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2023-2024学年江西省宜春市丰城市东煌学校高二上学期11月月考数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年江西省宜春市丰城市东煌学校高二上学期11月月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线经过圆：的圆心，且倾斜角为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由圆的方程求得圆心坐标，再由直线的倾斜角求得斜率，利用直线方程的点斜式得答案．
【详解】由，得，
则圆心坐标为，又直线的倾斜角为，直线的斜率为，
则直线的方程为，即．
故选：D．
2．如图，若直线的斜率分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由图可知直线的倾斜角为锐角，斜率为正；直线的倾斜角为钝角，斜率为负以及根据倾斜角的大小判断斜率的大小可得答案.
【详解】直线的倾斜角为钝角，斜率为负，直线的倾斜角为锐角，斜率为正，且直线的倾斜角大于直线的倾斜角，直线的倾斜角大于直线的倾斜角.
所以，所以．
故选：C
3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接代入公式即可求解.
【详解】∵双曲线的一条渐近线方程为，
∴，，
∴.
故选：B.
4．已知抛物线与抛物线关于轴对称，则的准线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据两个抛物线的对称性，即可求抛物线的准线方程.
【详解】抛物线的准线方程为，因为抛物线与抛物线关于轴对称，所以两个抛物线的准线也关于轴对称，所以的准线方程是.
故选：D
5．点在圆：上，，，则最小时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据圆的几何性质，运用数形结合思想进行求解即可.
【详解】
如图所示，由题意圆：的圆心，半径，
当直线与圆相切时，即为切点时，最小，
此时与轴平行，，.
故选：C
6．设直线与圆交于点，以线段上一点为圆心作一个圆与圆相切，若切点在劣弧上，则圆的半径最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设圆C的半径为r，根据题意可得，求出的最小值，即可求得圆的半径的最大值.
【详解】由题意圆的半径为5，设圆C的半径为r，
由于圆C与圆O相切于劣弧上的某一点，C在圆O内，则圆C与圆O相内切，
故,
当最小时，r最大，此时,
即最小值为到直线的距离，
则r最大值为，
故选：C
7．已知点.若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求出直线恒过定点，然后画图观察直线的变化时斜率的变化，再求的斜率，所以得答案.
【详解】即，又因为，
所以直线恒过定点，画图得直线要想与线段有交点，就需要绕着点，从直线开始逆时针旋转到直线，则，
所以直线斜率
故选：A
8．已知F是抛物线C：的焦点，直线l与抛物线C交于A，B两点，横坐标为的点P在直线l上，且满足，则（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】A
【分析】根据向量相等以及抛物线的定义求得.
【详解】设，，由，得，
整理得，由抛物线C的方程，得焦点，准线为．
根据抛物线的定义，知，，
所以．
故选：A
二、多选题
9．已知直线与直线平行，且与圆相切，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，设，根据直线与圆相切可知圆心到直线距离等于半径，由此可构造方程求得结果.
【详解】由圆的方程可知：圆心，半径；
设直线，
则圆心到直线的距离，解得：或，
直线的方程为：或.
故选：AC.
10．以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】先求出直线与坐标轴的交点坐标，再得到抛物线方程.
【详解】直线与坐标轴的交点为，，
故以和为焦点的抛物线标准方程分别为和.
故选：BD.
11．（多选）平面内到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹为曲线．则（ ）
A．曲线的方程为
B．曲线关于轴对称
C．当点在曲线上时，
D．当点在曲线上时，点到直线的距离
【答案】AB
【分析】由抛物线定义，可知曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为，依次判断，即得解
【详解】由抛物线定义，知曲线是以为焦点，
直线为准线的抛物线，其方程为，故A正确；
若点在曲线上，则点也在曲线上，故曲线关于轴对称，故B正确；
由知，故C错误；
点到直线的距离，所以D错误
故选：AB
12．下列结论判断正确的是（ ）
A．平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹一定是抛物线
B．方程（，，）表示的曲线是椭圆
C．平面内到点，距离之差等于的点的轨迹是双曲线
D．双曲线与（，）的离心率分别是，，则
【答案】BD
【分析】对于A，由抛物线定义判断即可；
对于B，将方程化为椭圆的标准方程判断即可；
对于C，由双曲线定义判断即可；
对于D，分别求出两个双曲线的离心率，再代入通过计算判断即可.
【详解】对于A，由抛物线定义，直线不经过点（当时，与定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是过点且与直线的垂直的直线，不是抛物线），故选项A错误；
对于B，方程（，，）可化为，且由，，有或，即是焦点在轴或焦点在轴的椭圆的标准方程，故方程（，，）表示的曲线是椭圆，选项B正确；
对于C，由双曲线的定义，平面内与两定点，的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫作双曲线，所以平面内到点，距离之差等于（）的点的轨迹是双曲线一支，故选项C错误；
对于D，双曲线（，）的离心率，双曲线（，）的离心率，故，故选项D正确.
故选：BD.
三、填空题
13．直线与圆相交，所得的弦的长为 .
【答案】
【分析】写出圆的标准方程，然后利用弦长公式计算即得.
【详解】因为圆即：，
则圆心到直线的距离：，
由弦长公式可得弦长为：.
故答案为：.
14．若直线，平行，则与间的距离为 .
【答案】
【分析】根据两直线平行得出实数满足的等式与不等式，再利用平行线间距离公式即求.
【详解】由于直线与平行，
则，
解得，
所以，
∴与间的距离为.
故答案为：
15．已知椭圆的左焦点为，点P是椭圆上异于顶点的任意一点，O为坐标原点，若点M是线段的中点，则的周长为 .
【答案】8
【分析】由椭圆的定义以及三角形中位线的性质，即可得到本题答案.
【详解】由椭圆，得，
由题意可知如图：
连结，点M是线段的中点，
可得OM为的中位线，
所以，
由椭圆的定义可知，得，
所以的周长为：.
故答案为：8
【点睛】本题主要考查椭圆的定义，其中涉及到三角形中位线的应用.
16．抛物线绕其顶点顺时针旋转之后，得到的图像正好对应抛物线，则 .
【答案】/
【分析】根据两条抛物线的图形特征，可得旋转前后的焦点对应即可作答.
【详解】抛物线的顶点为原点，焦点为，而抛物线，即的顶点为原点，焦点为，
因为抛物线绕其顶点顺时针旋转后，得抛物线，
因此点绕原点逆时针旋转后得点，则，解得，
所以.
故答案为：.
四、解答题
17．已知动抛物线的准线为y轴，且经过点，求抛物线焦点的轨迹方程.
【答案】
【分析】根据题意可得点到焦点的距离与到准线的距离相等,建立等式化简即可得出结论.
【详解】由题可知，动抛物线的准线为y轴，且经过点
设抛物线焦点为，
则点到焦点的距离与到准线的距离相等,
则,
则,
综上所述,抛物线焦点的轨迹方程为.
18．菱形ABCD的顶点A，C的坐标分别为A(－4,7)，C(6,－5)，BC边所在直线过点P(8,－1)．求：
(1)AD边所在直线的方程；
(2)对角线BD所在直线的方程．
【答案】(1)2x－y＋15＝0
(2)5x－6y＋1＝0
【分析】（1）由两直线平行可得直线AD的斜率，再由直线的点斜式写出其方程.
（2）由斜率存在且不为0的两直线垂直，则斜率之积为，再求AC的中点坐标，由点斜式方程可得结果.
【详解】（1），∵AD∥BC，∴．
∴AD边所在直线的方程为，即2x－y＋15＝0．
（2）∵．
又∵菱形的对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴．
又∵AC的中点，也是BD的中点，
∴对角线BD所在直线的方程为，即5x－6y＋1＝0．
19．如图，某大桥中央桥孔的跨度为20m，拱顶呈抛物线形，拱顶距水面10m，桥墩高出水面4m.现有一货轮欲通过此孔，该货轮水下宽度不超过18m.目前吃水线上部分中央船体高16m，宽16m.若不考虑水下深度，该货轮在此状况下能否通过桥孔？试说明理由.
【答案】不能，理由见解析.
【分析】建立如图所示的直角坐标系，利用待定系数法和代入法进行求解判断即可.
【详解】建立如图所示的直角坐标系，
设抛物线的方程为，
由题意可知：，把它代入方程中，得，
所以方程为，而货轮宽16m，
把代入中，得，
点离水面高度为，而吃水线上部分中央船体高16m，
所以不能通过桥孔.
20．已知抛物线：的焦点为，是拋物线上的点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知直线交抛物线于，两点，且的中点为，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线定义求值得抛物线的方程；
（2）将，两点的坐标代入抛物线方程两式相减结合的中点为求得直线的斜率为即可.
【详解】（1）因为，
所以，
故抛物线的方程为.
（2）当直线的斜率不存在，的中点不可能为，故直线的斜率存在且不为零，
设直线的斜率为，，，，
则两式相减得，整理得
因为的中点为，所以，
所以，
所以直线的方程为，即.
21．是双曲线C：上任意一点.
(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
(2)，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）由已知求出双曲线的两条渐近线方程，然后求出点到两条渐近线的距离，得到.进而根据点在双曲线上，即可得出答案；
（2）求出.根据双曲线的范围，即可得出最小值.
【详解】（1）证明：由已知可得，，，所以双曲线的渐近线方程为.
到直线，即直线的距离，
到直线，即直线的距离，
所以，点P到双曲线C的两条渐线的距离的乘积为
.
又在双曲线上，所以，所以，
所以是一个常数.
（2）解：因为，所以，所以或.
所以．
当时，的最小值为，
所以的最小值为．
22．已知圆S：，点P是圆S上的动点，T是抛物线的焦点，Q为PT的中点，过Q作交PS于G，设点G的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过的直线l交曲线C于点M，N，若在曲线C上存在点A，使得四边形OMAN为平行四边形（O为坐标原点），求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据几何关系得到，结合椭圆定义即可求解方程；
（2）设并联立方程组，进而易得点坐标，根据点在椭圆上代入方程即可求解.
【详解】（1）圆S：，即，
由题意得，，，是的中垂线，所以，
所以，
所以点G的轨迹是以为焦点的椭圆，设其方程为，焦距为，
则，得，所以曲线C的方程为.
（2）由题意知，直线l的斜率不为0，设，，，设与交于点.
联立，得，
当时，，则，
所以，
因为是中点，所以，
因为在曲线C：上，
所以，
化简得，，
得或（舍），所以，
所以直线l的方程为，
即或.
一、单选题
1．直线经过圆：的圆心，且倾斜角为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由圆的方程求得圆心坐标，再由直线的倾斜角求得斜率，利用直线方程的点斜式得答案．
【详解】由，得，
则圆心坐标为，又直线的倾斜角为，直线的斜率为，
则直线的方程为，即．
故选：D．
2．如图，若直线的斜率分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由图可知直线的倾斜角为锐角，斜率为正；直线的倾斜角为钝角，斜率为负以及根据倾斜角的大小判断斜率的大小可得答案.
【详解】直线的倾斜角为钝角，斜率为负，直线的倾斜角为锐角，斜率为正，且直线的倾斜角大于直线的倾斜角，直线的倾斜角大于直线的倾斜角.
所以，所以．
故选：C
3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接代入公式即可求解.
【详解】∵双曲线的一条渐近线方程为，
∴，，
∴.
故选：B.
4．已知抛物线与抛物线关于轴对称，则的准线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据两个抛物线的对称性，即可求抛物线的准线方程.
【详解】抛物线的准线方程为，因为抛物线与抛物线关于轴对称，所以两个抛物线的准线也关于轴对称，所以的准线方程是.
故选：D
5．点在圆：上，，，则最小时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据圆的几何性质，运用数形结合思想进行求解即可.
【详解】
如图所示，由题意圆：的圆心，半径，
当直线与圆相切时，即为切点时，最小，
此时与轴平行，，.
故选：C
6．设直线与圆交于点，以线段上一点为圆心作一个圆与圆相切，若切点在劣弧上，则圆的半径最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设圆C的半径为r，根据题意可得，求出的最小值，即可求得圆的半径的最大值.
【详解】由题意圆的半径为5，设圆C的半径为r，
由于圆C与圆O相切于劣弧上的某一点，C在圆O内，则圆C与圆O相内切，
故,
当最小时，r最大，此时,
即最小值为到直线的距离，
则r最大值为，
故选：C
7．已知点.若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求出直线恒过定点，然后画图观察直线的变化时斜率的变化，再求的斜率，所以得答案.
【详解】即，又因为，
所以直线恒过定点，画图得直线要想与线段有交点，就需要绕着点，从直线开始逆时针旋转到直线，则，
所以直线斜率
故选：A
8．已知F是抛物线C：的焦点，直线l与抛物线C交于A，B两点，横坐标为的点P在直线l上，且满足，则（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】A
【分析】根据向量相等以及抛物线的定义求得.
【详解】设，，由，得，
整理得，由抛物线C的方程，得焦点，准线为．
根据抛物线的定义，知，，
所以．
故选：A
二、多选题
9．已知直线与直线平行，且与圆相切，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，设，根据直线与圆相切可知圆心到直线距离等于半径，由此可构造方程求得结果.
【详解】由圆的方程可知：圆心，半径；
设直线，
则圆心到直线的距离，解得：或，
直线的方程为：或.
故选：AC.
10．以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】先求出直线与坐标轴的交点坐标，再得到抛物线方程.
【详解】直线与坐标轴的交点为，，
故以和为焦点的抛物线标准方程分别为和.
故选：BD.
11．（多选）平面内到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹为曲线．则（ ）
A．曲线的方程为
B．曲线关于轴对称
C．当点在曲线上时，
D．当点在曲线上时，点到直线的距离
【答案】AB
【分析】由抛物线定义，可知曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为，依次判断，即得解
【详解】由抛物线定义，知曲线是以为焦点，
直线为准线的抛物线，其方程为，故A正确；
若点在曲线上，则点也在曲线上，故曲线关于轴对称，故B正确；
由知，故C错误；
点到直线的距离，所以D错误
故选：AB
12．下列结论判断正确的是（ ）
A．平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹一定是抛物线
B．方程（，，）表示的曲线是椭圆
C．平面内到点，距离之差等于的点的轨迹是双曲线
D．双曲线与（，）的离心率分别是，，则
【答案】BD
【分析】对于A，由抛物线定义判断即可；
对于B，将方程化为椭圆的标准方程判断即可；
对于C，由双曲线定义判断即可；
对于D，分别求出两个双曲线的离心率，再代入通过计算判断即可.
【详解】对于A，由抛物线定义，直线不经过点（当时，与定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是过点且与直线的垂直的直线，不是抛物线），故选项A错误；
对于B，方程（，，）可化为，且由，，有或，即是焦点在轴或焦点在轴的椭圆的标准方程，故方程（，，）表示的曲线是椭圆，选项B正确；
对于C，由双曲线的定义，平面内与两定点，的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫作双曲线，所以平面内到点，距离之差等于（）的点的轨迹是双曲线一支，故选项C错误；
对于D，双曲线（，）的离心率，双曲线（，）的离心率，故，故选项D正确.
故选：BD.
三、填空题
13．直线与圆相交，所得的弦的长为 .
【答案】
【分析】写出圆的标准方程，然后利用弦长公式计算即得.
【详解】因为圆即：，
则圆心到直线的距离：，
由弦长公式可得弦长为：.
故答案为：.
14．若直线，平行，则与间的距离为 .
【答案】
【分析】根据两直线平行得出实数满足的等式与不等式，再利用平行线间距离公式即求.
【详解】由于直线与平行，
则，
解得，
所以，
∴与间的距离为.
故答案为：
15．已知椭圆的左焦点为，点P是椭圆上异于顶点的任意一点，O为坐标原点，若点M是线段的中点，则的周长为 .
【答案】8
【分析】由椭圆的定义以及三角形中位线的性质，即可得到本题答案.
【详解】由椭圆，得，
由题意可知如图：
连结，点M是线段的中点，
可得OM为的中位线，
所以，
由椭圆的定义可知，得，
所以的周长为：.
故答案为：8
【点睛】本题主要考查椭圆的定义，其中涉及到三角形中位线的应用.
16．抛物线绕其顶点顺时针旋转之后，得到的图像正好对应抛物线，则 .
【答案】/
【分析】根据两条抛物线的图形特征，可得旋转前后的焦点对应即可作答.
【详解】抛物线的顶点为原点，焦点为，而抛物线，即的顶点为原点，焦点为，
因为抛物线绕其顶点顺时针旋转后，得抛物线，
因此点绕原点逆时针旋转后得点，则，解得，
所以.
故答案为：.
四、解答题
17．已知动抛物线的准线为y轴，且经过点，求抛物线焦点的轨迹方程.
【答案】
【分析】根据题意可得点到焦点的距离与到准线的距离相等,建立等式化简即可得出结论.
【详解】由题可知，动抛物线的准线为y轴，且经过点
设抛物线焦点为，
则点到焦点的距离与到准线的距离相等,
则,
则,
综上所述,抛物线焦点的轨迹方程为.
18．菱形ABCD的顶点A，C的坐标分别为A(－4,7)，C(6,－5)，BC边所在直线过点P(8,－1)．求：
(1)AD边所在直线的方程；
(2)对角线BD所在直线的方程．
【答案】(1)2x－y＋15＝0
(2)5x－6y＋1＝0
【分析】（1）由两直线平行可得直线AD的斜率，再由直线的点斜式写出其方程.
（2）由斜率存在且不为0的两直线垂直，则斜率之积为，再求AC的中点坐标，由点斜式方程可得结果.
【详解】（1），∵AD∥BC，∴．
∴AD边所在直线的方程为，即2x－y＋15＝0．
（2）∵．
又∵菱形的对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴．
又∵AC的中点，也是BD的中点，
∴对角线BD所在直线的方程为，即5x－6y＋1＝0．
19．如图，某大桥中央桥孔的跨度为20m，拱顶呈抛物线形，拱顶距水面10m，桥墩高出水面4m.现有一货轮欲通过此孔，该货轮水下宽度不超过18m.目前吃水线上部分中央船体高16m，宽16m.若不考虑水下深度，该货轮在此状况下能否通过桥孔？试说明理由.
【答案】不能，理由见解析.
【分析】建立如图所示的直角坐标系，利用待定系数法和代入法进行求解判断即可.
【详解】建立如图所示的直角坐标系，
设抛物线的方程为，
由题意可知：，把它代入方程中，得，
所以方程为，而货轮宽16m，
把代入中，得，
点离水面高度为，而吃水线上部分中央船体高16m，
所以不能通过桥孔.
20．已知抛物线：的焦点为，是拋物线上的点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知直线交抛物线于，两点，且的中点为，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线定义求值得抛物线的方程；
（2）将，两点的坐标代入抛物线方程两式相减结合的中点为求得直线的斜率为即可.
【详解】（1）因为，
所以，
故抛物线的方程为.
（2）当直线的斜率不存在，的中点不可能为，故直线的斜率存在且不为零，
设直线的斜率为，，，，
则两式相减得，整理得
因为的中点为，所以，
所以，
所以直线的方程为，即.
21．是双曲线C：上任意一点.
(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
(2)，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）由已知求出双曲线的两条渐近线方程，然后求出点到两条渐近线的距离，得到.进而根据点在双曲线上，即可得出答案；
（2）求出.根据双曲线的范围，即可得出最小值.
【详解】（1）证明：由已知可得，，，所以双曲线的渐近线方程为.
到直线，即直线的距离，
到直线，即直线的距离，
所以，点P到双曲线C的两条渐线的距离的乘积为
.
又在双曲线上，所以，所以，
所以是一个常数.
（2）解：因为，所以，所以或.
所以．
当时，的最小值为，
所以的最小值为．
22．已知圆S：，点P是圆S上的动点，T是抛物线的焦点，Q为PT的中点，过Q作交PS于G，设点G的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过的直线l交曲线C于点M，N，若在曲线C上存在点A，使得四边形OMAN为平行四边形（O为坐标原点），求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据几何关系得到，结合椭圆定义即可求解方程；
（2）设并联立方程组，进而易得点坐标，根据点在椭圆上代入方程即可求解.
【详解】（1）圆S：，即，
由题意得，，，是的中垂线，所以，
所以，
所以点G的轨迹是以为焦点的椭圆，设其方程为，焦距为，
则，得，所以曲线C的方程为.
（2）由题意知，直线l的斜率不为0，设，，，设与交于点.
联立，得，
当时，，则，
所以，
因为是中点，所以，
因为在曲线C：上，
所以，
化简得，，
得或（舍），所以，
所以直线l的方程为，
即或.
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