2023-2024学年宁夏六盘山高级中学高二上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年宁夏六盘山高级中学高二上学期期中考试数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．椭圆的焦距为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【分析】将椭圆方程化为标准方程即可得，由焦距定义即可得结果.
【详解】根据椭圆方程可得该椭圆的标准方程为，
所以，即，可得；
即焦距为.
故选：C
2．已知圆与圆相交，则圆C1与圆C2的公共弦所在的直线的方程为
A．x+2y+1=0B．x+2y﹣1=0C．x﹣2y+1=0D．x﹣2y﹣1=0
【答案】B
【分析】对两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程．
【详解】由题意，因为圆与圆相交，
所以两圆的方程作差得6x+12y﹣6=0，
即公式弦所在直线方程为x+2y﹣1=0
故选：B．
3．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）
A．2B．3C．6D．9
【答案】C
【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.
故选：C.
【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.
4．以双曲线的右焦点为圆心，与双曲线的渐近线相切的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出双曲线的右焦点坐标和渐近线方程，进而求出圆的半径，进而可得结果.
【详解】，其中，右焦点
渐近线方程为：，
右焦点到直线的距离为：
圆的方程为：
故选：C
【点睛】本题考查了双曲线的方程和几何性质，圆的标准方程，考查了运算求解能力，属于一般题目.
5．在三棱锥中，E为OA的中点，，若，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知结合向量的线性表示，以为基底表示，再由空间向量基本定理可求．
【详解】由题意得，，，
，
，
，
，
．
，
．
故选：B．
6．设x，，向量，，，且，，则（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的平行、垂直关系可得，进而可求，结合空间向量的模长公式运算求解.
【详解】因为，，则，解得，
则，，可得，
所以.
故选：D.
7．、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，过作的角平分线的垂线，垂足为，则的长为
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【详解】延长交延长线于N,
则
选:A.
【点睛】涉及两焦点问题，往往利用椭圆定义进行转化研究，而角平分线性质可转化到焦半径问题，两者切入点为椭圆定义.
8．已知椭圆C：，F是椭圆的右焦点，A是椭圆的右顶点，过原点O的直线l交椭圆C于M，N两点，若直线MF平分线段AN，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设出直线l的方程，联立椭圆方程，求出点的坐标，表达出直线的方程及线段AN的中点，将线段AN的中点代入直线中，求出，得到离心率.
【详解】由题意得，
设直线l的方程为，与联立可得，
解得，
不妨令点横坐标为正，则，，
则，，
故直线的方程为，即，
其中线段AN的中点为，
将其代入中，可得
，
化简得，,
因为，即，故离心率为.
故选：B
二、多选题
9．已知圆与直线，下列选项正确的是（ ）
A．圆的圆心坐标为B．直线过定点
C．直线与圆相交且所截最短弦长为D．直线与圆可以相切
【答案】ABC
【分析】根据圆的方程直接求出圆心判断A，直线恒过定点判断B，利用垂径定理结合圆的性质求出最短弦长判断C，利用直线恒过圆内定点判断D.
【详解】对于A，圆的圆心坐标为，正确；
对于B，直线方程即，由可得，
所以直线过定点，正确；
对于C，记圆心，直线过定点，则，
当直线与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，
此时直线截圆所得的弦长最小，
此时弦长为，正确；
对于D，因为，所以点在圆内，直线与圆必相交，错误.
故选：ABC
10．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为
B．若直线经过第三象限，则，
C．是直线与直线垂直的必要不充分条件
D．存在a使得直线与直线平行
【答案】AD
【分析】根据斜率与倾斜角的关系可判定A，根据直线与一次函数的关系可判定B，根据直线平行与垂直的充要条件可判定C、D.
【详解】对于A项，设直线的倾斜角为，
由题意可知其斜率为，故A正确；
对于B项，直线过第三象限，可以，，故B错误；
对于C项，两直线若垂直，则，反之当时，
两直线方程分别为，显然互相垂直，即是直线与直线垂直的充要条件，故C错误；
对于D项，两直线若平行，则或，
且或，所以当时能使两直线平行，故D正确.
故选：AD.
11．正方体的棱长为1，若动点P在线段，则可能的取值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】BC
【分析】利用基底法结合数量积公式计算即可.
【详解】以为基底，分别记为，易知，
设，
则.
易知BC符合题意.
故选：BC
12．已知双曲线的左右两个顶点分别是A1，A2，左右两个焦点分别是F1，F2，P是双曲线上异于A1，A2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（ ）
A．B．直线的斜率之积等于定值
C．使为等腰三角形的点有且仅有4个D．焦点到渐近线的距离等于b
【答案】BD
【解析】A. 由双曲线的定义判断；B.设，利用斜率公式求解判断；C.利用双曲线的对称性判断；D.利用点到直线的距离公式求解判断；
【详解】A. 因为，故错误；
B.设，则，所以，故正确；
C.若点P在第一象限，若，为等腰三角形；若，为等腰三角形，由双曲线的对称性知，点有且仅有8个，故错误；
D.不妨设焦点坐标为： ，渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离，故正确；
故选：BD
【点睛】本题主要考查双曲线的定义和几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
三、填空题
13．与直线垂直，且在y轴上的截距为4的直线的方程是 .
【答案】
【分析】由直线垂直直接确定直线的斜率，再由斜截式写出直线的方程即可.
【详解】由题设，与垂直的直线斜率，又在y轴上的截距为4，
∴直线的方程为.
故答案为：
14．已知为抛物线上的两点，且线段AB中点的纵坐标为2，则直线AB的斜率为 .
【答案】/0.5
【分析】设出点的坐标并代入抛物线的方程，即可求出直线AB的斜率.
【详解】由题意，
为抛物线上的两点，且线段AB中点的纵坐标为2，

设，线段AB中点为，
∴，，
∴即
∴直线AB的斜率为：
故答案为：
15．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC的面积最小值是 ．
【答案】
【分析】求出圆心到直线AB的距离为d＝，圆上任意一点到直线AB的最小距离为，这个距离就是三角形的高.
【详解】直线AB的方程为x－y＋2＝0，圆心到直线AB的距离为d＝,
所以，圆上任意一点到直线AB的最小距离为
S△ABC＝.
＝3－.
故答案为3－.
【点睛】与圆有关的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理．
16．已知空间向量满足，且的夹角为，为空间直角坐标系的原点，点，满足，，则的面积为 .
【答案】
【分析】根据向量的运算可得、、，代入平面向量夹角公式计算即的值，再计算的值，由三角形面积公式即可求解.
【详解】因为，所以，
，所以，
，
所以，即，
所以，
所以的面积为，
故答案为：.
四、解答题
17．已知圆C经过点A（3，1）、B（－1，3），且它的圆心在直线上.
(1)求圆C的标准方程；
(2)若点D为圆C上任意一点，且点E（3，0），求线段ED中点M的轨迹方程.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；
（2）首先设出点M的坐标，利用中点公式得到点D坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M的轨迹方程.
【详解】（1）由题可设圆C的标准方程为，则
，
解之得，
所以圆C的标准方程为；
（2）设M（x，y），D，则，由E(3，0)及M为线段ED的中点得：，解得
又点D在圆C：上，
所以有，
化简得：．
故所求的轨迹方程为．
五、问答题
18．设O为坐标原点，直线与抛物线C：交于A，B两点，若.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若斜率为的直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线C交于D，E两点，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意分析可得，代入方程运算求解；
（2）根据题意可得，联立方程，利用韦达定理结合抛物线的定义分析求解.
【详解】（1）因为与抛物线交于A，B，且，
根据对称性可得 ，
，
代入得，解得，
所以抛物线C的方程.
（2）由（1）知抛物线的焦点为，
可知直线的方程为 ，设，，
联立方程，消去y得，
则，可得，
所以.
19．已知双曲线离心率为，且过点，过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线交双曲线于两点，为坐标原点，为左焦点.
(1)写出直线的方程；
(2)求双曲线的标准方程；
(3)求的面积.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用已知条件求出双曲线的右焦点，然后利用点斜式求解即可；
（2）由（1）条件求出即可；
（3）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理计算即可.
【详解】（1）由题意设双曲线方程为，
由题意可得，
所以，又直线斜率，
∴直线的方程为：
（2）由（1）知，
所以，
故双曲线方程为：；
（3）由题意联立，
消元整理得：，
由，
设，，
∴，



.
六、证明题
20．如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，E为PD的中点，F在线段PC上，且.
(1)求证：平面PCD；
(2)求CB与平面AEF所成角的正弦值.
(3)求点C到平面AEF的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，进而证明线面垂直，得到，结合三线合一得到，证明出结论；
（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，由求出的坐标，进而求出平面AEF的法向量，利用线面角的正弦公式求出答案；
（3）在（2）的基础上，利用点到平面距离公式求出答案.
【详解】（1）∵面，平面，
∴，
又∵，，平面，
∴面，
∵平面，
∴
又∵E是中点，，
∴，
∵，平面，
∴面PCD；
（2）取BC中点G，连接AG，
因为，，
所以，
因为，所以四边形为平行四边形，
故，
因为，所以，
以A为原点，以AG所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AP所在直线为z轴建立如图所示坐标系.
所以，，，，，设，
由得，即，
解得，，，
∴，，，
设平面AEF的法向量为，
由，令得，，
∴，
∵，
∴；
（3），平面AEF的法向量为，
∴，
故点C到平面AEF的距离为
七、问答题
21．如图，在三棱柱中，侧面正方形的中心为点M，平面，且，，点E满足.

(1)若，求证面；
(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)或
【分析】（1）根据几何体特征，由中位线定理利用线面平行的判定定理即可证明出结论；
（2）建立以M为原点的空间直角坐标系，利用空间向量分别求得平面与平面的法向量，再由余弦值即可求得或.
【详解】（1）因为，，可得点E是的中点，
又因为M是的中点，
所以，
又面，面，
所以面.
（2）因为是正方形，所以，且平面，
平面，所以两两垂直，
以M为原点，，，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，如下图所示：

由题意知，，
则，，，，，，
设平面的法向量为，则，
令，可得，即平面的法向量为，
因为，所以，
则，，
设面的法向量为，
则，令，可得法向量为，
所以，
因为平面与平面所成角的余弦值为，
所以，
可得，
则或
八、解答题
22．已知椭圆E:的一个焦点为,长轴与短轴的比为2:1.直线与椭圆E交于P､Q两点,其中为直线的斜率.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若以线段PQ为直径的圆过坐标原点O,问:是否存在一个以坐标原点O为圆心的定圆O,不论直线的斜率取何值,定圆O恒与直线相切?如果存在,求出圆O的方程及实数m的取值范围;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1) (2)存在,.的取值范围是
【解析】（1）根据题意直接计算出得到答案.
（2）设直线OP的方程为:点的坐标为,则,联立方程组，设坐标原点O到直线的距离为d,则有，得到，计算得到答案.
【详解】(1)由已知得:解得:椭圆E的方程为
(2)假设存在定圆O,不论直线的斜率k取何值时,定圆O恒与直线相切.
这时只需证明坐标原点O到直线的距离为定值即可.
设直线OP的方程为:点的坐标为,则,
联立方程组
①
以线段PQ为直径的圆过坐标原点O,
,直线OQ的方程为:
在①式中以换t,得②
又由知:
设坐标原点O到直线的距离为d,则有
又当直线OP与轴重合时,此时
由坐标原点O到直线的距离为定值知,所以存在定圆O,不论直线的斜率k取何值时,定圆O恒与直线相切,定圆O的方程为:.
直线与轴交点为,且点不可能在圆O内,又当k=0时,直线与定圆O切于点,所以的取值范围是
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.