重庆市开州中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题（Word版附解析）

这是一份重庆市开州中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. 0B. C. D. 不存在
【答案】B
【解析】
【分析】利用倾斜角定义分析运算即可得解.
【详解】解：直线即为轴，轴和轴垂直，
又知倾斜角范围是，
∴由定义可知直线倾斜角为.
故选：B.
2. 若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则的值是（ ）
A. －3B. －4
C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据两平面平行得到两法向量平行，进而得到方程组，求出，得到答案.
【详解】∵，
∴，
故存在实数，使得，
即，故，解得，
∴.
故选：A
3. 已知，则点A关于平面的对称点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据坐标平面的对称性求解．
【详解】点A关于平面的对称点的坐标是，
故选：B．
4. 某节物理课上，物理老师讲解光线的入射、反射与折射，为了更好地解释光线的路径，物理老师将此问题坐标化如下：已知入射光线从射出，经过直线的点后第一次反射，若此反射光线经过直线上的点时再次反射，反射后经过点，则可以求得直线的斜率为（ ）
A. B. C. 4D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】分别求出关于的对称点，关于的对称点，所求斜率即为的斜率，
【详解】作出图形如图所示，分别作关于的对称点，
以及关于直线的对称点，
则.
故选：D
5. 一次函数与为常数，且，它们在同一坐标系内的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象分析b、k取值符号进行判断即可．
【详解】对于选项A中，直线的直线的∴A错；
对于选项B中，直线的直线的，∴B错；
对于选项C中，直线的直线的∴C对；
对于选项D中，直线的直线的∴D错．
故选：C．
6. 已知直线过点，直线的一个方向向量为，则到直线的距离等于（ ）
A. B.
C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据点线距公式求得正确答案.
【详解】，，
，
所以到直线的距离为.
故选：C
7. 如图，两条异面直线a，b所成角为，在直线a，b上分别取点，E和点A，F，使且．已知，，．则线段的长为（ ）
A. 2或B. 4
C. 2或4D. 4或
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的线性运算可得，两边平方，利用向量的数量积运算，结合题意可得结果.
【详解】由题意知，所以，
展开得，
异面直线，所成角为，代入得
，
所以或，
故选：C.
8. 已知，，若，则（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】D
【解析】
【分析】都为平面内的点集，即两点集对应的几何图形无公共点，数形结合解决问题.
【详解】集合
表示平面内一条直线，但不包含点；
由，得，
不论取何值，直线恒过，
对于的每一个取值，集合
都表示平面内过定点的一条直线.
当时，集合表示的直线的方程为，
此时直线与直线重合，有无数个公共点，即，不满足题意；
当时，直线与直线不重合，相交于点，
又，即，满足题意.
故选：D.
二、多选题（每小题至少两个选项正确，选不全得2分，选错得0分，共20分）
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 任何直线方程都能表示为一般式
B. 两条直线相互平行的充要条件是它们的斜率相等
C. 直线与直线的交点坐标是
D. 直线方程可化为截距式为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据具体条件对相应选项作出判断即可.
【详解】对A：直线的一般是方程为：，
当时，方程表示水平线，垂直轴；
当时，方程表示铅锤线，垂直轴；
当时，方程表示任意一条不垂直于轴和轴的直线；故A正确.
对B：两条直线相互平行的充要条件是它们的斜率相等且不重合，故B错.
对C：联立，解得，故C正确.
对D：若或时，式子显然无意义，故D错.
故选：AC.
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 两个不同的平面的法向量分别是，则
B. 直线的方向向量，平面的法向量，则
C. 若，则点在平面内
D. 若是空间的一组基底，则向量也是空间一组基底
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据平面向量的法向量垂直判断A，根据直线与平面的关系判断B，根据空间中共面基本定理判断C，由空间向量基本定理判断D.
【详解】因为，所以，故A正确；
因为直线的方向向量，平面的法向量，
不能确定直线是否在平面内，故B不正确；
因为，
所以，，共面，即点在平面内，故C正确；
若是空间的一组基底，
则对空间任意一个向量，存在唯一的实数组，
使得，
于是，
所以也是空间一组基底，故D正确.
故选：ACD.
11. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 四面体的体积为
B. 向量在方向上的投影向量为
C. 直线与直线垂直
D. 直线与平面所成角的正弦值为
【答案】AB
【解析】
【分析】以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间坐标系，利用体积公式判断A；利用空间向量法判断BCD.
【详解】以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间坐标系，如图所示：
则，，，，，，，
对于A，因为，故正确；
对于B，因，，
所以，，，
所以在方向上的投影向量为：，故正确；
对于C，因为，，，
所以与不垂直，即直线与直线不垂直，故错误；
对于D，，
在正方体中，易知平面，得平面，
即平面的法向量，
设直线与平面的夹角为，则，故错误.
故选：AB
12. 已知点，，直线上存在点P满足，则直线可能为（ ）
A. -2B. 0C. 1D. 3
【答案】CD
【解析】
【分析】变形后求出直线过定点，且斜率为，结合，故只需与线段有交点，结合，，求出，得到，得到答案.
【详解】变形为，
故直线过定点，且斜率为，
又，
要想直线上存在点P满足，
即与线段有交点，
因为，，
故，解得，
故CD满足要求，AB错误.
故选：CD
三、填空题（每小题5分，共20分）
13. 直线过点，且斜率是倾斜角为的直线斜率的二倍，则直线的方程为_______
【答案】
【解析】
【分析】根据倾斜角与斜率的关系，结合点斜式方程，可得答案.
【详解】倾斜角为的直线的斜率，则直线的斜率，
由点斜式方程可得，整理可得：.
故答案为：.
14. 已知，则在上的投影向量为_______ (用坐标表示)
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量的定义，结合数量积的坐标运算即可求解.
【详解】由得，
在上的投影向量为，
故答案为：
15. 已知直线，，则直线与之间的距离最大值为______.
【答案】5
【解析】
【分析】分别求出直线，过的定点，，当与两直线垂直时距离最大，且最大值为，由此即可求解．
【详解】直线化简为：，
令且，解得，，
所以直线过定点，
直线化简为：，
令且，解得，，
所以直线过定点，，
当与直线，垂直时，直线，的距离最大，
且最大值为，
故答案为：5．
16. 棱长为的正方体中，分别是平面和平面内动点， ，则的最小值为_______
【答案】##
【解析】
【分析】利用对称将的最小值问题转化为求解点到平面的距离，再建立直角坐标系，利用法向量方法求解点面距.
【详解】如图，取点关于平面的对称点，
设点到平面的距离为,
则，，
以为坐标原点，以为轴，为轴，为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，则点是线段靠近的三等分点，
又正方体棱长为，
则，
则，且，
设平面的法向量为，
则，取，则，
则，
则点到平面的距离
.

【点睛】空间几何体中的距离之和的最值问题处理一般有以下方法：
（1）借助参数表达，转化为函数最值求解；（2）利用展开图，将空间距离和转化为平面内距离和问题，再利用两点之间线段最短求解；（3）借助对称，化线（面）的同侧为线（面）的异侧，转化为点点（点线、点面）距离求解，等等.
四、解答题（第17题10分，第18、19、20、21、22题每题12分，共70分）
17. 已知点，直线过点，
（1）若A到直线距离为2，求直线方程；
（2）若A、B到直线距离相等，求直线的方程.
【答案】（1）或者
（2）或者
【解析】
【分析】（1）先考虑斜率不存在的情况，再考虑斜率存在的情况，设出直线写出点到直线的距离公式求解即可；
（2）先考虑斜率不存在情况，再考虑斜率存在的情况，设出直线分别写出两点到直线的距离，相等求解即可；
【小问1详解】
①若直线斜率不存在，此时过点的直线为直线，点到直线的距离为2，符合要求；
②若直线斜率存在，设为，则直线方程为，
所以点到直线的距离为，解得，
直线为，即，
所以直线方程为或者；
【小问2详解】
①若直线斜率不存在，此时过点的直线为直线，点到直线的距离为2，点到直线的距离为0，不符合条件；
②若直线斜率存在，设为，则直线方程为，
此时点到直线的距离为，
点到直线的距离为，又，所以，
解得或者，所以直线为或者，
即或者.
18. 已知向量．
（1）若，求实数；
（2）若向量与所成角为钝角，求实数的范围．
【答案】（1）
（2）且
【解析】
【分析】（1）根据空间向量平行的坐标运算求解即可得到答案.
（2）根据题意得到，再结合（1）的情况即可得到答案.
【小问1详解】
，，
因为，所以，即，
所以.
【小问2详解】
，，
因为向量与所成角为钝角，
所以，即，解得.
当与平行时，由（1）知：，
所以向量与所成角为钝角，实数的范围且.
19. 如图，棱长为1的正四面体OABC中，，点M满足，点N为BC中点，
（1）用表示；
（2）求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据空间向量线性运算求解即可.
（2）根据，再平方求解即可.
【小问1详解】
连接，如图所示：
因为，，
所以.
【小问2详解】
因为正四面体的棱长为1，所以，
所以
，
所以.
20. 已知直线，且，
（1）求的值；
（2）直线过点与交于，，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据直线与直线平行的充要条件，列出方程求解即可；
（2）根据两平行线间距离可判断垂直，利用斜率关系即可求解直线的斜率，进而可求解方程.
【小问1详解】
因为，所以，
整理得，解得或．
当时，，，符合题意，
当时，，，与重合，不满足题意．
综上，．
【小问2详解】
由（1）得，，
所以两直线之间的距离为，而，
所以直线与均垂直，
由于，所以，
故直线方程为
21. 如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，且平面.
（1）求平面与平面所成的角；
（2）侧棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求出点的位置；若不存在，试说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）连接，交于点，利用线面垂直判定可证得平面，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法可求得结果；
（2）假设，满足平面，由线面平行的向量判定方法可构造方程求得的值，由此可得结论.
【小问1详解】
连接，交于点，连接，
四边形为正方形，为中点，；
，，，，
，平面，平面，
以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，，，
，，，，，
平面，平面，
平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
，
即平面与平面所成角的余弦值为，
平面与平面所成的角为.
【小问2详解】
假设在上存在一点，满足，使得平面，
，，，，
又，，，
平面的一个法向量为，
，解得：，
在上存在一点，满足，使得平面.
22. 如图，将一块直角三角形木板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线将三角形木板锯成，设直线的斜率为k.
（1）用k表示出直线的方程，并求出M、N的坐标；
（2）求锯成的的面积的最小值.
【答案】（1），，.
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的方程，再联立直线方程组即可求得M、N的坐标；
（2）先由题意确定的范围，再利用（1）结论可得到与M到直线的距离，由此得到的面积关于的关系式，利用基本不等式即可求解.
【小问1详解】
设直线，
因为直线过点，所以，即，
所以，
又因为，，易得直线，直线，
联立，解得；联立，解得，
故，.
【小问2详解】
因为，，所以，所以，
因为，
设M到直线的距离为d，则，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以S的最小值为.