2023-2024学年山西省太原市实验中学高二上学期11月期中考试数学

这是一份2023-2024学年山西省太原市实验中学高二上学期11月期中考试数学，共14页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，圆与圆的位置关系不可能是，在平行六面体中，E为的中点，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版择性必修第一册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在空间直角坐标系中，点关于原点O的对称点的坐标为（ ）．
A．B．C．D．
2．直线的倾斜角为（ ）．
A．B．C．D．
3．已知点，，动点A满足，则A的轨迹方程为（ ）．
A．B．
C．D．
4．在空间直角坐标系中，已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成的角为（ ）．
A．B．C．D．
5．直线与圆交于A，B两点，则的面积为（ ）．
A．B．C．D．
6．开普勒定律揭示了行星环绕太阳运动的规律，其第一定律指出所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳中心在椭圆的一个焦点上．已知某行星在绕太阳运动的过程中，轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心1.47亿公里，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心1.52亿千里，则该行星运动轨迹的离心率为（ ）．
A．B．C．D．
7．圆与圆的位置关系不可能是（ ）．
A．内含B．相交C．外切D．内切
8．设A是抛物线上的动点，B是圆上的动点，则的最小值为（ ）．
A．B．C．27D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在平行六面体中，E为的中点，则（ ）．
A．B．
C．D．
10．已知椭圆的两个焦点为，，P是C上任意一点，则（ ）．
A．B．
C．D．
11．若曲线与圆恰有4个公共点，则m的值可能是（ ）．
A．B．C．D．2
12．已知双曲线的右焦点为F，过点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，该垂线与另一条渐近线的交点为B，若，则C的离心率可能为（ ）．
A．B．C．D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知双曲线是等轴双曲线，则C的焦距为__________．
14．在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线AB与CD所成角的余弦值为__________．
15．已知P是抛物线上的一动点，点M的坐标为，PQ垂直于x轴，垂足为Q，则的最小值为__________．
16．已知斜率为1的直线l与圆交于A，B两点，P为弦AB的中点，若P的横坐标为m，则m的取值范围为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知的顶点，BC边上的高所在直线的方程为．
（1）求直线BC的一般式方程；
（2）若AC边上的中线所在直线的方程为，求顶点A的坐标．
18．（12分）如图，在棱长为3的正方体中，点E在线段BD上，点F在线段上，且，．
（1）求到直线EF的距离；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
19．（12分）已知圆M的圆心在y轴上，且经过，两点．
（1）求圆M的圆心坐标和半径；
（2）若P是圆M上的一个动点，求P到直线的距离的最小值．
20．（12分）如图，在底面为梯形的四棱锥中，，底面，，，．
（1）证明：平面．
（2）延长AB至点F，使得，求点F到平面的距离．
21．（12分）已知椭圆过点，且短轴长为．
（1）求C的长轴长；
（2）若，分别是C的左、右焦点，过点的直线交C于M，N两点，过点的直线交C于A，B两点，且，A，B，M，N四点围成的四边形的面积为，求的斜率．
22．（12分）已知抛物线的焦点为F，点Q在D上，且的最小值为1．
（1）求D的方程．
（2）过点的直线与D相交于A，B两点，过点的直线与D相交于B，C两点，且A，C不重合，判断直线AC是否过定点．若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
2023～2024学年山西省高二期中联合考试
数学参考答案
1．B 点关于原点O的对称点的坐标为．
2．B 由题意得，所以该直线的倾斜角为．
3．B
因为，所以A的轨迹为双曲线．
设该双曲线的方程为，
则，，，
所以A的轨迹方程为．
4．A
设直线l与平面所成的角为，
则，则．
5．A
由题意得圆心M到直线的距离，
则，
所以的面积为．
6．D
由题意知，，
则该行星运动轨迹的离心率．
7．C
圆C的标准方程为，
因为，所以圆C的圆心在圆D的内部，
所以两圆的位置关系可能是内含、相交、内切，不可能是外切．
8．D
设，则，
当时，取得最小值28，
所以，所以．
9．ABD
由题意得，易得，，
所以，
．
10．BCD
因为，所以，，，
所以，，
，．
11．AC
因为曲线与圆恰有4个公共点，
所以直线，均与圆相交，
且两直线的交点不在该圆上，
则有，解得．
12．AB
不妨设C的一条渐近线的方程为，
则直线AF的斜率为，则．
设，联立直线AF的方程与，
可得，．
同理可得点A的纵坐标为，
因为，所以．
因为，所以或．
13． 由题意得C的焦距为．
14．
因为，，
所以，
所以直线AB与CD所成角的余弦值为．
15．
由题意得C的焦点为，准线为直线，
所以等于P到直线的距离减2，所以．
当F，P，M三点共线时，最小，最小值为，
所以的最小值为．
16．
设，，AB的中点，
由，得，
则，得．
因为在圆M内，所以，得．
17．解：（1）由题意得边BC上的高所在直线的斜率为1，（1分）
则直线BC的斜率为，（3分）
所以直线BC的方程为，即．（5分）
（2）设，因为AC边上的中线所在直线的方程为，且，
所以，则．（7分）
因为BC边上高所在的直线经过点A，（8分）
所以，则，故A的坐标为．（10分）
18．解：（1）以D为坐标原点，DA，DC，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，，（2分）
所以到直线EF的距离为．（5分）
（2）由（1）得，，则．（6分）
易得平面的一个法向量为．（7分）
设平面的法向量为，则，得，
取，则，，得，（10分）
所以平面与平面夹角的余弦值为．（12分）
19．解：（1）因为圆M的圆心在y轴上，
所以可设圆M的方程为．（2分）
又圆M经过，两点，所以，得．（4分）
故圆M的圆心坐标为，半径为．
（2）由题意得圆心M到直线的距离为，（9分）
所以P到直线的距离的最小值为．（12分）
20．（1）证明：因为，所以．（1分）
因为底面，所以，（2分）
因为，（3分）
所以平面．（4分）
又，所以平面．（5分）
（2）解：以B为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，（6分）
，．（7分）
设平面的法向量为，
则，即，（8分）
令，得．（9分）
因为，（10分）
所以点F到平面的距离．（12分）
21．解：（1）由，得．（1分）
将代入C的方程，得，得．（3分）
故C的长轴长为．（4分）
（2）由（1）可知椭圆C的方程为．（5分）
易得的面积是四边形面积的，即，
由题意得，的斜率不为0，，，设．（6分）
由，得，则，（8分）
所以
，（10分）
化简得，得，即．（11分）
故的斜率为．（12分）
22．解：（1）由题意得的最小值为，则，得．（2分）
所以D的方程为．（3分）
（2）因为A，C不重合，所以直线AB，BC，AC的斜率必然存在．（4分）
设，，．
直线AB的斜率，（5分）
得．（6分）
直线BC的斜率，（7分）
得．（8分）
由，消去可得，（9分）
直线AC的斜率，（10分）
所以直线AC的方程为．（11分）