的展开式中的常数项为（ ）
A．-240B．240C．-60D．60
例2．（2022·广东深圳·高三期末）的各项系数和为（ ）
A．B．27C．16D．
例3．（2022·广东揭阳·高三期末）（多选）已知二项式的展开式中各项的系数和为64，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式中的常数项为1
B．
C．展开式中二项式系数最大的项是第四项
D．展开式中的指数均为偶数
【方法技巧与总结】
1.在形如的展开式中求的系数，关键是利用通项求，则．
2.三项式的展开式：
若令，便得到三项式展开式通项公式：
，
其中叫三项式系数．
3.二项展开式二项式系数和：；奇数项与偶数项二项式系数和相等：．
系数和：赋值法，二项展开式的系数表示式：（是系数），令得系数和：．
【变式训练】
1．（2022·广东潮州·高三期末）的展开式中常数项是_________．
2．（2022·广东·一模）二项式展开式中的常数项为__________.
3．（2022·广东·珠海市第三中学二模）的展开式中，的系数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·广东汕头·二模）二项式展开式中，有理项共有（ ）项．
A．3B．4C．5D．7
5．（2022·广东汕头·高三期末）的展开式中的系数为________用数字填写答案
6．（2022·广东东莞·高三期末）的展开式中项的系数是（ ）
A．9B．10C．11D．12
7．（2022·广东佛山·高三期末）的展开式中，的系数为（ ）
A．80B．40C．D．
8.（2022·广东惠州·一模）若，则（ ）
B．0C．1D．2
9．（2022·广东广州·一模）的展开式中的系数为（ ）
A．60B．24C．D．
10．（2022·广东深圳·二模）（多选）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
11．（2022·广东茂名·二模）已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（ ）
A．所有奇数项的二项式系数和为B．所有项的系数和为
C．二项式系数最大的项为第6项或第7项D．有理项共5项
12.（2022·广东湛江·二模）的展开式中常数项为___________.
13.（2022·广东·普宁市华侨中学二模）(2+)(2＋x)5的展开式中x2的系数是____．(用数字作答）
14．（2022·广东潮州·二模）设，则______．
【巩固练习】
一、单选题
1．6名志愿者要到，，三个社区进行志愿服务，每个志愿者只去一个社区，每个社区至少安排1名志愿者，若要2名志愿者去社区，则不同的安排方法共有（ ）
A．105种B．144种C．150种D．210种
2．2022年3月中旬，新冠肺炎疫情突袭南昌，南昌市统一指挥，多方携手、众志成城，构筑起抗击疫情的坚固堡垒．某小区有小王、小张等5位中学生积极参加社区志愿者，他们被分派到测温和扫码两个小组，若小王和小张不同组，且他们所在的两个组都至少需要2名中学生志愿者，则不同的分配方案种数有（ ）
A．8B．10C．12D．14
3．甲乙丙丁四个同学星期天选择到东湖公园，西湖茶经楼，历史博物馆和北湖公园其中一处去参观游玩，其中茶经楼必有人去，则不同的参观方式共有（ ）种.
A．24B．96C．174D．175
4．若分配甲、乙、丙、丁四个人到三个不同的社区做志愿者，每个社区至少分配一人，每人只能去一个社区．若甲分配的社区已经确定，则乙与甲分配到不同社区的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．近日，各地有序开展新冠疫苗加强针接种工作，某社区疫苗接种点为了更好的服务市民，决定增派5名医务工作者参加登记､接种､留观3项工作，每人参加1项，接种工作至少需要2人参加，登记､留观至少1人参加，则不同的安排方式有（ ）
A．50B．80C．140D．180
6．甲､乙､丙等七人相约到电影院看电影《长津湖》，恰好买到了七张连号的电影票，若甲､乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（ ）
A．240B．192C．96D．48
7．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（ ）
A．48B．54C．60D．72
8．的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．D．
9．在的展开式中，含的项的系数为（ ）
A．-120B．-40C．-30D．200
10．的展开式中，的系数等于（ ）
A．B．C．10D．45
11．若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
12．已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的系数为（ ）
A．0B．C．120D．
二、多选题
13．已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
14．在二项式的展开式中，正确的说法是（ ）
A．常数项是第3项B．各项的系数和是1
C．偶数项的二项式系数和为32D．第4项的二项式系数最大
15．已知函数的定义域为．（ ）
A．
B．
C．
D．被8整除余数为7
16．已知，下列结论正确的是（ ）
A．
B．当时，设，则
C．当时，中最大的是
D．当时，
17．已知的展开式中含的系数为60，则下列说法正确的是（ ）
A．的展开式的各项系数之和为1B．的展开式中系数最大的项为
C．的展开式中的常数项为D．的展开式中所有二项式的系数和为32
三、填空题
18．甲、乙、丙三名志愿者需要完成A，B，C，D，E五项不同的工作，每项工作由一人完成，每人至少完成一项，且E工作只有乙能完成，则不同的安排方式有______种．
19．志愿团安排去甲､乙､丙､丁四个精准扶贫点慰问的先后顺序，一位志愿者说：不能先去甲，甲的困难户最多；另一位志愿者说：不能最后去丁，丁离得最远．他们共有多少种不同的安排方法____
20．将中国古代四大名著——《红楼梦》《西游记》《水浒传》《三国演义》，以及《诗经》等12本书按照如图所示的方式摆放，其中四大名著要求放在一起，且必须竖放，《诗经》《楚辞》《吕氏春秋》要求横放，若这12本书中7本竖放5本横放，则不同的摆放方法共有___________种.
21.5位学生被分配到3个志愿点作志愿者，每个志愿点至少分配一位学生，其中甲乙不能分配到同一个志愿点，则共有___________种不同的分配方式（用数字作答）.
22．有甲、乙、丙三项任务，甲、乙各需1人承担，丙需2人承担且至少1人是男生，现有2男2女共4名学生承担这三项任务，不同的安排方法种数是______．（用具体数字作答）
23.已知，则的值为___________.
24．已知的展开式中常数项为20，则___________.
名称
定义
排列
从个不同元素中取出（）个元素
按照一定的顺序排成一列
组合
合成一组