2023-2024学年广东省开平市忠源纪念中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省开平市忠源纪念中学高二上学期期中数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角．
【详解】直线的斜率，
则，
所以直线的倾斜角,
故选：A
【点睛】本题主要考查直线倾斜角的求法，直线的斜率，属于基础题．
2．已知，，且，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意得存在实数，使得，进而解方程即可得答案.
【详解】解：因为，所以存在实数，使得，
所以，解得.
故选：C
3．圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】根据圆的一般方程的圆心坐标为，半径为，即可求出结果.
【详解】由于圆，所以其圆心坐标为，即；半径为.
故选：A.
4．直线：的一个方向向量的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将直线的方程整理为斜截式，求得斜率，得到方向向量之一，利用直线的方向向量都共线，进而可以判定.
【详解】直线的方程可以改写为：,斜率为,∴直线的一个方向向量的坐标为,直线的所有的方向向量的坐标为的形式，故只有D是正确的，对应的，其余的向量都与这个向量不共线，都是错误的.
故选：D.
5．经过两点，的直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求直线的斜率，再代入点斜式方程，即可得到答案；
【详解】，
直线的方程为，
故选：D
6．已知空间向量，，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量垂直得，即可求出的值.
【详解】.
故选：B.
7．两个不重合的平面α与平面ABC，若平面α的法向量为，，，则（ ）
A．平面平面ABCB．平面平面ABC
C．平面α、平面ABC相交但不垂直D．以上均有可能
【答案】A
【分析】由平面α的法向量与平面ABC的法向量的关系，判断两个平面的位置关系.
【详解】设平面ABC的法向量为,
则，设，则，，即
由，得平面平面ABC．
故选：A
8．如图，在长方体中，P是线段上一点，且，若，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】利用向量加法以及减法的几何意义并结合向量的线性运算即可得解.
【详解】长方体中，依题意，，
，
而，又不共面，于是得，，，
所以.
故选：B
二、多选题
9．已知向量，，，则（ ）
A．B．C．D．向量，，共面
【答案】ABD
【分析】空间向量模的坐标计算可以验证选项A，
向量坐标减法运算验证选项B，
两向量数量积为0验证选项C，
利用向量共面条件验证选项D.
【详解】因为，
所以，
，
所以A正确；
，
故B正确；
，
故C不正确；
由，
所以，故选项D正确.
故选：ABD.
10．若方程表示一个圆，则的取值可能为（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】AC
【分析】根据圆的一般方程，建立系数方程，经检验，可得答案.
【详解】解：由圆的一般方程形式知，的系数相同，
则，∴或3，
当时，方程为表示一个圆；
当时，方程为表示一个圆.
故选：AC.
11．下列结论正确的是（ ）
A．过点，的直线的倾斜角为
B．若直线与直线垂直，则
C．直线与直线之间的距离是
D．已知，，点在轴上，则的最小值是5
【答案】BD
【分析】根据直线的倾斜角、直线垂直、平行直线的距离、最小值等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，所以直线的倾斜角不是，
所以A选项错误.
B选项，若直线与直线垂直，
所以，所以B选项正确.
C选项，直线，即，
与直线之间的距离是，所以C选项错误.
D选项，关于轴的对称点为,
的最小值是，所以D选项正确.
故选：BD
12．已知圆与直线，下列选项正确的是（ ）
A．直线与圆必相交
B．直线与圆不一定相交
C．直线与圆相交且所截最短弦长为
D．直线与圆可以相切
【答案】AC
【分析】求出直线经过定点，根据定点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系，结合几何知识可知当直线与过定点和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，由此可求出答案.
【详解】解：直线过定点，
又，所以点在圆内，所以直线与圆必相交，
所以A正确，B，D错误，
因为圆心与点间的距离为，圆半径为2.
所以最短弦长为，故C正确，
故选：AC.
三、填空题
13．点到直线的距离是 ．
【答案】
【分析】由点到直线距离公式计算．
【详解】由题意．
故答案为：3．
14．已知直线，且的方向向量为，平面的法向量为，则 .
【答案】
【分析】根据得到向量与平面的法向量垂直，然后列方程求解即可.
【详解】解：∵，且的方向向量为，平面的法向量为，
∴向量与平面的法向量垂直，
∴，
∴解得.
故答案为：.
15．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 ．
【答案】
【解析】设向量在向量上的投影向量是，由题意可得，求得实数的值，即可得解.
【详解】设向量在向量上的投影向量是，
由题意可得，即，解得，
因此，向量在向量上的投影向量是.
故答案为：.
16．已知点满足，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】化简不等式，判断出的图形，结合直线和圆的位置关系求得的取值范围.
【详解】依题意，即，
是圆上和圆内的点，
设直线即与圆相切，
圆心到直线的距离为，
解得或，
所以的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
17．求经过直线：与直线：的交点M，且满足下列条件的直线方程.
（1）与直线平行；
（2）与直线垂直.
【答案】（1）；（2）.
【分析】先求出交点坐标，再根据直线的点斜式，即可求解.
【详解】解：直线：与直线：的交点M，
，解得 所以交点，
所求直线方程与直线平行，
所求直线的斜率为，所求直线方程为，即.
所求直线与直线垂直，
所求直线的斜率为，
所求直线方程为，即
18．求满足下列条件的圆的标准方程.
(1)圆心为，经过点；
(2)圆心在直线上，且与轴交于点，.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两点距离可得圆的半径，即可由标准式求解方程，
（2）根据圆心和半径即可求解方程.
【详解】（1）由两点间的距离公式可得圆的半径，
故圆的标准方程为.
（2）因为圆与轴交于点，，所以圆心在直线上.
又圆心在直线上，所以圆心的坐标为，
所以圆的半径，故圆的标准方程为.
19．已知向量，．
(1)求；
(2)求；
(3)若（），求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示即可得解；
（2）求出，再根据空间向量的模的坐标表示即可得解；
（3）由，可得，再根据数量积的运算律即可得解.
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：因为，
所以，
即，
解得.
20．如图，在正方体中，E、F为棱AD、AB的中点．
(1)求证：平面
(2)求证：平面平面
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）连接，证明，可得，再根据线面平行的判定定理即可得证；
（2）易证，，根据线面垂直的判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证.
【详解】（1）证明：连接，
在正方体中，对角线，
又∵E、F为棱的中点，
∴，
又平面， 在平面外，
∴平面；
（2）证明：∵在正方体中， 平面，
而平面，∴，
又∵在正方形中， ，
又∵，∴平面，
又∵平面，
∴平面平面.
21．已知圆：.
(1)若直线与交于A，两点，线段的中点为，求；
(2)已知点的坐标为，求过点的圆的切线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据运算求解；
（2）根据直线与圆相切可得，结合点到直线的距离公式运算求解，注意讨论直线l的斜率是否存在.
【详解】（1）：的圆心，半径
设线段的中点为，则
∴.
（2）当的斜率不存在时，则：，圆心到直线的距离为，即与圆相切，
∴符合题意；
当的斜率存在时，设为，则直线：，即
由题意可得：，解得，
∴直线：；
综上所述：的方程为或.
22．如图，正三角形与菱形所在的平面互相垂直，，，是的中点．
(1)求点到平面的距离；
(2)已知点在线段上，且直线与平面所成的角为，求出的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，证明出、、两两垂直，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离；
（2）设，，求出向量的坐标，利用空间向量法可得出关于的等式，结合可求出的值，即可求出的值.
【详解】（1）解：连接，∵，是的中点，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，又平面，
∴，菱形中，，所以是正三角形，
∴．∴、、两两垂直．
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设是平面的一个法向量，
则，令，得，
设点到平面的距离为，则，
所以，点到平面的距离为.
（2）解：由题意可知，平面的一个法向量为，
，，
设，，
则，
∵直线与平面所成的角为，
，
整理可得，解得，
所以，．