2023-2024学年广东省茂名市信宜市第二中学高二上学期11月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省茂名市信宜市第二中学高二上学期11月月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若事件A与B互为互斥事件，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用互斥事件概率公式即得.
【详解】∵事件A与B互为互斥事件，，
∴.
故选：D.
2．过、两点的直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出直线的斜率，结合倾斜角的取值范围可求得结果.
【详解】设直线的倾斜角为，则，所以，，.
故选：C.
3．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，设，则的值为（ ）
A．1B．0C．-1D．-2
【答案】B
【分析】由正方体的性质可知两两垂直，从而对化简可得答案
【详解】由题意可得,
所以，所以，
所以，
故选：B
4．三个人独立地破译一份密码，他们能单独译出密码的概率分别为，，，假设他们能否破译出密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用独立事件同时发生的概率和对立事件的概率去求此密码被破译的概率
【详解】三个人独立地破译一份密码，他们能单独译出密码的概率分别为，，，
他们能否破译出密码是相互独立的，
则三个人均未破译密码的概率为
则此密码被破译的概率为
故选：B
5．已知直线l过点，且与直线垂直，则直线l的一般式方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意设直线方程为，然后将点坐标代入求出，从而可求出直线方程
【详解】因为直线与直线垂直，所以设直线方程为，
因为直线过点，所以，得，
所以直线方程为，
故选：B.
6．若向量，，且，则实数的值是（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】C
【分析】由已知利用数量积为零列式计算即可.
【详解】解：因为，，
所以，
因为，
所以，
解得．
故选：C．
7．若点到直线的距离不大于，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用点到直线距离公式可构造不等式求得结果.
【详解】由题意得：，解得：，即的取值范围为.
故选：B.
8．如图，在所有棱长均为 a 的直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，D,E 分别为 BB1,A1C1 的中点，则异面直线 AD,CE 所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】取AC的中点O，以为轴建立坐标系，求得向量的坐标，利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】由题意，取AC的中点O，以为轴建立坐标系，
则，
则，
设AD与CE成的角为 ，则，
故选：C.
【点睛】本题主要考查了空间向量的应用，以及异面直线所成角的求解，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
二、多选题
9．下列关于空间直角坐标系中的一点的说法正确的有（ ）
A．线段的中点的坐标为
B．点关于轴对称的点的坐标为
C．点关于坐标原点对称的点的坐标为
D．点关于平面对称的点的坐标为
【答案】AD
【分析】根据空间向量坐标运算依次判断选项即可.
【详解】由题意可知线段的中点的坐标为，所以A中说法正确；
点关于x轴对称的点的坐标为，所以B中说法错误；
点关于坐标原点对称的点的坐标为，所以C中说法错误；
点关于平面对称的点的坐标为，所以D中说法正确.
故选：AD.
10．下列直线与直线平行，且与它的距离为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】设出与直线平行的直线系方程，再由平行直线间的距离公式即可求解.
【详解】设所求直线的方程为，由题意可得，解得或0．故所求直线的方程为或．
故选：AD
11．已知事件A，B发生的概率分别为，，则（ ）
A．B．
C．若A与B互斥，则D．一定有
【答案】AB
【分析】对于A，利用对立事件的概率公式即可判断；对于BC，利用和事件与交事件的概率公式，结合互斥事件的定义计算判断即可；对于D，举反例即可判断.
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为，
又且，则，
所以，即，故B正确；
对于C，因为A与B互斥，所以，
则，故C错误；
对于D，记事件“抛掷一枚骰子，向上的点数小于3”，事件“抛掷一枚骰子，向上的点数为4”，
则满足，，但不成立，故D错误；
故选：AB.
12．若将正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论正确的有（ ）
A．与所成的角为B．与所成的角为
C．与平面所成角的正弦值为D．平面与平面所成角的正切值是
【答案】BCD
【分析】先找出空间中两两垂直的三条直线，建立空间直角坐标系，利用空间向量的知识，分别计算判断各选项即可.
【详解】由题得示意图：作的中点，连接，
由题可知，所以,
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，所以，
建立如图所示的空间直角坐标系，不妨令.
选项A：易知，
所以，
所以，则AD与BC所成的角为，故A错误；
选项B：由选项A得，，
所以，则，所以与所成的角为，故B正确；
选项C:设平面的一个法向量为，
易知，，所以，
不妨令，得，又，
所以BC与平面ACD所成角的正弦值为，故C正确；
选项D：易知平面的法向量为，
设平面的法向量为，
又，
所以，令，则，
所以，
设平面与平面所成角为，则，
所以，，故选项D正确.
故选：BCD
三、填空题
13．一个古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，则______．
【答案】
【分析】由求解即可
【详解】∵，，，
∴，
∴．
故答案为：．
14．已知的三个顶点的坐标分别为，，，则BC边上的高所在直线的一般式方程为 .
【答案】
【解析】首先求边上的高所在直线的斜率，先写出点斜式方程，再化为一般式直线方程.
【详解】
边上的高所在直线的斜率，
边上的高所在直线方程是，
一般方程是.
故答案为：
【点睛】本题考查直线方程，意在考查求直线方程的方法和直线形式，属于简单题型.
15．已知事件A与事件B相互独立，如果，，那么 ．
【答案】/
【分析】根据独立事件的概率公式计算即可.
【详解】解：因为事件A与事件B相互独立，，
则，
所以，
故答案为：
16．如图，在平行六面体中，，，，．则与所成角的余弦值为 ．

【答案】0
【分析】取空间向量的一个基底，并表示出与，再利用空间向量数量积求解即得.
【详解】在平行六面体中，设，
则，，
于是
，
因此，，
所以与所成角的余弦值为0．
故答案为：0
四、解答题
17．直线l经过点(1，3)，直线l3：2x－y－1＝0.
(1)若l∥l3，求l的直线方程；
(2)若l⊥l3，求l的直线方程.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）设与直线平行的直线为，代点求出即得解；
（2）设与直线垂直的直线为，代点求出即得解.
【详解】（1）解：设与直线平行的直线为，
因为直线l经过点(1，3)，则，．
所求直线方程为．
（2）解：设与直线垂直的直线为，
因为直线l经过点(1，3)，则，解得．
所求直线方程为．
18．中华人民共和国第十四届全国运动会､全国第十一届残运会暨第八届特奥会于2021年在中国陕西举行，为宣传全运会､特奥会，让更多的人了解体育运动项目和体育精神，某大学举办了全运会､特奥会知识竞赛，并从中随机抽取了100名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)试根据频率分布直方图求出这100人中成绩低于60分的人数，并估计这100人的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）；
(2)若先采用分层抽样的方法从成绩在的学生中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人去社区开展全运会､特奥会宣传活动，求做宣传的这2名学生中，其中1人成绩在，另外1人成绩在的概率.
【答案】(1)18人；
(2)
【分析】（1）利用频数的计算公式以及平均数的计算公式求解.
（2）利用频数的计算公式、分层抽样的特点以及古典概型进行计算求解.
【详解】（1）由频率分布直方图中数据知，成绩低于60分的人数为
平均成绩．
（2）因为成绩在的学生人数所占比例为，
所以从成绩在的学生中应分别抽取4人，2人．
记抽取成绩在的4人为，抽取成绩在的2人为．
从这6人中随机抽取2人的所有可能为
，
，共15种，
其中1人成绩在，另1人成绩在的有
，共有8种，
所以其中1人成绩在，另外1人成绩在的概率为．
19．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面ACD，且，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：平面平面PAD；
（Ⅱ）求直线PA与平面AEC所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】（1）根据线面垂直证明面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，分别求出向量和平面的法向量，再由向量数量积公式，即得.
【详解】（Ⅰ）证明：∵平面ABCD，平面ABCD，∴
∵四边形ABCD为正方形，∴，又，∴平面PAD，
∵平面PCD，∴平面平面PAD
（Ⅱ）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，∴，，，
设平面AEC的法向量为，则，，即，
令，得平面AEC的一个法向量为，∴
∴直线PA与平面AEC所成角的正弦值为．
【点睛】本题考查证明面面垂直，以及求空间直线与平面夹角的正弦值，是常考题型.
20．已知的三个顶点的坐标分别为.
(1)求边上的高所在直线l的方程；
(2)求的面积.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）斜率两点式求得，写出高线的斜率，应用点斜式写出直线l的方程；
（2）应用向量夹角的坐标公式求，进而求其正弦值，应用三角形面积公式、向量模长的坐标运算求三角形面积.
【详解】（1）由题设，故边上的高所在直线l的斜率为2，
又直线l过，故，即.
（2）由，，故，且，
所以，而，
则.
21．一个袋中装有5个形状大小完全相同的球，其中有2个红球，3个白球．
（1）从袋中随机取两个球，求取出的两个球颜色不同的概率；
（2）从袋中随机取一个球，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，求两次取出的球中至少有一个红球的概率．
【答案】（1）；（2）．
【详解】试题分析：（1）采用列举法先给袋中的球进行编号，两个红球可记为，三个白球可记为，根据条件“从袋中随机取两个球”，列出满足条件的所有基本事件（要做到不重不漏）及统计其个数，再根据要求“取出的两个球颜色不同的概率”统计出其个数，根据古典概型的计算公式计算出其概率；（2）由题意“有放回”地取出球，故可采用列表法横的表示第一次取出球的结果，竖的表示第二次取出球的结果，则易统计出其基本事件的总数，再统计出符号条件的事件个数，根据古典概型的计算公式计算出其概率．
试题解析：（1）2个红球记为，3个白球记为
从袋中随机取两个球，其中一切可能的结果组成的基本事件有：，，，，，，，，，共10个
设事件 “取出的两个球颜色不同”中的基本事件有：
，，，，共6个
（2）从袋中随机取一个球，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共25个．
设事件 “两次取出的球中至少有一个红球”
中的基本事件有：
，，，，，，，，，，，，，，，共16个．
所以．
【解析】古典概型．
22．如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点M和N分别为和的中点.
(1)求二面角的正弦值；
(2)求点到平面的距离；
(3)设E为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求得平面和的法向量，利用向量的夹角公式和三角函数的基本关系式，即可求解；
（2）利用待定系数法求得平面的法向量，利用点到平面的距离公式，即可求解；
（3）设，其中，求得点的坐标，然后利用线面角的计算公式，列出方程，即可求解.
【详解】（1）解：以点为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间坐标系，
如图所示，
则，
可得，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
设二面角的大小为，
所以，
则，所以二面角的大小为.
（2）解：因为,
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
所以，
设点到平面的距离为，
则，
所以点到平面的距离为.
（3）解：由题意，设，其中，则，
所以，
又时，平面的一个法向量，
因为直线和平面所成角的正弦值为，
则，
整理得，
又由，解得或（舍去），
所以线段的长的.