2023-2024学年重庆市万州第二高级中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年重庆市万州第二高级中学高二上学期期中数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线的斜率为（ ）
A．1B．0C．D．不存在
【答案】B
【分析】根据题意，化简得到直线，进而得到直线的斜率.
【详解】由直线，此时直线与平行，所以直线的斜率为.
故选：B.
2．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用向量线性运算的坐标表示即可求得结果.
【详解】由可知，
根据向量减法的坐标运算法则可得，
即.
故选：C
3．平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出即可得出动点P的轨迹方程.
【详解】由题意，
平面内点P到、的距离之和是10，
∴动点的轨迹为椭圆,焦点在轴上,
, 解得：，
∴，
∴轨迹方程为: ，
故选: B.
4．点，P在直线上，，则P点的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】由点到直线的距离，可判断满足条件的点的个数.
【详解】因为点到直线的距离为，
所以P点的个数是1个.
故选：B.
5．已知为直线的方向向量，、分别为平面、的法向量（、不重合），那么下列说法中：①；②；③；④.其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据线面位置关系的空间向量表示分别判断各个小题即可.
【详解】①，判断正确；
②，判断正确；
③，判断错误；
④或，判断错误.
故选：B
6．直线与圆相交所形成的长度为整数的弦的条数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【分析】根据题意可知直线恒过定点，即可求得过该点的最短弦长为，最长弦长为，再利用对称性即可求得结果.
【详解】易知直线恒过定点，
圆的圆心为，半径为，
易知当过点的弦与垂直时，弦长最小，如下图所示：

此时，弦长为；
当弦过圆心时，此时弦长最长为直径，即；
所以长度为整数的弦的取值可以为；
由对称性可知，长度为的弦仅有一条，长度为的弦长各有两条，
即可知长度为整数的弦的条数共条.
故选：D
7．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据直线所过的定点，结合直线与圆的切线性质，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】直线即，恒过定点，
曲线即表示以点为圆心，半径为1，
且位于直线上方的半圆（包括点，），
当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，直线记为；
当与半圆相切时，由，得，切线记为，
分析可知当时，与曲线有两个不同的交点，即实数k的取值范围是.

故选：B.
8．已知A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上不存在点P使，则椭圆离心率e的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，得到以为直径的圆的方程为，联立方程组，化简得到方程，得到方程的另一个根为，结合题意，得到，列出不等式，即可求得离心率e的取值范围.
【详解】设椭圆的方程为，且，
则以为直径的圆的方程为，
联立方程组，且，
整理得，即，其中且，
其中是方程的一个根，
设另一个根为，则，
若椭圆上不存在点P使，则，即，
因为，解得，即椭圆离心率e的取值范围为，
故选：A.
二、多选题
9．已知向量，则（ ）
A．
B．与同向的单位向量为
C．
D．
【答案】ABD
【分析】由点坐标求向量的模，单位向量的定义求与同向的单位向量，坐标运算求数量积、夹角判断各项正误.
【详解】由题设，与同向的单位向量为，A、B正确；
由数量积的坐标运算得，C错误；
由，则，D正确．
故选：ABD
10．若，，，四点共圆，则m的值为（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】AD
【分析】依题意设出圆的一般方程，代入坐标可得圆方程为，由点在圆上即可解得或.
【详解】根据题意可设圆方程为，
将点，，代入可得，解得；
即圆方程为，
又点在圆上，所以，整理得，
解得或.
故选：AD
11．已知椭圆的焦点分别为，，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．椭圆C的离心率为
C．直线l的方程为D．的周长为
【答案】AC
【分析】先由题意求出即可判断A；再根据离心率公式即可判断B；由点差法可以求出直线l的斜率，由直线的点斜式化简即可判断C；由焦点三角形的周长公式即可判断D.
【详解】如图所示：

根据题意，因为焦点在y轴上，所以，则，故选项A正确；
椭圆C的离心率为，故选项B不正确；
不妨设，则，，
两式相减得，变形得，
又注意到点为线段的中点，所以，
所以直线l的斜率为，
所以直线l的方程为，即，故选项C正确；
因为直线l过，所以的周长为，故选项D不正确.
故选：AC．
12．如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（ ）

A．当在平面上运动时，三棱锥的体积为定值
B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C．若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是
D．使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为
【答案】ABD
【分析】对A：由的面积不变，点到平面的距离不变，求出体积即可；
对B：以为原点，建立空间直角坐标系，设，则，结合向量的夹角公式，可判定B正确；
对C：设，求得平面的一个法向量为，得到，可判定C错误.
对D：由直线与平面所成的角为，作平面，得到点的轨迹，可判定D正确；
【详解】对于A：的面积不变，点到平面的距离为正方体棱长，
所以三棱锥的体积的体积不变，
且，所以A正确；
对于B：以为原点，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，可得，
设，则，
设直线与所成角为，
则，
因为，当时，
可得，所以；
当时，，
由，所以，
所以异面直线与所成角的取值范围是，所以B正确；

对于C，由，
设，
则
设平面的一个法向量为，
则，
取，可得，所以，
因为平面，所以，可得，
所以，
当时，等号成立，所以C错误.
对于D：因为直线与平面所成的角为，
由平面，得直线与所成的角为，
若点在平面和平面内，
因为，故不成立；
在平面内，点的轨迹是；
在平面内，点的轨迹是；
在平面时，作平面，如图所示，
因为，所以，又因为，所以，所以，
所以点的轨迹是以点为圆心，以2为半径的四分之一圆，
所以点的轨迹的长度为，
综上，点的轨迹的总长度为，所以D正确；

故选：ABD.
【点睛】方法点拨：对于立体几何的综合问题的解答方法：
（1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；
（2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；
（3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.
三、填空题
13．已知空间向量，且与垂直，则等于 .
【答案】4
【分析】由与垂直，得到，由此能求出的值.
【详解】因为，且与垂直，
所以，解得，
故答案为：4
14．经过直线和的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 .
【答案】或
【分析】先求出两直线的交点坐标，再分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式方程即可得解.
【详解】联立，解得，
即直线和的交点坐标为，
当直线过原点时，方程为，
当直线不过原点时，设直线方程为，
则有，解得，
故直线方程为，即，
综上所述，所求直线方程为或.
故答案为：或.
15．若圆关于直线对称，由点向圆C作切线，切点为，则的最小值是 .
【答案】4
【分析】由题意知圆心在直线上，于是有即可得在直线上，作出图象，由图可得当与直线垂直时，有最小值,在中由勾股定理求解即可.
【详解】解：由题意知，直线过圆心，即，
化简得
所以在直线上，如图，为使最小，
只需圆心与直线上的点的距离最小，
如图所示：
，
所以的最小值为.
故答案为：4.
16．已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据三角形三边之间的不等关系可得，再结合椭圆定义将化为，结合以及图形的几何性质即可求得答案.
【详解】由题意知为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，
故，

故，当且仅当共线时取等号，
所以
，
当且仅当共线时取等号，
而,
故的最小值为，
故答案为：
四、解答题
17．已知直线：.
(1)若直线：求直线与直线的夹角；
(2)若直线与直线的距离等于，求直线的一般式方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出直线、的斜率，利用斜率判断两直线垂直，从而得出两直线的夹角；
（2）依题意设直线的一般式方程为，利用两平行直线间的距离公式求解即可．
【详解】（1）因为直线，斜率，
直线，斜率，
因为，所以，
即直线与直线的夹角为；
（2）若直线与直线的距离等于，则，
设直线的一般式方程为，则，
解得，
所以直线的一般式方程为．
18．如图，在正方体中，分别是的中点．

(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；
（2）根据平面法向量的性质，结合空间点到面距离公式进行求解即可.
【详解】（1）以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，

，
所以直线与所成角的余弦值为；
（2）设平面的法向量为，
则得取，则，
得平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆及点.
(1)若直线过点，与圆相交于两点，且，求直线l的方程；
(2)圆上是否存在点，使得成立？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)或
(2)存在，两个
【分析】(1)根据垂径定理可得圆心到直线的距离为1，然后利用点到直线的距离即可求解；
(2) 假设圆上存在点，设，则，利用题干条件得到点也满足，根据两圆的位置关系即可得出结果.
【详解】（1）圆可化为，圆心为，
若的斜率不存在时，，此时符合要求.
当的斜率存在时，设的斜率为，则令，
因为，由垂径定理可得，圆心到直线的距离
，

所以直线的方程为或.
（2）假设圆上存在点，设，则，
，
即，即，
，
与相交，则点有两个.
20．如图，一艘海警船在O处发现了位于北偏东，距离为6海里的海面上A处有两艘走私船，于是派遣巡逻艇追缉走私船，已知巡逻艇航速是走私船航速的2倍，且它们都是沿直线航行，但走私船可能向任意方向逃窜.
(1)求走私船所有可能被截获的点P在什么曲线上；
(2)开始追缉时发现两艘走私船向相反方向逃窜，速度为20海里/小时，其中一艘的航向为东偏南，于是同时派遣了两艘巡逻艇分别追缉两艘走私船，两艘走私船被截获的地点分别为M，N，求M，N之间的距离.
【答案】(1)点P在圆心为，的圆上；
(2).
【分析】（1）根据巡逻艇航速是走私船航速的2倍，结合两点间距离公式进行求解即可；
（2）根据点到直线距离公式，结合勾股定理进行求解即可.
【详解】（1）∵巡逻艇航速是走私船航速的2倍，
∴，
设，，，，
∴，
化简得：，
即点P在圆心为，的圆上；
（2）令直线的斜率为k，，且直线过点，
可求得直线的方程为，
即，
P在圆心，的圆上，
圆心到直线的距离为，
∴，∴.
21．如图甲，在四边形中，，，将沿折起得图乙，点是上的点.
(1)若为的中点，证明：平面；
(2)若，试确定的位置，使二面角的正弦值等于.
【答案】(1)证明见解析
(2)点在线段靠近的三等分点处.
【分析】（1）取的中点，连接，先证明平面，得出，取的中点，连接，易得，由线面垂直判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，易得平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，根据法向量性质求出，再根据二面角的正弦值等于即可求出参数，从而确定的位置.
【详解】（1）由题意，
，且，故四边形是平行四边形.
又，所以是正三角形，四边形是菱形.
如图所示：
取的中点，连接，
是正三角形，则，.
又，平面，
所以平面，又平面,
所以.
取的中点，连接，
则，即四点共面.
又，则，
由，，，平面，
平面.
（2），，
.又且，
以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，则，
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
又，，
则可取.
由题意，二面角的正弦值等于，
，
，故，即点在线段靠近的三等分点处.
22．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交椭圆K于M，N两点，以线段为直径的圆C与圆内切．
(1)求椭圆K的方程；
(2)过点M作轴于点E，过点N作轴于点Q，与交于点P，是否存在直线使得的面积等于？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；或
【分析】（1）根据已知条件结合椭圆的定义求出，由焦点坐标可知的值，利用，，的关系可求出的值，从而求出椭圆的方程．
（2）依题意可知直线的斜率存在且不为0，设直线方程为，与椭圆的方程联立，结合韦达定理表示出点的坐标，将三角形的面积表示为关于的函数，解方程求出的值即可．
【详解】（1）
设，为线段的中点，
依题意，得：，，
所以，，，
又，所以，
所以椭圆的方程为．
（2）
依题意，当直线斜率为0时，不符合题意；
当直线斜率不为0时，设直线方程为，
联立，得，
易知．
设，，
则，，
因为轴，轴，所以，，
所以直线：①，
直线②，
联立①②解得，
因为，与直线平行，
所以，
因为，
所以，
由，解得，
故存在直线l的方程为或，使得的面积等于．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.