浙教版九年级下册1.3 解直角三角形精品综合训练题

这是一份浙教版九年级下册1.3 解直角三角形精品综合训练题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是
( )
A. 2B. 12C. 23D. 55
2.如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为AB的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为( )
A. 12B. 5C. 5 32D. 5 3
3.如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽(PT的长)可以表示为( )
A. 200tan70°米B. 200tan70∘米C. 200sin 70°米D. 200sin70∘米
4.如图，ΔABC是⊙O的内接正三角形，弦EF经过BC边的中点D，且EF//AB，若⊙O的半径为4 33，则DE的长为
( )
A. 3−1B. 5+12C. 5−1D. 3+12
5.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC= 3，那么∠B的度数是
( )
A. 15°B. 45°C. 30°D. 60°
6.我们给出定义：如果两个锐角的和为45∘，那么称这两个角互为半余角.如图，在△ABC中，∠A，∠B互为半余角，且BCAC= 22，则tanA的值为( )
A. 12B. 13C. 22D. 1010
7.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=16cm，AB的中垂线MN交AC于点D，连接BD，若cs∠BDC=35，则BC=( )
A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm
8.如图，一艘船由A港沿北偏东65∘方向航行30 2km至B港，然后再沿北偏西40∘方向航行至C港，C港在A港北偏东20∘方向上，则A，C两港之间的距离( )
A. (30+30 3)kmB. (30+10 3)kmC. (10+30 3)kmD. 30 3km
9.在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AD=m，∠A=α，那么BC的长为
( )
A. m⋅tanα⋅csα；B. m⋅ctα⋅csα；
C. m⋅tanαcsα；D. m⋅tanαsinα．
10.如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AD⊥BC于点D，BD= 3.若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为( )
A. 33
B. 32
C. 1
D. 62
11.如图，一科珍贵的乌稔树被台风“山竹”吹歪了，处于对它的保护，需要测量它的高度．现采取以下措施：在地面选取一点C，测得∠BCA=45°，AC=20米，∠BAC=60°，则这棵乌稔树的高AB约为(参考数据： 2≈1.4， 3≈1.7)( )
A. 7米B. 14米C. 20米D. 40米
12.已知点A(−2,0)，B(6,0)，C(0,m)，以BC为斜边按如图所示作Rt△PBC(B,P,C三点按顺时针方向排列)，使∠BPC=90°，tan∠BCP=2，连接AP，当线段AP的长最短时，点P的横坐标为( )
A. −1B. −25C. 1D. 45
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13.如图，Rt▵ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB，AB=6，BD=2，则CD的长为 ．
14.如图，Rt▵ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB，AB=6，BD=2，则CD的长为 ．
15. 如图，在△ABC中，sinB=13，tanC= 22，AB=3，则AC的长为 ．
16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，D是AB的中点，过点D作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=35，则DE= ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8.0分)
如图，AD是△ABC的中线，tanB=15，csC= 22，AC= 2.求：
(1) BC的长;
(2)∠ADC的正弦值．
18.(本小题8.0分)
如图，在A处的正东方向有一港口B.某巡逻艇从A处沿着北偏东60°方向巡逻，到达C处时接到命令，立刻在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B.求A，B间的距离．( 3≈1.73, 2≈1.4，结果保留一位小数)．
19.(本小题8.0分)
如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30°方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东60°方向上，测得港口C位于B的北偏东45°方向上.已知港口C在灯塔M的正北方向上．
(1)填空：∠AMB= ______ 度，∠BCM= ______ 度；
(2)求灯塔M到轮船航线AB的距离(结果保留根号)；
(3)求港口C与灯塔M的距离(结果保留根号)．
20.(本小题8.0分)
如图，在A处的正东方向有一港口B.某巡逻艇从A处沿着北偏东60°方向巡逻，到达C处时接到命令，立刻在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B.求A，B间的距离.( 3≈1.73, 2≈1.41，结果保留一位小数)
21.(本小题8.0分)
如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C.一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD=45°、∠C=37°.求轮船航行的距离AD.(参考数据：sin26°≈0.44，cs26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75.)
22.(本小题8.0分)
如下图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离(B、F、C在一条直线上)
(1)求教学楼AB的高度；
(2)学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离(结果保留整数)(参考数据：sin22°≈ 3 8，cs22°≈ 15 16，tan22°≈ 2 5)
23.(本小题8.0分)
如图1是一台电脑支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕B，C转动，测量知AB=10cm，BC=6cm，当AB，BC转动到∠ABC=90°时，∠BCD=37°时，求点A到CD的距离.(参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75)
24.(本小题8.0分)
如图，小华利用标杆和等腰直角三角尺测量楼高，他先在E处竖立一根高1.5米的标杆DE，发现地面上的点A、标杆顶端D与楼顶B在一条直线上，测得AE=1米；然后他站在F处利用等腰直角三角形测得视线GB与水平面的夹角∠BGM=45°，小华的眼睛到地面的距离GF=1.5米，AF=1.5米.已知点F、A、E、C在同一直线上，GF⊥FC，DE⊥FC，BC⊥FC.请根据以上所测数据，计算楼高BC．
25.(本小题8.0分)
(2021·北京·中考真题)如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90∘，点E在BC上，AE//DC,EF⊥AB，垂足为F．
(1)求证：四边形AECD是平行四边形；
(2)若AE平分∠BAC,BE=5,csB=45，求BF和AD的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：如图，取格点K，连接AK，BK．
观察图象可知AK⊥BK，BK=2AK，BK//CD，
∴∠AED=∠ABK，
∴tan∠AED=tan∠ABK=AKBK=12，
故选：B．
如图，取格点K，连接AK，BK.观察图象可知AK⊥BK，BK=2AK，BK//CD，推出∠AED=∠ABK，求出tan∠ABK即可．
本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
2.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查圆周角定理，垂径定理，关键是利用圆周角定理得出∠AOC=60°.连接OC、OA，利用圆周角定理得出∠AOC=60°，再利用垂径定理得出AB即可．
【解答】
解：连接OC交AB于点E，连接OA，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵点C为AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴AB=2AE，
在Rt△OAE中，OA=5，
∴AE=OA·sin60°=5 32，
∴AB=5 3，
故选D．
3.【答案】B
【解析】解：在Rt△PQT中，
∵∠QPT=90°，∠PQT=90°−70°=20°，
∴∠PTQ=70°，
∴tan70°=PQPT，
∴PT=PQtan70∘=200tan70∘，
即河宽200tan70∘米，
故选：B．
在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．
此题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了勾股定理以及垂径定理，等边三角形的性质，解直角三角形，三角形的中位线定理，利用垂径定理正确求得EF的长是解题的关键．根据等边三角形的性质求得圆的半径，然后根据中位线定理求得DG的长，利用勾股定理求得EG，即可求得EF的长，根据ED=EF−DG2即可求解．
【解答】
解：连接OC交EF于M，延长CM交AB于点H.连接OA，连接OE．
在直角△OAH中，AH=OA⋅cs30∘=4 33× 32=2，
∴AB=2AH=4，
又∵弦EF经过BC边的中点D，且EF//BA．
∴DG=12AB=2，
在直角△ACH中，CH=AC⋅sin60∘=4× 32=2 3，
∴OH=2 3−4 33=2 33，HM=12CH= 3，
∴OM=HM−OH= 33，
在直角△OME中，EM= OE2−OM2= 5，
∴EF=2 5，
∴ED=EF−DG2= 5−1．
故选C．
5.【答案】D
【解析】【分析】
考查直角三角形的边角关系，特殊锐角的三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是正确解答的前提．根据直角三角形的边角关系，求出tanB的值，再根据特殊锐角的三角函数值得出答案．
【解答】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵tanB=ACBC= 31= 3，
∴∠B=60°，
故选D．
6.【答案】B
【解析】解：过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，
∵BCAC= 22，
∴设BC= 2a，AC=2a，
∵∠A，∠ABC互为半余角，
∴∠A+∠ABC=45°，
∴∠DCB=∠A+∠ABC=45°，
在Rt△CDB中，BD=BC⋅sin45°= 2a⋅ 22=a，
CD=BC⋅cs45°= 2a⋅ 22=a，
∵AC=2a，
∴AD=AC+CD=2a+a=3a，
在Rt△ABD中，tanA=BDAD=a3a=13．
要求tanA的值，想到构造直角三角形，根据已知可得∠ACB的补角为45°，所以过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，分别在Rt△CDB和Rt△ABD中利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了余角和补角，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理，考查了锐角三角函数的定义．根据垂直平分线性质可知BD=AD，所以BD+CD=AC；根据cs∠BDC=35可求出BD和CD，从而根据勾股定理求出BC．
【解答】
解：∵MN为AB的中垂线，
∴BD=AD．
设AD=acm，
∴BD=acm，CD=(16−a)cm，
∴cs∠BDC=CDBD=16−aa=35，
∴a=10．
∴在Rt△BCD中，CD=6cm，BD=10cm，
∴BC=8cm．
故选C．
8.【答案】B
【解析】由题意，得∠CAB=65∘−20∘=45∘，
∠ACB=40∘+20∘=60∘，AB=30 2km．
如图，过B作BE⊥AC于E，
∴∠AEB=∠CEB=90∘.在Rt△ABE中，
∵∠ABE=45∘，AB=30 2km，
∴AE=BE= 22AB=30km．
在Rt△CBE中，
∵∠ACB=60∘，
∴CE= 33BE=10 3km，
∴AC=AE+CE=(30+10 3)km，
∴A，C两港之间的距离为(30+10 3)km.故选B．
9.【答案】C
【解析】略
10.【答案】C
【解析】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠B=45°，BD= 3，
∴AD=BD= 3，
∵∠C=60°，
∴DC=ADtan60∘= 3 3=1，
∴AC=2，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF=12AC=1．
故选：C．
由等腰直角三角形的性质求出AD=BD= 3，由锐角三角函数的定义求出DC=1，由三角形的中位线定理可求出答案．
本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，锐角三角函数，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：如图，作BH⊥AC于H．
∵∠BCH=45°，∠BHC=90°，
∴∠HCB=∠HBC=45°，
∴HC=HB，设HC=BH=xm，
∵∠A=60°，
∴AH= 33x，
∴x+ 33x=20，
∴x=10(3− 3)，
∴AB=2AH=2× 33×10(3− 3)≈14(m)
故选：B．
如图，作BH⊥AC于H.设BH=CH=x，构建方程即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用，勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
12.【答案】B
【解析】解：如图，在Rt△BPC中，tan∠PCB=PBPC=2，
∴PB=2PC，
设P(a,b)(由题意知，ab≤0)
过点P作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F，
∴E(a,0)，F(0,b)，∠PEB=∠PFC=90°，
∴四边形OEPF是矩形，
∴∠EPF=90°，
∵∠BPC=90°，
∴∠BPE=∠CPF，
∵∠PEB=∠PFC=90°，
∴△PEB∽△PFC，
∴BECF=PBPC=PEPF=2，
∴BE=2CF，PE=2PF，
∴|b|=2|a|，
∵ab