2023-2024学年广东省佛山市顺德区容山中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省佛山市顺德区容山中学高二上学期期中数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．从甲，乙等五名同学中随机选3人参加社区服务工作，则甲，乙中至少有一人入选的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出甲乙两人都没入选的概率后，由对立事件的概率公式可得结论．
【详解】从甲，乙等五名同学中随机选3人的方法数为，甲乙两人都没入选只有一种方法，概率为，
因此甲、乙中至少有一人入选的概率为．
故选：B．
2．为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】C
【分析】确定，，排除ABD，得到答案.
【详解】对选项A：，向量共面，故不能构成基底，错误；
对选项B：，向量共面，故不能构成基底，错误；
对选项C：假设，即，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，正确；
对选项D：，向量共面，故不能构成基底，错误；
故选：C
3．抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件A：出现的点数为质数，事件B：出现的点数不小于3，则事件A与事件B（ ）
A．相互独立B．对立C．互斥但不对立D．概率相等
【答案】A
【分析】根据即可得到答案。
【详解】抛掷骰子可能得到的点数为1，2，3，4，5，6，其中质数为2，3，5，
所以，故，
所以A与B相互独立．
故选：A
4．目前，国际上常用身体质量指数BMI来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．某公司对员工的BMI值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为；女员工中，肥胖者的占比为，已知公司男、女员工的人数比例为2：1，若从该公司中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出任选一名员工为肥胖者的概率和肥胖者员工为男性的概率，再根据条件概率计算即可.
【详解】设公司男、女员工的人数分别为和，
则男员工中，肥胖者有人，
女员工中，肥胖者有人，
设任选一名员工为肥胖者为事件，肥胖者为男性为事件，
则，，
则.
故选：D.
5．过点且平行于直线的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由平行关系设出直线方程，再根据过点，可得到答案．
【详解】所求直线与直线平行，
可设所求直线方程为，
又过点，则，解得，
所求直线方程为
故选：B．
6．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据向量线性运算，以为基底表示出，从而确定的取值.
【详解】，，
，
，，，.
故选：A.
7．如图，已知圆锥的底面半径为，母线长为，为圆锥底面圆的直径，是圆弧的中点，是母线的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值.
【详解】解：连接、，因为为圆锥底面圆的直径，是圆弧的中点，则，
为的中点，则，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
因为，，易知，则，
所以，、、、，
，，则，
因此，异面直线与所成角的余弦值为.
故选：C.
8．已知直线的斜率小于0，且经过点，并与坐标轴交于，两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可设直线：，由题意分别求出，，即可表示出的面积，再由均值不等式即可求出答案.
【详解】由题意可设直线：，将点的坐标代入，
得，则，则.
不妨假设在轴上，则，
记为坐标原点，因为线段与的长度分别为，，
所以的面积，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：C.
二、多选题
9．在下列四个命题中，错误的有（ ）
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
【答案】ACD
【分析】根据直线的斜率与倾斜角的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中：当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为，斜率不存在，所以A错误；
对于B中：根据直线倾斜角的定义，可得直线倾斜角的取值范围是，所以B正确；
对于C中：一条直线的斜率为，此直线的倾斜角不一定为，
如：直线的斜率为，它的倾斜角为，所以C错误；
对于D中：一条直线的倾斜角为时，它的斜率为或不存在，所以D错误.
故选：ACD
10．某次数学考试的多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得分”.已知某选择题的正确答案是CD，且甲､乙､丙､丁四位同学都不会做，则下列表述正确的是（ ）
A．甲同学仅随机选一个选项，能得2分的概率是
B．乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是
C．丙同学随机选择选项，能得分的概率是
D．丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是
【答案】ABC
【分析】可采用列举法，写出每个选项中相应的事件的基本事件，计算出符合题意的事件的个数，根据古典概型的概率公式即可求得相应的概率，即可判断答案.
【详解】甲同学仅随机选一个选项共有4种可能，能的2分的情况是选C或D，
故能得2分的概率为，故A正确.
乙同学仅随机选两个选项，所有可能的结果为AB，AC，AD，BC，BD，CD，共有6种可能的结果，
设事件M表示“乙同学仅随机选两个选项，能得5分”，
则事件M包含的样本点有CD，故，故B正确.
丙同学随机选择选项（丙至少选择一项），所有可能的结果为选择一项：A，B，C，D；
选择两项：AB，AC，AD，BC，BD，CD；选择三项或全选：ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD，共有15种可能的结果.
设事件N表示“丙同学随机选择选项，能得分”，则事件N包含的样本点有C，D，CD，共有3种可能的结果，
故，故C正确.
丁同学随机至少选择两个选项，由上述分析可知，共有11种可能的结果，
设事件E表示“丁同学随机至少选择两个选项，能得分”，
则事件E包含的样本点为CD，只有1种可能的结果，故，故D错误.
故选:ABC.
11．给出下列命题正确的是（ ）
A．直线的方向向量为，平面的法向量为，则与平行
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．点到直线的的最大距离为
D．已知，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，，，四点共面
【答案】CD
【分析】计算得到A错误，计算倾斜角得到B错误，确定直线过定点，计算得到C正确，确定得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A：，故不平行，错误；
对选项B：直线的斜率为，
，故，错误；
对选项C：直线的，即，
，解得，即直线过定点，
故最大距离为，正确；
对选项D：，则，
即，故，，，四点共面，正确；
故选：CD.
12．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流，，其方程分别为，，点，，则下列说法正确的是（ ）
A．将军从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是7
B．将军从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是7
C．将军从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是
D．将军从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是
【答案】AC
【分析】确定关于，的对称点，利用两点距离最小判断A、B；确定关于，的对称点，利用两点距离最小判断C、D；
【详解】由关于，的对称点分别为，而，

从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是，A对；
从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是，B错；
由关于，的对称点分别为，

从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程，C对；
从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是，D错.
故选：AC
三、填空题
13．若直线的一个方向向量是，则直线的斜率是 .
【答案】
【分析】根据方向向量与直线斜率的关系，直接可以求得斜率.
【详解】因为直线的一个方向向量是，所以直线的斜率.
故答案为：
14．如图，电路中A、B、C三个电子元件正常工作的概率分别为，，则该电路正常工作的概率 .

【答案】0.672/
【分析】根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率计算公式即可得到答案.
【详解】由题意，电路能正常工作的条件是：
必须正常工作，，至少有一个正常工作，
所以电路能正常工作的概率为，
故答案为：.
15．已知，，，则 .
【答案】2
【分析】根据即可求解.
【详解】因为，所以,
因为，所以,
即，解得.
故答案为:2.
16．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则面积的最大值是 ．
【答案】
【详解】试题分析：易知A（0，0），B（1，3）两直线互相垂直，故为所求．
【解析】基本不等式．
四、解答题
17．一个袋子中装有标号为1，2，3，4，5的5个球，除标号外没有其他差异，
(1)采取不放回的方式从袋中依次任意摸出两球，设事件“第一次摸出球的标号小于第二次摸出球的标号”，写出样本空间并求事件A发生的概率；
(2)采取有放回的方式从袋中依次任意摸出两球，设事件“第一次摸出球的标号是奇数”，设事件“第二次摸出球的标号是偶数”，那么事件B与事件C是否相互独立？
【答案】(1)样本空间见解析，
(2)事件与事件相互独立
【分析】（1）由题意写出样本空间，利用古典概型公式求解概率；
（2）利用独立事件的定义判断.
【详解】（1）5球中不放回的摸出2球，这个试验的样本空间
.
则，
，，从而．
（2）5球中有放回的摸出2球，这个试验的样本空间，
，从而，
，从而，
，从而，
此时，
所以事件与事件相互独立.
18．已知直线经过点．
(1)若与直线：垂直，求的方程；
(2)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据两直线垂直得到的斜率，进而利用点斜式求出直线方程；
（2）考虑截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，待定系数法求出直线方程.
【详解】（1）由题可知，的斜率为，
设的斜率为，因为，所以，则，
又经过点，所以的方程为，即；
（2）若在两坐标轴上的截距为0，即经过原点，设的方程为，
将代入解析式得，解得，
故的方程为，
若在两坐标轴上的截距不为0，则设的方程为，
由，得，
故的方程为，
综上，的方程为或.
19．某产品在出厂前需要经过质检，质检分为个过程，第个过程，将产品交给位质检员分别进行检验，若位质检员检验结果均为合格，则产品不需要进行第个过程，可以出厂；若位质检员检验结果均为不合格，则产品视为不合格产品，不可以出厂；若只有位或位质检员检验结果为合格，则需要进行第个过程，第个过程，将产品交给第位和第位质检员检验，若这位质检员检验结果均为合格，则可以出厂，否则视为不合格产品，不可以出厂．设每位质检员检验结果为合格的概率均为，且每位质检员的检验结果相互独立．
(1)求产品需要进行第个过程的概率；
(2)求产品不可以出厂的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得产品在进行第个过程时有位或位质检员检验结果为合格，可得概率；
（2）当第个过程中位质检员检验结果均为不合格，或第个过程中，位质检员检验结果不全为合格，不可以出厂.
【详解】（1）由已知可得产品在进行第个过程时有位或位质检员检验结果为合格，
所以；
（2）第个过程中位质检员检验结果均为不合格，概率为，
第个过程中，位质检员检验结果不全为合格，概率为，
所以不可以出厂的概率.
20．如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为．

(1)求的长；
(2)求与夹角的正弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）记，根据空间向量的运算表示出，根据向量模的计算即可得答案；
（2）求出空间向量的数量积和它们的模长，根据空间向量的夹角的计算，即可求得答案.
【详解】（1）记，则，
所以，
由于，故
，
故，即的长为；
（2）由于，
所以
，
，
故，
由于与夹角的范围为，
故与夹角的余弦值为.
21．已知直线l经过点．
(1)若原点到直线l的距离为2，求直线l的方程；
(2)若直线l被两条相交直线和所截得的线段恰被点P平分，求直线l的方程．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）分类讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解；
（2）设A，B的坐标分别设为，根据题意结合中点坐标公式求点A的坐标，再利用直线的两点式方程运算求解.
【详解】（1）①直线l的斜率不存在时，直线方程为，符合条件；
②直线l的斜率存在时，设直线方程为，即，
由原点到直线l的距离为2得，解，
故直线l的方程为，即；
综上，所求直线l的方程为或．
（2）设直线l夹在直线之间的线段为AB（A在上，B在上），
设A，B的坐标分别设为，
因为AB被点P平分，则，即，
又因为A在上，B在上，即，所以，
解得，，即A的坐标是，
又因为直线过点，
所以直线l的方程是，即．
22．如图，在四棱锥中，四边形ABCD是直角梯形，，，，，，E是棱PB的中点.
(1)证明：平面ABCD.
(2)若，求平面DEF与平面PAB夹角的余弦值的最大值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）由线线垂直证平面PBC，并依次证、平面PBD、、平面ABCD；
（2）由向量法求面面角建立面面角余弦值的函数，进而讨论最大值.
【详解】（1）取CD中点M，连接BD、BM，设，∴.
∵，，∴四边形为矩形，
∴，∴，∴.
，E是棱PB的中点，∴.
∵，平面PBC，∴平面PBC，
又平面PBC，∴.
∵平面PBD，∴平面PBD，
∵又平面PBD，∴.
∵，∴，
平面ABCD，∴平面ABCD；
（2）由（1）得两两垂直，则可建立空间直角坐标系，如图所示，
则
∵，，即，∴.
设平面DEF的法向量为，，
则，令，得，
设平面PAB的法向量为，，
则，令得，
故平面DEF与平面PAB夹角的余弦值为
令，则，则当，即时，取得最大值，为.
故平面DEF与平面PAB夹角的余弦值的最大值为.