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2023-2024学年宁夏银川市永宁县上游高级中学高二上学期期中考试数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年宁夏银川市永宁县上游高级中学高二上学期期中考试数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．过点且垂直于的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，设所求直线的方程为，代入点的坐标，求得的值，即可求解.
【详解】设过点且垂直于的直线方程为，
将点代入，可得，解得，
所以所求直线方程为.
故选：D.
2．圆与圆的公切线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】C
【分析】根据两圆的位置关系即可求解.
【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为2.
圆与圆的圆心距为3，等于两个圆的半径之和，所以圆与圆外切，故圆与圆的公切线有3条.
故选：C
3．在空间直角坐标系中，为直线l的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则（ ）
A．3B．1C．－3D．－1
【答案】C
【分析】由得到与垂直，进而得到方程，求出答案.
【详解】因为，所以与垂直，
故，解得.
故选：C
4．若椭圆的弦被点平分，则所在直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用点差法求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】若直线轴，则点、关于轴对称，则直线的中点在轴，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在，设点、，则，
所以，，两式作差可得，
即，即，
可得直线的斜率为，
所以，直线的方程为，即.
故选：B.
5．已知的圆心是坐标原点，且被直线截得的弦长为，则⊙O的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先求得原点到直线的距离为，设的半径为，根据题意，由圆的弦长公式，列出方程，求得，即可求解.
【详解】由题意，原点到直线的距离为，
设的半径为，因为被直线截得的弦长为，
由圆的弦长公式，可得，解得，
又由的圆心为坐标原点，所以圆的方程为.
故选：B.
6．在长方体中，，，为的中点，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求点到平面的距离.
【详解】如图所示，
以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
所以，，，，
则，，
设是平面的一个法向量，则，
令，则，
又，
所以点到平面的距离为，
故选：D.
7．若直线与椭圆有两个公共点，则的取值范围是（ ）.
A．B．且C．D．且
【答案】B
【分析】根据直线与椭圆有两个交点，联立方程后可知，且椭圆方程中满足且，即可得的取值范围.
【详解】椭圆，则且，
而直线与椭圆有两个公共点，
则，化简可得，
所以
，
可得或，
又因为且，
可得且，
故选：B.
【点睛】本题考查了椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系的简单应用，由直线与椭圆位置关系求参数的取值范围，属于基础题.
8．已知椭圆的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设椭圆的上顶点、右顶点、左焦点分别为，依题意可得，结合即可求得椭圆的离心率.
【详解】设椭圆的上顶点、右顶点、左焦点分别为，
则，且，
所以，，，
依题意为等腰三角形，，
所以，化简得，又，
所以，即，
解得，又，所以，
即椭圆的离心率为.
故选：B
二、多选题
9．关于椭圆，以下说法正确的是（ ）
A．长轴长为4B．焦距为
C．离心率为D．左顶点的坐标为
【答案】ABC
【分析】根据椭圆方程确定，再根据椭圆的性质，即可求解.
【详解】由条件可知，，，那么，
所以长轴长，焦距，离心率，左顶点，
故ABC正确，D错误.
故选：ABC
10．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为
B．直线恒过定点
C．经过点，且在，轴上截距相等的直线方程为
D．过原点做直线的垂线，垂足为，则直线l的方程为
【答案】BD
【分析】求出直线的斜率，即可得到倾斜角，从而判断A，求出直线过定点坐标，判断B，分截距为0和不为0两种情况讨论，即可判断C，求出，即可得到，再由点斜式计算判断D.
【详解】对于A：直线即，所以直线的斜率为，则倾斜角为，故A错误；
对于B：直线即，
令，解得，所以直线恒过定点，故B正确；
对于C：若在，轴上截距均为，此时直线过坐标原点，则直线方程为即，
若在，轴上截距均不为，设直线为，则，
解得，所以直线方程为，即，
综上可得经过点，且在，轴上截距相等的直线方程为或，故C错误；
对于D：因为，所以，则直线的方程为即，故D正确；
故选：BD
11．已知圆与直线，下列选项正确的是（ ）
A．圆的圆心坐标为B．直线过定点
C．直线与圆相交且所截最短弦长为D．直线与圆可以相切
【答案】ABC
【分析】根据圆的方程直接求出圆心判断A，直线恒过定点判断B，利用垂径定理结合圆的性质求出最短弦长判断C，利用直线恒过圆内定点判断D.
【详解】对于A，圆的圆心坐标为，正确；
对于B，直线方程即，由可得，
所以直线过定点，正确；
对于C，记圆心，直线过定点，则，
当直线与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，
此时直线截圆所得的弦长最小，
此时弦长为，正确；
对于D，因为，所以点在圆内，直线与圆必相交，错误.
故选：ABC
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（ ）
A．椭圆的离心率为B．的周长为4
C．若，则的面积为3D．若，则
【答案】AD
【分析】对A，根据题意可得，即可求解；对B，根据椭圆的定义判断即可；对C，根据余弦定理结合椭圆的定义判断即可；对D，根据余弦定理与椭圆的定义求解即可．
【详解】对A，由题意，，故，，故A正确；
对B，的周长为，故B错误；
对C，，
，当且仅当时，等号成立，
因为在上递减，所以此时最大，又，，所以的最大值为，，不成立，故C错误；
对D，由余弦定理
，即，
解得，故，故D正确；
故选：AD
三、填空题
13．如果双曲线上一点到焦点的距离等于6，那么点到另一焦点的距离是 ．
【答案】22
【分析】由双曲线定义得到方程，进行求解.
【详解】由题意得，又，所以.
故答案为：22
14．写出过点且与圆相切的一条直线方程 .
【答案】或（写出一条即可）
【分析】设切线为，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出的值，即可得解.
【详解】依题意切线的斜率存在，设斜率为，则切线为，
即，
则圆心到直线的距离，解得或，
所以切线方程为或.
故答案为：或（写出一条即可）
15．在直三棱柱中，，，，则直线和直线所成的角为 .
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，表达出各点坐标和，即可求出直线和直线所成的角.
【详解】由题意，
在直三棱柱中，，，，
建立空间直角坐标系如下图所示，
∴，
∴，
设直线和直线所成的角为，，
，
∴直线和直线所成的角为，
故答案为：.
16．若线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，，点M是线段AB上一点，且，则动点M的轨迹方程是 .
【答案】
【分析】利用，根据题意可得，进而结合两点间距离公式运算求解.
【详解】设，
则，
如图，因为，，可得，
则，解得，
又因为，整理得，
则所求动点M的轨迹方程为
故答案为：.
四、解答题
17．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)，焦点在轴上，且过点；
(2)经过两点，.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据焦点位置及曲线所过的点求出，即可得标准方程；
（2）依题意可设双曲线的方程为，利用待定系数法求解即可.
【详解】（1）由于双曲线的焦点在轴上，
可设其标准方程为：，
因为双曲线过点，
所以，
又因为，所以，
解得：，，
故所求双曲线的标准方程为：.
（2）设双曲线方程为，
把点与点代入，
有，解得：，
故所求双曲线的标准方程为：.
18．已知圆与圆
(1)求经过圆与圆交点的直线方程：
(2)求圆与圆的公共弦长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）判断两圆相交，将两圆的方程相减，即可得答案；
（2）确定圆的圆心和半径，求得圆心到两圆公共弦所在直线的距离，根据弦长的几何求法即可求得答案.
【详解】（1）圆的圆心为，半径为，
圆即，圆心为，半径为，
则，故圆与圆相交；
将圆与圆的方程相减，
得，
即经过圆与圆交点的直线方程为；
（2）圆的圆心为，半径为1，
到直线的距离为，
故圆与圆的公共弦长为.
19．已知圆，直线过点.
(1)当直线与圆相切时，求直线的斜率；
(2)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，解出即可；（2）建立点和点之间的关系式，再利用点的坐标满足的关系式得到点的坐标满足的条件，即可求出.
【详解】（1）已知的圆心是，半径是，
设直线斜率为
则直线方程是，即，
则圆心到直线距离为，
解得直线的斜率.
（2）设点则，
由点是的中点得，
所以①
因为在圆上运动，所以②
①代入②得，
化简得点的轨迹方程是.
20．已知椭圆：的一个顶点为，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点坐标为，直线与椭圆交于、两点，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用离心率，根据，，的关系即可求出方程；
（2）设出，两点坐标，联立椭圆方程与直线方程，由韦达定理得出，，再由弦长公式可求出弦的长，然后由点到直线的距离公式，可求出点到直线的距离，即可求出三角形的面积.
【详解】（1）因为椭圆：的一个顶点为，离心率为，
所以有，，
结合，有，解得：，
所以椭圆的方程为：.
（2）由（1）知椭圆的方程为：，
设，，
联立，消去得：，显然，
所以，，
则，
又点到直线的距离，
所以.
21．如图，在多面体中，四边形是边长为2的正方形，四边形是直角梯形，其中，，且．
(1)证明：平面平面；
(2)求平面和平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明即可.
（2）建立空间直角坐标系，先求出两个平面的法向量，然后利用夹角公式即可求解.
【详解】（1）如图所示：
连接.因为是边长为2的正方形，所以，
因为，所以，，
所以，则.
因为，所以.
因为平面ABCD，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）由（1）知，，两两垂直，故以为坐标原点，以射线，，分别为轴，轴，轴的正半轴
建立如图所示的空问直角坐标系.
则，，，，故，，.设平面的法向量为，则，令，则
设平面的法向量为，则，令，则.
，
记平面和平面夹角为，则.
22．已知椭圆的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率，且过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于两点，且直线的倾斜角互补，判断直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)是定值，定值为2
【分析】（1）利用离心率求得之间的关系，结合点在椭圆上，解方程即可得答案；
（2）设出直线方程，联立椭圆方程，得到根与系数的关系，利用直线的倾斜角互补，可得，结合根与系数关系化简即可得结论.
【详解】（1）设椭圆的标准方程为，
由题意知，
故椭圆的标准方程又为，即，
又椭圆过点，，
椭圆的标准方程为；
（2）由题意可知直线的斜率存在且不过点，
设直线的方程为，，
由，消去整理得，
需满足，则，，
直线的倾斜角互补，，
，
，
将，代入得，
整理得，而，
，
所以直线的斜率为定值，其定值为2.
【点睛】难点点睛：本题考查了椭圆方程的求解以及直线和椭圆位置关系中的定值问题，解答的难点在于定值问题，解答时困难在于计算的复杂性，且都是关于字母参数的计算，计算量较大，要十分细心才可以.
一、单选题
1．过点且垂直于的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，设所求直线的方程为，代入点的坐标，求得的值，即可求解.
【详解】设过点且垂直于的直线方程为，
将点代入，可得，解得，
所以所求直线方程为.
故选：D.
2．圆与圆的公切线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】C
【分析】根据两圆的位置关系即可求解.
【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为2.
圆与圆的圆心距为3，等于两个圆的半径之和，所以圆与圆外切，故圆与圆的公切线有3条.
故选：C
3．在空间直角坐标系中，为直线l的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则（ ）
A．3B．1C．－3D．－1
【答案】C
【分析】由得到与垂直，进而得到方程，求出答案.
【详解】因为，所以与垂直，
故，解得.
故选：C
4．若椭圆的弦被点平分，则所在直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用点差法求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】若直线轴，则点、关于轴对称，则直线的中点在轴，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在，设点、，则，
所以，，两式作差可得，
即，即，
可得直线的斜率为，
所以，直线的方程为，即.
故选：B.
5．已知的圆心是坐标原点，且被直线截得的弦长为，则⊙O的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先求得原点到直线的距离为，设的半径为，根据题意，由圆的弦长公式，列出方程，求得，即可求解.
【详解】由题意，原点到直线的距离为，
设的半径为，因为被直线截得的弦长为，
由圆的弦长公式，可得，解得，
又由的圆心为坐标原点，所以圆的方程为.
故选：B.
6．在长方体中，，，为的中点，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求点到平面的距离.
【详解】如图所示，
以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
所以，，，，
则，，
设是平面的一个法向量，则，
令，则，
又，
所以点到平面的距离为，
故选：D.
7．若直线与椭圆有两个公共点，则的取值范围是（ ）.
A．B．且C．D．且
【答案】B
【分析】根据直线与椭圆有两个交点，联立方程后可知，且椭圆方程中满足且，即可得的取值范围.
【详解】椭圆，则且，
而直线与椭圆有两个公共点，
则，化简可得，
所以
，
可得或，
又因为且，
可得且，
故选：B.
【点睛】本题考查了椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系的简单应用，由直线与椭圆位置关系求参数的取值范围，属于基础题.
8．已知椭圆的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设椭圆的上顶点、右顶点、左焦点分别为，依题意可得，结合即可求得椭圆的离心率.
【详解】设椭圆的上顶点、右顶点、左焦点分别为，
则，且，
所以，，，
依题意为等腰三角形，，
所以，化简得，又，
所以，即，
解得，又，所以，
即椭圆的离心率为.
故选：B
二、多选题
9．关于椭圆，以下说法正确的是（ ）
A．长轴长为4B．焦距为
C．离心率为D．左顶点的坐标为
【答案】ABC
【分析】根据椭圆方程确定，再根据椭圆的性质，即可求解.
【详解】由条件可知，，，那么，
所以长轴长，焦距，离心率，左顶点，
故ABC正确，D错误.
故选：ABC
10．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为
B．直线恒过定点
C．经过点，且在，轴上截距相等的直线方程为
D．过原点做直线的垂线，垂足为，则直线l的方程为
【答案】BD
【分析】求出直线的斜率，即可得到倾斜角，从而判断A，求出直线过定点坐标，判断B，分截距为0和不为0两种情况讨论，即可判断C，求出，即可得到，再由点斜式计算判断D.
【详解】对于A：直线即，所以直线的斜率为，则倾斜角为，故A错误；
对于B：直线即，
令，解得，所以直线恒过定点，故B正确；
对于C：若在，轴上截距均为，此时直线过坐标原点，则直线方程为即，
若在，轴上截距均不为，设直线为，则，
解得，所以直线方程为，即，
综上可得经过点，且在，轴上截距相等的直线方程为或，故C错误；
对于D：因为，所以，则直线的方程为即，故D正确；
故选：BD
11．已知圆与直线，下列选项正确的是（ ）
A．圆的圆心坐标为B．直线过定点
C．直线与圆相交且所截最短弦长为D．直线与圆可以相切
【答案】ABC
【分析】根据圆的方程直接求出圆心判断A，直线恒过定点判断B，利用垂径定理结合圆的性质求出最短弦长判断C，利用直线恒过圆内定点判断D.
【详解】对于A，圆的圆心坐标为，正确；
对于B，直线方程即，由可得，
所以直线过定点，正确；
对于C，记圆心，直线过定点，则，
当直线与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，
此时直线截圆所得的弦长最小，
此时弦长为，正确；
对于D，因为，所以点在圆内，直线与圆必相交，错误.
故选：ABC
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（ ）
A．椭圆的离心率为B．的周长为4
C．若，则的面积为3D．若，则
【答案】AD
【分析】对A，根据题意可得，即可求解；对B，根据椭圆的定义判断即可；对C，根据余弦定理结合椭圆的定义判断即可；对D，根据余弦定理与椭圆的定义求解即可．
【详解】对A，由题意，，故，，故A正确；
对B，的周长为，故B错误；
对C，，
，当且仅当时，等号成立，
因为在上递减，所以此时最大，又，，所以的最大值为，，不成立，故C错误；
对D，由余弦定理
，即，
解得，故，故D正确；
故选：AD
三、填空题
13．如果双曲线上一点到焦点的距离等于6，那么点到另一焦点的距离是 ．
【答案】22
【分析】由双曲线定义得到方程，进行求解.
【详解】由题意得，又，所以.
故答案为：22
14．写出过点且与圆相切的一条直线方程 .
【答案】或（写出一条即可）
【分析】设切线为，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出的值，即可得解.
【详解】依题意切线的斜率存在，设斜率为，则切线为，
即，
则圆心到直线的距离，解得或，
所以切线方程为或.
故答案为：或（写出一条即可）
15．在直三棱柱中，，，，则直线和直线所成的角为 .
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，表达出各点坐标和，即可求出直线和直线所成的角.
【详解】由题意，
在直三棱柱中，，，，
建立空间直角坐标系如下图所示，
∴，
∴，
设直线和直线所成的角为，，
，
∴直线和直线所成的角为，
故答案为：.
16．若线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，，点M是线段AB上一点，且，则动点M的轨迹方程是 .
【答案】
【分析】利用，根据题意可得，进而结合两点间距离公式运算求解.
【详解】设，
则，
如图，因为，，可得，
则，解得，
又因为，整理得，
则所求动点M的轨迹方程为
故答案为：.
四、解答题
17．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)，焦点在轴上，且过点；
(2)经过两点，.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据焦点位置及曲线所过的点求出，即可得标准方程；
（2）依题意可设双曲线的方程为，利用待定系数法求解即可.
【详解】（1）由于双曲线的焦点在轴上，
可设其标准方程为：，
因为双曲线过点，
所以，
又因为，所以，
解得：，，
故所求双曲线的标准方程为：.
（2）设双曲线方程为，
把点与点代入，
有，解得：，
故所求双曲线的标准方程为：.
18．已知圆与圆
(1)求经过圆与圆交点的直线方程：
(2)求圆与圆的公共弦长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）判断两圆相交，将两圆的方程相减，即可得答案；
（2）确定圆的圆心和半径，求得圆心到两圆公共弦所在直线的距离，根据弦长的几何求法即可求得答案.
【详解】（1）圆的圆心为，半径为，
圆即，圆心为，半径为，
则，故圆与圆相交；
将圆与圆的方程相减，
得，
即经过圆与圆交点的直线方程为；
（2）圆的圆心为，半径为1，
到直线的距离为，
故圆与圆的公共弦长为.
19．已知圆，直线过点.
(1)当直线与圆相切时，求直线的斜率；
(2)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，解出即可；（2）建立点和点之间的关系式，再利用点的坐标满足的关系式得到点的坐标满足的条件，即可求出.
【详解】（1）已知的圆心是，半径是，
设直线斜率为
则直线方程是，即，
则圆心到直线距离为，
解得直线的斜率.
（2）设点则，
由点是的中点得，
所以①
因为在圆上运动，所以②
①代入②得，
化简得点的轨迹方程是.
20．已知椭圆：的一个顶点为，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点坐标为，直线与椭圆交于、两点，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用离心率，根据，，的关系即可求出方程；
（2）设出，两点坐标，联立椭圆方程与直线方程，由韦达定理得出，，再由弦长公式可求出弦的长，然后由点到直线的距离公式，可求出点到直线的距离，即可求出三角形的面积.
【详解】（1）因为椭圆：的一个顶点为，离心率为，
所以有，，
结合，有，解得：，
所以椭圆的方程为：.
（2）由（1）知椭圆的方程为：，
设，，
联立，消去得：，显然，
所以，，
则，
又点到直线的距离，
所以.
21．如图，在多面体中，四边形是边长为2的正方形，四边形是直角梯形，其中，，且．
(1)证明：平面平面；
(2)求平面和平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明即可.
（2）建立空间直角坐标系，先求出两个平面的法向量，然后利用夹角公式即可求解.
【详解】（1）如图所示：
连接.因为是边长为2的正方形，所以，
因为，所以，，
所以，则.
因为，所以.
因为平面ABCD，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）由（1）知，，两两垂直，故以为坐标原点，以射线，，分别为轴，轴，轴的正半轴
建立如图所示的空问直角坐标系.
则，，，，故，，.设平面的法向量为，则，令，则
设平面的法向量为，则，令，则.
，
记平面和平面夹角为，则.
22．已知椭圆的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率，且过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于两点，且直线的倾斜角互补，判断直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)是定值，定值为2
【分析】（1）利用离心率求得之间的关系，结合点在椭圆上，解方程即可得答案；
（2）设出直线方程，联立椭圆方程，得到根与系数的关系，利用直线的倾斜角互补，可得，结合根与系数关系化简即可得结论.
【详解】（1）设椭圆的标准方程为，
由题意知，
故椭圆的标准方程又为，即，
又椭圆过点，，
椭圆的标准方程为；
（2）由题意可知直线的斜率存在且不过点，
设直线的方程为，，
由，消去整理得，
需满足，则，，
直线的倾斜角互补，，
，
，
将，代入得，
整理得，而，
，
所以直线的斜率为定值，其定值为2.
【点睛】难点点睛：本题考查了椭圆方程的求解以及直线和椭圆位置关系中的定值问题，解答的难点在于定值问题，解答时困难在于计算的复杂性，且都是关于字母参数的计算，计算量较大，要十分细心才可以.
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