浙教版九年级下册1.2 锐角三角函数的计算精品随堂练习题

这是一份浙教版九年级下册1.2 锐角三角函数的计算精品随堂练习题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.若∠A是锐角，且csA=tan30∘，则( )
A. 0∘<∠A<30∘B. 30∘<∠A<45∘C. 45∘<∠A<60∘D. 60∘<∠A<90∘
2.在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，AC=3，则BC的长为( )
A. 3sin40°B. 3sin50°C. 3tan40°D. 3tan50°
3.如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则csB=( )
A. 12B. 23C. 22D. 53
4.已知csα=34，则锐角α的取值范围是( )
A. 0°<α<30°B. 30°<α<45°C. 45°<α<60°D. 60°<α<90°
5.在△ABC中，若∠A，∠B满足|sinA− 32|+(csB−12)2=0，则△ABC是( )
A. 等腰非等边三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形
6.已知csA=34，则下列结论正确的是
．( )
A. 0°<∠A<30°B. 30°<∠A<45°C. 45°<∠A<60°D. 60°<∠A<90°
7.如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所含的圆周角∠C=50°，船在航行时，为保证不进入暗礁区，则船到两个灯塔A，B的张角∠ASB应满足的条件是( )
A. sin∠ASB>sin25°B. sin∠ASB>sin50°
C. sin∠ASB>sin55°D. cs∠ASB>cs50°
8.若锐角α满足csα< 22且tanα< 3，则α的范围是
( )
A. 30°<α<45°B. 45°<α<60°C. 60°<α<90°D. 30°<α<60°
9.已知sinA = 0.3338，csB = 0.7022，tanC =0.7898，则∠A，∠B，∠C的大小为
( )
A. ∠A< ∠B< ∠CB. ∠B< ∠A< ∠C
C. ∠C< ∠B< ∠AD. ∠A< ∠C< ∠B
10.若∠A为锐角，且1A. 0°<∠A<30°B. 30°<∠A<60°C. 45°<∠A<60°D. 30°<∠A<45°
11.如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(由科学计算器得到sin 68°≈0.9272，sin 46°≈0.7193，sin 22°≈0.3746，sin 44°≈0.6947) ( )
A. 22.48海里B. 41.68海里C. 43.16海里D. 55.63海里
12.在Rt△ABC中，∠C=90∘，a:b=4:5，运用计算器计算∠A的度数约为(精确到1∘)( )
A. 38∘B. 39∘C. 51∘D. 53∘
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13.在直角三角形ABC中，若2AB=AC，则csC=______．
14.如图所示的网格是正方形网格，则∠BAC ∠DAE.(填“>”“=”或“<”)
15.已知∠A为锐角，且tanA= 2，则∠A的取值范围是 ．
16.如图，已知点A(4,3)，点B为直线y=−2上的一动点，点C(0,n)，−2三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8.0分)
如图，在Rt▵ABC中，∠C=90​∘，AB=12cm，∠A=35∘.求▵ABC的周长和面积(周长精确到0.1cm，面积精确到0.1cm2).
18.
(1)用计算器计算并确定sin25∘+sin46∘与sin71∘之间的大小关系;
(2)若α，β，α+β都是锐角，猜想sinα+sinβ与sin(α+β)的大小关系(不需要证明);
(3)请借助如图所示的图形证明上述猜想．
19.(本小题8.0分)
如图，已知∠ABC和射线BD上一点P(点P与点B不重合)，且点P到BA、BC的距离为PE、PF．
(1)若∠EBP=40°，∠FBP=20°，PB=m，试比较PE、PF的大小；
(2)若∠EBP=α，∠FBP=β，α，β都是锐角，且α>β.试判断PE、PF的大小，并给出证明．
20.(本小题8.0分)
某河道上要建造一座公路桥，为了使船只能顺利通过．桥面离水面的高度h不小于3m.如果要求引桥的坡角α不超过15°，那么引桥的水平距离l至少要多长(精确到0.1m)？
21.(本小题8.0分)
如图，AD是△ABC的高，CD=16，BD=12，∠C=35°.求∠B(可以使用计算器，精确到1°)．
22.(本小题8.0分)
从一个半径为10cm的圆片中裁下一个垫片，如图中阴影部分.已知AB/​/CD，AB= CD=16cm.求垫片的面积(精确到0.1cm2).
23.(本小题8.0分)
如图，已知∠ABC和射线BD上一点P(点P与点B不重合，且点P到BA，BC的距离分别为PE，PF的长)．
(1)若∠EBP=40°，∠FBP=20°，试比较PE，PF的大小；
(2)若∠EBP=α，∠FBP=β，α，β都是锐角，且α>β，请比较PE，PF的大小．
24.(本小题8.0分)
如图是嘉琪在练习本上画的三角形，已知∠B=60∘，BA=10cm，BC=12cm，不使用测量工具，请你利用计算器帮她求出BC边上的高和∠C的度数.(长度精确到0.01，角度精确到1′)
25.(本小题8.0分)
已知在Rt△ABC中，∠C=90°，tan A=12，且BC=5，求出AB的长和∠B的度数．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】略
2.【答案】C
【解析】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=3，∠A=40°，
∴BC=AC⋅tanA=3tan40°，
故选：C．
利用∠A的正切函数求解即可．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3.【答案】C
【解析】略
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了锐角三角函数的增减性，属于基础题．
根据题意，可得 22<34< 32，即可得解．
【解答】
解：∵cs30°= 32，cs45°= 22，
∵ 22<34< 32，
∴30°<α<45°，
故选B．
5.【答案】B
【解析】略
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了锐角的余弦，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键，根据特殊角的三角函数值及余弦函数随角增大而减小解答即可．
【解答】
解：∵cs30°= 32≈0.866，cs45°= 22≈0.707，csA=34=0.75，
又∵0.866>0.75>0.707，
∴30°故选：B．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了锐角三角函数，圆周角定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．本题利用三角形外角与内角的关系和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得出∠ASB<50°是解题的关键．
【解答】
解：如图，AS交圆于点E，连接EB，
由圆周角定理知，∠AEB=∠C=50°，而∠AEB是△SEB的一个外角，由∠AEB>∠S，即当∠S<50°时船不进入暗礁区．
所以，两个灯塔的张角∠ASB应满足的条件是∠ASB<50°．
∴cs∠ASB>cs50°，
故选：D．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了余弦函数、正切函数的增减性与特殊角的余弦值、正切值，熟练掌握特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性是解题的关键．
先由特殊角的三角函数值及余弦函数随锐角的增大而减小，得出45°<α<90°；再由特殊角的三角函数值及正切函数随锐角的增大而增大，得出0<α<60°；从而得出45°<α<60°．
【解答】
解：∵α是锐角，
∴0又∵cs45°= 22，
且余弦值随锐角的增大而减小，
∴45°<α<90°；
∵α是锐角，
∴0又∵tan60°= 3，且正切值随锐角的增大而增大，
∴0<α<60°；
综上所述：45°<α<60°．
故选B．
9.【答案】D
【解析】解：由科学计算器可得∠A≈19.5°，∠B≈45.4°，∠C≈38.3°
∴∠A<∠C< ∠B，故选D．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记锐角的余弦值随着角度的增大而减小是解题的关键，是基础题，比较简单．
根据锐角的余弦值随着角度的增大而减小进行解答．
【解答】
解：∵tan45°=1，tan60°= 3，且1∴45°<∠A<60°．
故选C．
11.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了方向角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．过点P作PA⊥MN于点A，则若该船继续向南航行至离灯塔距离最近的位置为PA的长度，利用锐角三角函数关系进行求解即可．
【解答】解：如图，过点P作PA⊥MN于点A，
MN=30×2=60(海里)，
∵∠MNC=90°，∠CNP=46°，
∴∠MNP=∠MNC+∠CNP=136°，
∵∠BMP=68°，
∴∠PMN=90°−∠BMP=22°，
∴∠MPN=180°−∠PMN−∠PNM=22°，
∴∠PMN=∠MPN，
∴MN=PN=60(海里)，
∵∠CNP=46°，
∴∠PNA=44°，
∴PA=PN⋅sin∠PNA≈60×0.6947≈41.68(海里)
故选：B．
12.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查在直角三角形中解题，根据角的正弦值求出三角形的角度．根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出各边的长，然后求出∠A．
【解答】
解：∵a：b=4：5，
∴设a=4x，b=5x，
由勾股定理知，c= 41x.
∴sinA=ac=4 41，
运用计算器得，∠A≈39°．
故选B．
13.【答案】 32或2 55
【解析】解：若∠B=90°，设AB=x，则AC=2x，所以BC= (2x)2−x2= 3x，所以csC=BCAC= 3x2x= 32；
若∠A=90°，设AB=x，则AC=2x，所以BC= (2x)2+x2= 5x，所以csC=ACBC=2x 5x=2 55；
综上所述，csC的值为 32或2 55．
故答案为 32或2 55．
若∠B=90°，设AB=x，则AC=2x，利用勾股定理计算出BC= 3x，然后根据余弦的定义求csC的值；若∠A=90°，设AB=x，则AC=2x，利用勾股定理计算出BC= 5x，然后根据余弦的定义求csC的值．
本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用它们进行几何计算．
14.【答案】>
【解析】略
15.【答案】45∘<∠A<60∘
【解析】∵tan45∘=1，tan60∘= 3，锐角的正切值随角度的增大而增大，1< 2< 3，∴45∘<∠A<60∘.故答案为45∘<∠A<60∘．
16.【答案】12
【解析】解：过点A作AM⊥y轴于点M，作AN⊥BN交于点N，
∵直线y=−2与x轴平行，故∠ABN=α，
当sinα的值最大时，则tanα=ANBN=5BN值最大，
故BN最小，即BG最大时，tanα最大，
即当BG最大时，sinα的值最大，
设BG=y，
则AM=4，GC=n+2，CM=3−n，
∵∠ACM+∠MAC=90°，∠ACM+∠BCG=90°，
∴∠CAM=∠BCG，
∴tan∠CAM=tan∠BCG，
∴CMAM=BGCG，即3−n4=yn+2，
∴y=−14(n−3)(n+2)，
∵−14<0，
故当n=12×(3−2)=12时，y取得最大值，
故n=12，
故答案为：12．
当sinα的值最大时，则tanα=ANBN=6BN值最大，即当BG最大时，sinα的值最大，设BG=y，由tan∠CAM=tan∠BCG，得到y=−14(n−3)(n+2)，进而求解．
本题考查了一次函数和二次函数的性质，解直角三角形等，解题的关键是确定sinα的值最大时，即BG最大，题目综合性强，难度适中．
17.【答案】解 在Rt▵ABC中，
∵sinA=BCAB，csA=ACAB，
∴BC=AB⋅sinA，AC=AB⋅csA．
∴▵ABC的周长
=AB+BC+AC
=AB+AB⋅sinA+AB⋅csA
=AB(1+sinA+csA)
=121+sin35∘+cs35∘
≈28.7(cm)；
▵ABC的面积
=12AC⋅BC
=12AB⋅csA⋅AB⋅sinA
=12AB2⋅sinA⋅csA
=12×122×sin35∘⋅cs35∘
≈33.8cm2．
答：▵ABC的周长约为28.7cm，面积约为33.8cm2．

【解析】见答案．
18.【答案】【小题1】
sin25∘+sin46∘≈0.423+0.719=1.142，sin71∘≈0.946，∴sin25∘+sin46∘>sin71∘．
【小题2】
sinα+sinβ>sin(α+β).
【小题3】
证明：∵sinα+sinβ=ABOA+BCOB，sin(α+β)=AEOA，
∵OA>OB，
∴BCOB>BCOA，
∴ABAO+BCOB>ABOA+BCOA=AB+BCOA．
∵AB+BC>AE，
∴AB+BCOA>AEOA，
∴sinα+sinβ>sin(α+β).

【解析】1. 见答案
2. 见答案
3. 见答案
19.【答案】解：(1)在Rt△BPE中，sin∠EBP=PEBP=sin40°，
在Rt△BPF中，sin∠FBP=PFBP=sin20°，
又∵sin40°>sin20°
∴PE>PF；
(2)根据(1)得：
sin∠EBP=PEBP=sinα，sin∠FBP=PFBP=sinβ，
又∵α>β，且α，β都是锐角，
∴sinα>sinβ，
∴PE>PF．
【解析】此题主要考查了锐角的正弦值的变化规律：在锐角的范围内，正弦值随着角的增大而增大．
(1)利用三角函数的定义，根据两个角的正弦的大小进行比较即可得到结果；
(2)运用两个角的正弦，根据正弦值的变化规律进行比较．
20.【答案】解：如图，∠B为坡角α，AC=h≥3，
当h=3，坡角α=15°时，
过A作∠BAD=∠B=15°，
则BD=AD，∠ADC=30°．
在Rt△ADC中，∵∠ADC=30°，
sin∠ADC=ACAD=12
∴AD=2AC=6，DC= 3AC=3 3，
∴BC=BD+DC=6+3 3≈11.2(米)．
答：引桥的水平距离l至少要11.2米长．
【解析】过A作∠BAD=∠B=15°，在Rt△ABC中，已知了铅直高度AC的长及角∠ADC的度数，可求出DC、AD的长，再由AD=DB，求得水平宽度BC的长即可．
此题考查了三角函数定义，解答本题需要正确的作出辅助线，将实际问题转化为特殊角度三角函数的知识．
21.【答案】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
在Rt△ACD中，AD=CD⋅tanC=16×0.70≈11.20，
在Rt△ABD中，tanB=ADBD=11.2012≈0.93，
∴∠B≈43°．
【解析】本题考查计算器−三角函数，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于基础题型．
在Rt△ACD中，求出AD，再在Rt△ABD中，利用正切函数的定义求出∠B．
22.【答案】解：设圆心为O，连接OC、OD，作OE⊥CD于E，如图：
由题意得：OD=10cm，
则圆O的面积=π×OD2≈314.16(cm2)，
∵AB=CD=16cm，OE⊥CD，
∴CE=12AB=8cm，
∴OE= OC2−CE2= 102−82=6(cm)，sin∠EOC=CEOC=810=0.8，
解得：∠EOC≈53.13°，
∴∠COD=2∠EOC=106.26°，
∴扇形ODC的面积=106.26×π×102360≈92.73(cm2)，△ODC的面积=12CD×OE=12×16×6=48(cm2)，
∴垫片的面积=314.16−2×(92.73−48)≈224.7(cm2).
答：垫片的面积约224.7cm2．

【解析】本题考查了垂径定理、勾股定理、扇形面积公式、三角函数定义等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
设圆心为O，连接OC、OD，作OE⊥CD于E，由垂径定理得出CE=12AB=8cm，由勾股定理得出OE=6cm，由三角函数定义求出∠EOC≈53.13°，得出∠COD=2∠EOC=106.26°，求出扇形ODC和△ODC的面积，进而得出答案．
23.【答案】解：(1)∵PE⊥AB，PF⊥BC，
∴sin∠EBP=PEBP=sin40∘，sin∠FBP=PFBP=sin20∘.
又∵sin 40°>sin 20°，∴PEBP>PFBP，∴PE>PF．
(2)根据(1)得
sin∠EBP=PEBP=sinα，sin∠FBP=PFBP=sinβ
∵α，β都是锐角，且α>β，∴sin α>sin β．
∴PEPB>PFPB，∴PE>PF．
【解析】(1)利用三角函数的定义，根据两个角的正弦的大小进行比较即可得到结果；
(2)运用两个角的正弦函数，根据正弦值的变化规律进行比较．
此题主要考查了锐角的正弦值的变化规律：在锐角的范围内，正弦值随着角的增大而增大．
24.【答案】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ABD中，AD=AB⋅sinB=10×sin60∘=5 3≈8.66(cm)，
BD=AB⋅csB=10×cs60∘=5(cm)，
则CD=BC−BD=7cm，
在Rt△ADC中，tanC=ADCD=5 37≈1.237，
∴∠C≈51∘3′．
故BC边上的高约是8.66cm，∠C的度数约为51∘3′．

【解析】本题考查锐角三角函数和利用计算器求角的度数，
过点A作AD⊥BC，垂足为D，利用∠B=60°和锐角三角函数，即可求出AD和BD的长，进而求出CD，再求出tanC的值，再利用计算器求出∠C的大小即可．
25.【答案】解：如图，
在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=
，
∴tanA=
=
．
∵BC=5，
∴AC=10．
∴AB= AC2+BC2= 52+102=5 5，
∵tanB=
=2，
∴∠B≈63°26′．
【解析】见答案1
2
BC
AC
1
2
AC
BC