2023-2024学年河南省南阳六校高二上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河南省南阳六校高二上学期期中考试数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知直线l过点和，则直线l在y轴上的截距为（ ）
A．－1B．0C．2D．4
【答案】C
【分析】两点式求斜率，再由点斜式写出直线方程，进而求截距.
【详解】直线l的斜率为，
∴直线l的方程为，即，故直线l在y轴上的截距为2.
故选：C
2．已知椭圆的左、右焦点分别是，，P为C上一点，且，Q是线段的中点，O为坐标原点，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】A
【分析】根据椭圆的定义，结合题意，求得，再由OQ为的中位线，即可求解.
【详解】由椭圆的方程，可得，根据椭圆的定义得，
因为，可得，
又因为Q是的中点，O是的中点，
所以OQ为的中位线，可得.
故选：A.
3．已知双曲线C：的渐近线方程为，且C过点，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用待定系数法即可得解.
【详解】因为双曲线C的渐近线方程为，
所以可设C的方程为，
把点的坐标代入得，
所以C的方程为，即.
故选：B.
4．已知直线，圆，若过l上一点A向圆C引切线，则切线长的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】根据圆的性质，得到直线l上的点A到圆心C的距离最小时，切线长最小，结合点到直线的距离公式和圆的切线长公式，即可求解.
【详解】由圆的性质，可得当直线l上的点A到圆心C的距离最小时，切线长最小，
因为圆，可得圆心，半径为，
则圆心到直线的距离为，
即，所以切线长的最小值为.
故选：D.
5．已知直线l过点，且在x轴上的截距为y轴上截距的3倍，则直线l的方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】考虑截距是否为0两种情况即可.
【详解】分两种情况：①当过原点时，由直线经过点，
可得直线方程为，即；
②当不过原点时，设的方程为，
将点的坐标代入得，解得，
此时的方程为，即.，
故选：C
6．已知直线l：与抛物线C：交于A，B两点，且，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设出和两点的坐标，把与联立得到，经过点的焦点，进而根据的长度求出.
【详解】设，，把l与C的方程联立，
得，消去y并整理，得，
则，，又l经过C的焦点，
∴，∴，
∴C的方程为.
故选：C.
7．已知，直线l：，椭圆C：的离心率，过C的右焦点且与x轴垂直的直线与l交于点P，若（k表示斜率，O为坐标原点），则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设椭圆的半焦距为，点，求出、，利用可得的关系，再由的范围可得的范围.
【详解】设椭圆的半焦距为，由题意设点，
则，即，∴，
又，，即，
整理得，而，∴.
故选：D.
8．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线l与C的左支交于A，B两点，，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，由双曲线的定义求得，，结合，利用列出方程求得，再由，求得的关系式，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】因为，设，则，
又由双曲线的定义，得，，
所以，，
又因为，可得，即，
解得，
由，即，可得，
双曲线C的离心率为.
故选：A.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．经过点，且倾斜角为的直线方程为
B．方程表示过点且斜率为的直线
C．直线必过定点
D．方程为的直线与轴的交点到原点的距离为a
【答案】BC
【分析】根据直线的倾斜角为时不成立，可判定A错误；根据直线方程的点斜式的定义，可判定B正确；化简直线，可判定C正确；根据到原点的距离为，可判定D错误.
【详解】对于A中，当直线的倾斜角为时不成立，此时直线的斜率不存在，所以A错误；
对于B中，根据直线方程的点斜式的定义，方程表示过点且斜率为的直线，所以B正确；
对于C中，因为直线，化简得直线，
由，解得，则直线恒过定点，所以C正确；
对于D中，直线与轴的交点为，到原点的距离为，所以D错误.
故选：BC.
10．已知圆：，圆：，且与交于P，Q两点，则下列结论正确的是（ ）
A．圆与圆关于直线对称
B．线段所在直线的方程为
C．圆与圆的公切线方程为或
D．若A，B分别是与上的动点，则的最大值为11
【答案】AD
【分析】利用等圆的性质可判定A，根据两圆公共弦方程公式可判定B，利用直线与圆的位置关系计算可判定C，利用两圆的位置关系计算可判定D.
【详解】对于A，两圆的半径均为3，则为线段的垂直平分线，故圆与圆关于直线PQ对称，A正确；
对于B，因为圆与圆相交，所以两个方程相减可得直线的方程为，B错误；
对于C，因为圆与圆相交，所以有两条公切线，
又两圆的半径相等，所以公切线与平行，即公切线的斜率，
设公切线方程为，即，所以，解得，
所以与的公切线方程为或，C错误；
对于D，的最大值为，D正确.
故选：AD
11．已知点A是椭圆C：上一点，B是圆：上一点，则（ ）
A．椭圆C的离心率为B．圆P的圆心坐标为
C．圆P上所有的点都在椭圆C的内部D．的最小值为
【答案】BCD
【分析】对于A,可先将椭圆化为标准式，再由参数关系可直接求离心率；对于B，可先将圆化为标准式，可直接得到圆心；对于C，取圆上的一些特殊点判断其与特殊点的位置关系，再联立椭圆与圆的方程判断有无交点，两者结合即可判定椭圆与圆的位置关系；对于D，可先求的最值，再通过圆上的点的常用几何结论，来求的最小值.
【详解】对于A，椭圆C的方程可化为，则半焦距，
所以离心率，故A错误；
对于B，圆P的方程可化为，则圆心为，故B正确；
对于C，圆P上的点显然在椭圆C内，
联立可得，
而，
所以椭圆C与圆P无公共点，又部分点在椭圆内，则圆P在椭圆C内部，故C正确；
对于D，设，
则
则，
所以时，取得最小值，
又B是圆：上一点，即可得,
所以，即的最小值为，故D正确.
故选：BCD.
12．已知抛物线过点，的焦点为，.直线与抛物线交于两点（均不与坐标原点O重合），且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．两点的纵坐标之积为－64D．直线l恒过点
【答案】ACD
【分析】对于A，利用抛物线焦半径公式可求得；对于B，将点代入抛物线方程即可得解；对于C，由向量的数量积公式得到，进面求得；对于D，联立直线与抛物线方程求得，从而得解.
【详解】∵，∴，∴，则的方程为，故A正确；
将点的坐标代入C的方程得，故，故B错误；
设，，∵，∴，
∴，又，∴，故C正确；
由题意知，直线的斜率不为，故设，
联立，消去得，
∴，∴，此时满足，
∴直线的方程为，显然恒过点，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．已知抛物线上的点到准线的距离为4，则点的横坐标为 .
【答案】3
【分析】首先得到抛物线的准线方程，再设点的横坐标为，即可得到方程，解得即可.
【详解】抛物线的准线为，设点的横坐标为，
由抛物线上的点到准线的距离为4，可得，解得.
故答案为：
14．已知直线与平行，且两条直线均不与坐标轴平行，则与之间的距离为 .
【答案】/
【分析】根据两直线平行，求得，再结合两平行线间的距离公式，即可求解.
【详解】由直线与，
因为与平行，可得，且，
即且，解得，
当时，直线，，
此时两平行直线之间的距离为.
故答案为：.
15．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点，点P在x轴上，，且为线段的中点，则C的离心率为 .
【答案】/0.5
【分析】先根据垂直求出点坐标，进而得到离心率.
【详解】设椭圆的半焦距为，，因为，，
所以，.
又，所以，所以，故，
又为线段的中点，所以，即，
所以，
故答案为：.
16．已知圆：，圆：，过圆上的一点P作圆的一条切线，切点为A，且，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】由可求出点P的轨迹方程为C：.，点P在圆C，上，即圆C，相切或相交，即可求.
【详解】∵，，，∴，
∴点P在以为圆心，4为半径的圆上，可设其轨迹方程为C：.
由于点P在圆C，上，∴圆C，相切或相交，
∴，又，解得，
∴.实数m的取值范围是.
故答案为：
四、问答题
17．已知直线l：.
(1)若l不经过第三象限，求a的取值范围；
(2)求坐标原点O到直线l距离的最小值，并求此时直线l的方程.
【答案】(1)
(2)；或
【分析】（1）将直线方程转化为斜截式，从而得到关于的不等式组，解之即可得解；
（2）利用点线距离公式，结合基本不等式即可得解.
【详解】（1）直线l的方程可化为，
要使直线l不经过第三象限，则必须有，
解得，故a的取值范围是.
（2）设原点O到直线l的距离为d，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以原点O到直线l的距离的最小值为，
此时直线l的方程为或.
18．已知直线过椭圆的一个顶点和一个焦点.
(1)求的方程；
(2)若过点的直线l与C交于，两点，且，求直线l的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据题意，得到，，求得则，即可求得椭圆的方程；
（2）设直线l为，联立方程组，得到，，结合，列出方程，求得的值，即可求解.
【详解】（1）解：设椭圆的半焦距为.
因为直线过点和，所以，，
则，所以椭圆C的方程为.
（2）解：由题可设直线l的方程为，
联立方程组，整理得，
则且，，
因为，可得，
整理可得，解得或（负值舍去），所以，
故直线l的方程为或.
19．在平面直角坐标系中，点，，，圆M为的外接圆.
(1)求圆M的标准方程；
(2)过点作直线l，被圆M截得的弦长为，求直线l的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用待定系数法先求圆的一般方程再化为标准方程即可；
（2）分类讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离，设直线l方程，计算即可.
【详解】（1）设圆M的方程为，
因为圆M为的外接圆，
所以，解得，
所以圆M的方程为，
故圆M的标准方程为.
（2）由上可知圆心，半径，
因为过点作直线l，被圆M截得的弦长为，
所以可得圆心到直线l的距离为.
当l的斜率不存在时，方程为，满足题意；
当l的斜率存在时，设方程为，即，
由，解得，
所以直线l的方程为，即.
综上所述，所求直线l的方程为或.
20．已知抛物线C的顶点为坐标原点，关于x轴对称且过点.
(1)求C的方程；
(2)若直线l与C交于，两点，，且，求直线l的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由题意设出抛物线的方程，再利用点代入即可得解；
（2）分类讨论与两种情况，联立直线与抛物线方程，从而利用弦长公式得到关于的方程，解之即可得解.
【详解】（1）由题意可设C：，
将点的坐标代入，可得，∴，
故C的方程为.
（2）设线段AB的中点为，
则，，即，
当时，l：，此时，则，不成立；
当时，易知，此时，
∴直线l：，即，①
与C的方程联立，消去x，整理得，
则，即，
故，，
而
，
解得（舍去）或，∴，满足，
故直线l的方程为或.
21．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，的面积最大值为2.
(1)求C的方程；
(2)在直线上任取一点，直线与直线交于点，与椭圆交于两点，若对任意，恒成立，求的值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据题意，求得和半焦距，得到，即可求得椭圆的方程；
（2）当时，恒成立；当时，得到OP的方程为，联立方程组得，再联立方程组得到，得到，进而得到，对任意且恒成立，即可求解.
【详解】（1）解：由题意知的面积最大值为，解得，
又由椭圆的左、右焦点分别为，，可得半焦距，
则，所以椭圆的方程为.
（2）解：当时，恒成立；
当时，由题意知直线OP的方程为，
联立方程组，解得，即点的横坐标为，
再联立方程组，整理得，
设，，则且，
因为点是的中点，可得，即，
该式对任意且恒成立， 所以，
综上可得，实数的值为.
22．已知双曲线：的右焦点为，离心率.
(1)求的方程；
(2)若直线过点且与的右支交于M，N两点，记的左、右顶点分别为，，直线，的斜率分别为，，证明：为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析；
【分析】（1）利用离心率的概念求出即可；
（2）根据直线过定点设出直线，联立，分别求出斜率，最后得到斜率的比值即可.
【详解】（1）因为的右焦点为，所以的半焦距，
又离心率为，所以，所以，所以，
故的方程为.
（2）易知，.
设，，易知直线的斜率不为0，设直线的方程为，
由，消去x可得，
，且
又因为直线与的右支交于M，N两点，所以
所以
，
即为定值.