2023-2024学年河南省洛阳市第一高级中学高二上学期期中达标数学测评卷（B卷）含答案

这是一份2023-2024学年河南省洛阳市第一高级中学高二上学期期中达标数学测评卷（B卷）含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若的周长为18，长半轴长为5，则椭圆C的离心率为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】因为的周长为18，所以，结合题意可得，代入离心率公式运算求解．
【详解】设焦距为．
因为的周长为18，所以，所以．
因为长半轴长为5，即
所以椭圆C的离心率为
故选：B．
2．如图，圆台的高为4，上、下底面半径分别为3、5，M、N分别在上、下底面圆周上，且，则||等于（ ）
A．B．5C．D．5
【答案】A
【分析】用，，表示出，计算再开方即可得出答案.
【详解】∵O2M⊥O1O2，O1N⊥O1O2，
∴•0，0，
又3×5×cs60°.
∵，
∴2＝（）2
222+2•229+16+25+15＝65，
∴||.
故选：A.
3．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )
A．3B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】先求出点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，再求出m的值和原点到直线l的距离即得解.
【详解】依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，
则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．
设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，
根据平行线间的距离公式得
所以|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6，
即l：x＋y－6＝0.
根据点到直线的距离公式得M到原点的距离的最小值为.
故选：A.
【点睛】本题主要考查平行线间的距离和点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．如图，四棱锥的底面是菱形，，，平面，且，E是的中点，则到平面的距离为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，由得平面，进而将到平面的距离转化为点到平面的距离，根据点到平面距离的向量公式计算即可．
【详解】取的中点，连接，
因为四边形是菱形，，
所以为等边三角形，
又因为为中点，
所以，
以点为原点，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，得，
因为，
所以，即，
又因为平面，
所以平面，
所以到平面的距离就是点P到平面的距离
因为，
所以点P到平面的距离，
所以到平面BED的距离为，
故选：A．
5．若圆关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【分析】可以用两种方法求最小值：（1）代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，利用函数求最值；
（2）几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．
【详解】方法一：由，得，
依题意得圆心在直线上，
即，整理得 ①．
易知由点向圆所作的切线长 ②，
将①代入②，得．
又，所以当时，．
方法二：因为过圆外一点的圆的切线长、半径和该点到圆心的距离满足勾股定理，
即，所以切线长最短时该点到圆心的距离最小，则原问题转化成求该点与圆心的距离的最小值问题．
由题意知圆心，半径，点满足，即点在直线上；
所以点与圆心的距离的最小值即圆心到直线的距离，
易求得，所以切线长的最小值为．
故选：C
6．已知抛物线的焦点为F，经过点且斜率为的直线与抛物线交于两点，若，且，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】过点分别作于点，于点，则，根据题意，求得点的坐标为，结合的面积，列出方程，即可求解.
【详解】抛物线的准线方程为，直线l的方程为，
如图所示，过点分别作于点，于点，则，
由得，点为的中点，
又因为为的中点，连接，则，所以，
所以点B的横坐标为，
将代入抛物线，可得，所以点的坐标为，
又由，解得.
故选：B.
7．如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，设出，，求出两平面的法向量，从而根据两平面的所成角得到方程，求出，求出BE的长的最大值.
【详解】依题意，，，两两互相垂直，
以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

设，（，，且m，n不同时为0），
则，，，所以，.
设平面AEF的一个法向量为，
则，
令，得，则，
显然为平面ABC的一个法向量.
因为平面与平面所成角的大小为，
所以，
即，
得，
所以，所以当时，m取得最大值，最大值为.
故选：B
8．抛物线的准线l与双曲线C：（，）交于A、B两点，，为曲线C的左右焦点，在l左边，为等边三角形，与双曲线的一条渐近线交于E点，，则的面积为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据点是中点，结合是等边三角形，以及余弦定理，求得，利用三角形面积公式即可求得结果.
【详解】根据题意，作图如下：
由，可得E为的中点，又O为的中点，
∴，
∵为等边三角形，∴，，
∴，.
抛物线的准线l：，
∴的边长为，，
在中，由余弦定理可得：.
即，
解得：，，.
.
则的面积为.
故选：D.
【点睛】本题考查椭圆方程的求解，由抛物线方程求准线方程，涉及余弦定理，属综合困难题.
二、多选题
9．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则（ ）
A．椭圆的短轴长为B．当最大时，
C．离心率为D．的最小值为3
【答案】ABD
【分析】椭圆定义有，结合已知确定的最小值并确定此时的位置，即可判断D、B的正误，此时设，结合椭圆方程求短轴长，即可判断A、C的正误.
【详解】由题意知，所以．
因为的最大值为5，所以的最小值为3，故D正确．
当且仅当轴时，取得最小值，此时，故B正确．
由B的分析，不妨令，代入椭圆方程，得．又，所以，得，
所以椭圆的短轴长为，故A正确．
易得，所以，故C错误．
故选：ABD.
10．如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点，是线段上的动点，则（ ）
A．
B．三棱锥的体积是定值
C．异面直线与所成角的最小值是
D．直线与平面所成角的正弦值的最小值是
【答案】BC
【分析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量关系即可求出.
【详解】以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
所以，
所以，所以不垂直，故A错误；
因为，所以的面积为定值，
因为，平面，平面，所以平面，
所以点到平面的距离为定值，即三棱锥的高为定值，则三棱锥的体积为定值，故B正确.
因为,
所以，
设异面直线与所成的角为，
则
.
当或1时，取得最大值为，所以的最小值为，故C正确；
因为，所以，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，可得，
设直线与平面所成的角为，
则，
当时，取得最小值为，故D错误.
故选：BC.
11．已知，圆，，则（ ）
A．当时，两圆相交B．两圆可能外离
C．两圆可能内含D．圆可能平分圆的周长
【答案】AB
【分析】首先得出两圆的圆心和半径，然后将圆心距与半径之和、之差作比较，即可判断ABC，若圆平分圆的周长，则两圆的公共弦所在直线过点，然后通过计算可判断D.
【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
所以，，
当时，，所以两圆相交，故A正确；
因为，所以两圆可能外离，不能内含，故B正确C错误；
圆的一般方程为，
所以两圆的公共弦所在直线方程为，
若圆平分圆的周长，则直线过点，
所以，此方程无解，所以圆不能平分圆的周长，故D错误；
故选：AB
12．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的有（ ）
A．当E点运动时，总成立
B．当E向运动时，二面角逐渐变小
C．二面角的最小值为
D．三棱锥的体积不为定值
【答案】AC
【分析】对A：通过证明平面，即可由线面垂直证明线线垂直，即可判断；
对B：根据几何特点，即可直接判断；
对C：建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角夹角的余弦值，根据其范围，即可判断；
对D：利用棱锥体积公式，即可求得三棱锥的体积，即可判断.
【详解】对A：因为，面，所以面，
因为面，所以，同理可证，
因为，面，所以平面，
因为平面，所以总成立，故选项A正确；
对B：平面即平面，而平面即平面，所以当E向运动时，
二面角大小不变，选项B不正确；
对C：建立如图所示的空间直角坐标系：
则，
因为E，F在上，且，故可设
，设平面的法向量为，
又，所以，取，则，
平面的法向量为，所以，
设二面角的平面角为，则为锐角，
故，当，故，所以，
当且仅当时取最大值，即取最小值，故C正确；
对D：因为，点A到平面的距离为，
所以体积为，即体积为定值，故选项D错误．
故选：AC．
三、填空题
13．设，已知直线l1：，过点作直线l2，且l1∥l2，则直线l1与l2之间距离的最大值是 ．
【答案】
【分析】直接利用方程组求出直线经过的定点，则当此定点和点的连线与l1垂直时，直线l1与l2之间距离取得最大，进一步利用两点间的距离公式求出结果．
【详解】解：由于直线l1：，整理得，
由，解得，即直线l1恒过点；
则过点作直线l2，且l1∥l2，
所以直线l1与l2之间距离的最大值为点与点间的距离
．
故答案为：．
14．已知是椭圆上关于原点对称的两点，其中，过点A作与垂直的直线l与椭圆C交于两点.若分别表示直线的斜率，则 .
【答案】6
【分析】设，记直线的斜率为，根据垂直关系得到，结合椭圆方程计算得到答案.
【详解】令，则，且.
设，记直线的斜率为，
所以.
因为，所以，又，
且，所以，即，所以.
故答案为：.
15．自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状、大小与空间格子的平行六面体单位相同．如图是某种晶体的晶胞，其中，，，，，则该晶胞的体对角线的长为 ．
【答案】
【分析】在晶胞各顶点标上字母，由空间向量基本定理得出，将两边平方，结合空间向量数量积的运算法则，计算即可．
【详解】在晶胞各顶点标上字母，如图所示，
则，
由题可知，，，，，
所以
，
故，
故答案为：．
16．已知抛物线，倾斜角为的直线过焦点，且与在第一象限交于点M，过点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为E，直线交C于两点，则 ．
【答案】
【分析】由抛物线的定义得出焦点的坐标，由直线的倾斜角，得出为等边三角形，且直线的倾斜角为，由直线的方程与抛物线联立得出交点坐标，设A点在第二象限，由抛物线的定义即可得出，由直线l与直线AB的倾斜角得出直线l与直线关于y轴对称，则点和点关于轴对称，得出点坐标，由为等边三角形，即可得出，从而求得比值．
【详解】由题意知，抛物线的焦点，准线方程，
因为，所以，
由直线l的倾斜角为，知，故为等边三角形，
易知直线的倾斜角为，所以直线的方程为，
联立抛物线与直线的方程得，解得或，
如图所示，不妨设A点在第二象限，所以，
由抛物线的定义知，
由直线l与直线AB的倾斜角可知，直线l与直线关于y轴对称，且抛物线关于轴对称，
所以点和点关于轴对称，即，
又为等边三角形，所以，
所以，
故答案为：．
四、解答题
17．已知圆，点.
(1)若，半径为的圆过点，且与圆相外切，求圆的方程；
(2)若过点的两条直线被圆截得的弦长均为，且与轴分别交于点、，，求.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）设圆心，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出圆的方程；
（2）分析可知直线、的斜率存在，设过点且斜率存在的直线的方程为，即，利用勾股定理可得出，可知直线、的斜率、是关于的二次方程的两根，求出、的坐标，结合韦达定理可求得的值.
【详解】（1）解：设圆心，圆的圆心为，
由题意可得，解得或，
因此，圆的方程为或.
（2）解：若过点的直线斜率不存在，则该直线的方程为，
圆心到直线的距离为，不合乎题意.
设过点且斜率存在的直线的方程为，即，
由题意可得，整理可得，
设直线、的斜率分别为、，
则、为关于的二次方程的两根，
，
由韦达定理可得，，
在直线的方程中，令，可得，即点
在直线的方程中，令，可得，即点，
所以，，解得.
五、证明题
18．如图1，在平面图形中，，，，，沿将折起，使点到的位置，且，，如图2.

(1)求证：平面平面.
(2)线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为?若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)线段FG上存在点M，
【分析】（1）根据题意，分别证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面平面；
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，假设线段上存在点满足题意，令,求得平面和平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，列出方程，即可求解.
【详解】（1）证明：因为，所以，
又因为，所以，
因为，且，所以四边形为等腰梯形，
又因为，所以，
所以，所以，即，
因为，，平面AEG，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）解：由，，且，平面，
所以平面，
因为，可得，所以平面，
又由（1）知，，所以两两互相垂直，
以为原点，所在的直线分别为 轴、轴和轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，

因为，四边形是矩形，所以，
则，，.
假设线段上存在点满足题意，
令,则，可得，.
设平面的一个法向量为，则，
取，可得，所以，
由平面，则平面的一个法向量为，
设平面与平面所成角为，
则，其中，
所以，解得，即，
所以线段上存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为，且.
六、解答题
19．已知双曲线的左、右焦点分别为，斜率为的直线l与双曲线C交于两点，点在双曲线C上，且.
(1)求的面积；
(2)若（O为坐标原点），点，记直线的斜率分别为，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)为定值.·
【分析】（1）设，根据两点间长度得出与，即可根据已知列式解出，即可得出答案；
（2）根据第一问得出双曲线的方程，设，直线l的方程为，根据韦达定理得出，即可根据直线方程得出与，则根基两点斜率公式得出，化简代入即可得出答案.
【详解】（1）依题意可知，，
则，
，
又，所以，
解得（舍去），
又，所以，
则，
所以的面积.
（2）由（1）可，解得，
所以双曲线C的方程为，
设，则，则，，
设直线l的方程为，与双曲线C的方程联立，消去y得：，
由，得，
由一元二次方程根与系数的关系得，
所以，
，
则，
故为定值.·
20．已知抛物线，拋物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3．
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）过的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，交直线于点E，直线BF交直线于点D，是否存在这样的直线l，使得？若不存在，请说明理由；若存在，求出直线l的方程．
【答案】（1）抛物线C的方程为，准线方程为；（2）存在直线或．
【分析】（1）根据抛物线的定义即可求得抛物线的标准方程以及准线飞航程.
（2）设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，消去后根据判别式大于零求得的取值范围，写出韦达定理.结合得到直线与直线的斜率相等，由此列方程，解方程求得的值，也即求得直线的方程.
【详解】（1）因为横坐标为的点到焦点的距离为,所以,解得, 所以，
即准线方程为.
（2）显然直线的斜率存在,设直线的方程为,.
联立得，消去得.
由,解得. 所以且.
由韦达定理得,.
直线的方程为,
又,所以,所以,
因为,所以直线与直线的斜率相等
又,所以.
整理得,即,
化简得,,即.
所以,整理得,
解得. 经检验,符合题意.
所以存在这样的直线,直线的方程为或．