2023-2024学年上海市回民中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年上海市回民中学高二上学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题，未知等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1．空间两两相交且不共点的三条直线可以确定 平面．
【答案】1
【分析】根据平面的事实1即可判定.
【详解】空间两两相交且不共点的三条直线，可得三个交点不在同一条直线上，
根据平面的基本事实1，过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
故答案为：1.
2．一个边长为4的正方形的直观图的面积为 .
【答案】
【分析】根据直观图面积是原图形面积的，即可得出答案.
【详解】解：正方形的面积为，
所以直观图的面积为.
故答案为：.
3．将边长分别为和的矩形，绕边长为的一边所在的直线旋转一周得到一旋转体，则该旋转体的体积为 ．
【答案】
【分析】旋转体为圆柱，高为，底面半径为，利用圆柱体积公式求出答案.
【详解】如图所示，旋转体为圆柱，高为，底面半径为，
故体积为.
故答案为：
4．已知数列满足，（，），则 ．
【答案】
【分析】由题意得到为等差数列，公差为1，从而求出通项公式.
【详解】因为（，），故为等差数列，公差为1，
所以.
故答案为：
5．在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为 .
【答案】.
【分析】根据平面，将直线B1C1到平面的距离转化为C1到平面的距离，进而解出答案.
【详解】如图，在棱长为2的正方体中，取的中点E，连接，则，且，
又平面，平面，所以，而，
所以平面，
易知平面，则C1到平面的距离即为直线B1C1到平面的距离，
所以直线B1C1到平面的距离为.
故答案为：.
6．一平面截一球得到面积为的圆面，球心到这个圆面的距离是球半径的一半，则该球的体积是 .
【答案】
【分析】求出截面圆的半径，利用勾股定理求球的半径，然后求出球的体积．
【详解】设球的半径为，
则球心到这个圆面的距离是，
由，解得：，
所以球的体积.
故答案为：．
7．点是所在平面外一点，且到三顶点距离相等，则点在平面上的射影是的 心（选填“重心”、“外心”、“内心”）．
【答案】外心
【分析】设在平面上的射影为，则平面，连接、、，从而得到，即可得到，即可判断.
【详解】设在平面上的射影为，则平面，连接、、，
则平面，所以，，，
又，所以，
所以，
所以为的外心.
故答案为：外心
8．用数学归纳法证明（，）的过程中，当时，左端应在时的左端上加上
【答案】
【分析】由题意，整理取不同值时的式子，对比可得答案.
【详解】由题意，当时，所得式子为；
当时，所得式子为；
所以当时，左端应在时的左端上加上.
故答案为：.
9．以下命题中，所有真命题的序号为
①如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②垂直于三角形两边的直线必垂直第三边；
③有两个面互相平行，其余的面都是平行四边形的多面体是棱柱；
④用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面都是全等的等腰三角形；
【答案】②④
【分析】对于①，根据公理可得①错误；对于②，由线面垂直的判定和性质得到结论；对于③，可举出反例；对于④，由于圆锥的性质可得④正确.
【详解】对于①，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，①错误；
对于②，直线垂直于三角形两边，因为三角形两边必相交，则此直线垂直于三角形所在的平面，由线面垂直的性质可得直线必垂直第三边，②正确；
对于③，如图所示，满足有两个面互相平行，其余的面都是平行四边形，
但此多面体不是棱柱，③错误；
对于④，用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面为三角形，且有两条边为圆锥的母线，
由于圆锥母线相等，故所得截面都是全等的等腰三角形，④正确.
故答案为：②④
10．我国南北朝时期的数学家祖暅在计算球的体积时，提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.如图（1）是一种“蒙古包”的简易视图，其中底面是个正方形，曲线和均是以2为半径的半圆，平面和平面均垂直于底面.想要计算该蒙古包的体积就可以利用祖暅原理，构造一个与蒙古包同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图（2）），从而求得= .
【答案】
【分析】由题知，正四棱柱的高为，进而根据计算即可.
【详解】解：因为底面是个正方形，曲线和均是以2为半径的半圆
所以，正四棱柱的高为
根据祖暅原理，该蒙古包的体积.
故答案为：
二、单选题
11．当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（ ）
A．三点确定一平面B．不共线三点确定一平面
C．两条相交直线确定一平面D．两条平行直线确定一平面
【答案】B
【分析】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，使得自行车稳定,此时自行车与地面的三个接触点不在同一条线上.
【详解】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上,所以可以确定一个平面，即地面，从而使得自行车稳定.
故选B项.
【点睛】本题考查不共线的三个点确定一个平面，属于简单题.
12．设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．“直线a、b不相交”是“直线a、b为异面直线”的充分非必要条件；
B．内有不共线三点到距离相等，则∥
C．若直线，，则∥；
D．若∥，，则
【答案】D
【分析】根据直线的位置关系判断A，由点面距离概念判断B，由特殊情况判断C，根据线面垂直的性质判断D.
【详解】因为直线a、b不相交，可得直线平行或异面，直线a、b为异面直线则直线a、b不相交，所以“直线a、b不相交”是“直线a、b为异面直线”的必要非充分条件，故A错误；
因为内有不共线三点到距离相等，推不出∥，如两平面相交，交线两侧同一平面内两条与交线都平行且距离相等的直线上分别取2个点和一个点，三点可以到另一平面距离相等，故B错误；
因为直线，，则可能，故C错误；
若∥，，则由线面垂直的性质知，故D正确.
故选：D
13．下列命题中不正确的是（ ）
A．相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B．正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等
C．圆柱的母线垂直于底面D．过球面上两点的大圆有且只有一个
【答案】D
【分析】选项A根据直棱柱的定义，结合线面垂直判定定理即可；选项B画出正四棱锥验证线面角是否相等即可，选项C有圆柱的特征及结构即可判断，选项D根据球截面的特性即可判断.
【详解】选项A，如图所示，在四棱柱中，
若侧面和侧面为相邻的矩形，
因为，
底面，则底面，
由直棱柱定义可知四棱柱为直棱柱，故A正确；
选项B，如图在正四棱锥中，
由正四棱锥可得，底面，底面为正方形，且侧棱相等，
所以侧棱与底面所成角分别为：，故选项B正确，
选项C，由圆柱的特征及结构可知，圆柱的母线都垂直于底面，
故C正确，
若球面上所取的任意两点与球心在同一直线上，则过这两点的大圆有无数个，
故D错误；
故选：D.
14．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为（ ）
A．228里B．192里C．126里D．63里
【答案】B
【分析】应用等比数列的求和公式可得答案.
【详解】由题意得，该人所走路程构成以为公比的等比数列，令该数列为，其前项和为，
则有，解得，
故选：B.
三、解答题
15．已知数列是等差数列，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列的前项和为，求及其最小值．
【答案】(1)
(2)，最小值为
【分析】（1）设的公差为，即可得到关于、的方程组，解得、，从而求出其通项公式；
（2）根据等差数列求和公式计算可得.
【详解】（1）设的公差为，则，
解得，
所以．
（2）由（1）可得，
所以当或时，取得最小值，最小值为．
四、未知
16．如图，在长方体中，，，点P为棱的中点．
(1)证明：∥平面；
(2)求直线与平面所成角的正切值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据中位线的性质得到，然后根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）根据线面角的定义得到直线与平面所成角为，然后求正切值即可.
【详解】（1）
设和交于点，连接，
为长方体，
∴点为中点，
∵点为中点，
∴，
∵平面，平面，
∴∥平面.
（2）为长方体，
∴平面，则直线与平面所成角为，
，，
所以直线与平面所成角的正切值为.
17．在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点C是底面直径所对弧的中点，点D是母线的中点．
(1)求该圆锥的侧面展开图的面积；
(2)求异面直线与所成角的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据圆锥侧面积公式求出答案；
（2）作出辅助线，得到或其补角为异面直线与所成角，求出各边，由余弦定理求出答案.
【详解】（1）圆锥的底面半径为，母线，
故圆锥的侧面展开图的面积为；
（2）取的中点，连接，取的中点，连接，
则，
因为点D是母线的中点．所以⊥平面，
由勾股定理得，故，
因为点C是底面直径所对弧的中点，
所以⊥，，
其中，同理可得，
因为DE是三角形PAB的中位线，所以,
所以或其补角为异面直线与所成角，
由余弦定理得，
故异面直线与所成角的大小为.
五、解答题
18．我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义：“阳马”是指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；“堑堵”是指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图所示，在堑堵中，若， .
(1)求证：四棱锥为阳马；
(2)若直线与平面所成的角为时，求该堑堵的体积；
(3)当阳马的体积最大时，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据定义证明底面为矩形，侧棱矩形面即可；
（2）找出线面角，根据题意以及（1）中的相应条件求出所需线段长度，然后利用三棱柱的体积公式计算即可；
（3）由前两问表示出阳马的体积，利用基本不等式求出最值，从而得到相应线段的长度，在根据图找出、证明、求解点到平面的距离.
【详解】（1）证明：由题意在堑堵中，底面，
由底面，底面，
所以
在三棱柱中，四边形为平行四边形，
所以四边形为平行四边形为矩形，
又，，
所以平面，
所以根据题意得：四棱锥为阳马.
（2）由（1）知平面，
所以斜线在平面的射影为，
所以直线与平面所成的角为，
在中，，
所以
在中，，
所以，
又，所以在中，
，
所以堑堵的体积为：
.
（3）过作交于点，如图所示：
由平面，平面，
所以，又，
所以平面，
所以为点到平面的距离，
由，
因为，
当且仅当时，
阳马的体积最大且为，
在中，,
由等面积法得：，
即，
所以当阳马的体积最大时，点到平面的距离为.