2023-2024学年贵州省仁怀市第四中学高二上学期第一次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年贵州省仁怀市第四中学高二上学期第一次月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将直线的一般式化为斜截式即可求解.
【详解】由，化为斜截式得，
所以直线的斜率为.
故选：B.
2．直线l经过两点，则直线l的倾斜角是（ ）
A． B．C．D．
【答案】B
【分析】根据斜率公式及倾斜角范围求解.
【详解】因为线l经过,
所以，即，
因为，所以，
故选：B
3．在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影为点B，则B的坐标为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用空间直角坐标系定义即可求得点在坐标平面内的射影点的坐标.
【详解】在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影为点
故选：B
4．三点在一条直线上，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由列方程来求得的值.
【详解】依题意，
即，解得.
故选：B
5．已知空间向量，则实数（ ）
A．0B．C．D．2
【答案】C
【分析】利用空间共线向量的坐标运算即可求出结果.
【详解】由，
得到，解得.
故选：C
6．已知直线与直线平行，则m的值为（ ）
A．3B．C．3或D．3或4
【答案】B
【分析】根据直线平行的判定得即可求m值，注意验证两直线是否平行，而非重合.
【详解】由题设，，可得或，
当时，、平行，符合题设；
当时，、重合，不合题设；
∴.
故选：B.
7．已知平面的法向量为，点在平面内，点到平面的距离为，则（ ）
A．-1B．-11C．-1或-11D．-21
【答案】C
【分析】根据点到平面距离的向量法公式求解即可.
【详解】，而，
即，
解得或－11.
故选：C
8．已知空间中三点，，，则（ ）
A．与是共线向量
B．的单位向量是
C．与夹角的余弦值是
D．平面的一个法向量是
【答案】D
【分析】根据共线向量、单位向量、空间向量夹角公式、法向量的性质逐一判断即可.
【详解】对于A，由 ，，，所以与不共线，所以A错误；
对于B，的单位向量为，所以B错误；
对于C，，所以，
所以C错误；
对于D，设平面的法向量是，
则，将，，代入验证满足方程组，所以D正确．
故选：D
二、多选题
9．已知向量，，则下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算逐项计算判断作答.
【详解】向量，，则，A正确；
显然，B正确；
由数量积的定义得，C错误；
显然，则，即有，D错误.
故选：AB
10．下列说法正确的是（ ）
A．截距相等的直线都可以用方程表示
B．方程能表示平行轴的直线
C．经过点，倾斜角为的直线方程为
D．经过两点的直线方程
【答案】BD
【分析】对于A，根据截距式方程的适用条件，可得答案；对于B，平行于轴的直线，斜率不存在，令，可得答案；对于C，根据倾斜角与斜率的关系以及点斜式方程的使用条件，可得答案；对于D，根据两点的横坐标是否相等进行讨论，可得答案.
【详解】对于A，当直线的截距不为零时，截距相等的直线可用方程，当截距是零时，不可用，故A错误；
对于B，当时，方程为，此时所表示的直线与轴平行，故B正确；
对于C，当时，不存在，此时直线方程为，故C错误；
对于D，当时，由斜率公式，可得，可整理为；
当时，方程可整理为；故D正确.
故选：BD.
11．下列结论中正确的有（ ）
A．过点且与直线平行的直线的方程为
B．过点且与直线垂直的直线的方程为
C．若直线与直线平行，则的值为3
D．过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为
【答案】ABC
【分析】对于A，由互相平行直线的特点直接写出方程，化简对比即可；对于B，由互相垂直直线的特点直接写出方程，化简对比即可；对于C，由直线平行的充要条件列出方程，解方程对比即可,注意检验；对于D，注意到当截距均为0时，也是有可能的，故可以判断D错误.
【详解】对于A，过点且与直线平行的直线的方程为，化简得，故A正确；
对于B，过点且与直线垂直的直线的方程为，化简得，故B正确；
对于C，因为直线与直线平行，
所以，解得或，
注意到当时，两直线重合，所以，故C正确；
对于D，注意到点在直线上，且该直线在两坐标轴上的截距均为0，即该直线截距相等，故D错误.
故选：ABC.
12．如图，正方体的棱长为分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线到平面的距离为2
B．点到平面的距离为
C．点到直线的距离为
D．点与点到平面的距离相等
【答案】ABC
【分析】根据平面平面，可得线段的长度即为直线到平面的距离，即可判断A；以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法计算即可判断BCD.
【详解】解：对于A，因为平面平面，平面，
则线段的长度即为直线到平面的距离，
所以直线到平面的距离为2，故A正确；
对于B，如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的法向量为，
则有，可取，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为，
所以点到平面的距离为，故B正确；
对于C，，
则，，
所以，故，
所以点到直线的距离为，故C正确；
对于D，，
则，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为，
直线与平面所成角的正弦值为，
所以点到平面的距离为，
点到平面的距离为，
所以点与点到平面的距离不相等，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题
13．已知直线过定点，且倾斜角为，则直线的一般式方程为 ．
【答案】
【详解】直线的斜率 ，
则直线的一般式方程为： ，
整理为一般式为：.
14．两平行线与之间的距离为 .
【答案】
【解析】将直线的方程变形为，再利用平行线间的距离公式可求得结果.
【详解】直线的方程可变形为，
因此，两平行线与之间的距离为.
故答案为：.
15．在空间直角坐标系中，已知向量，则的值为 .
【答案】
【分析】由题知，进而根据向量数量积运算的坐标表示求解即可.
【详解】解：因为向量，
所以，
所以
故答案为：
16．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为 ．
【答案】5
【分析】作出图示，先求得点关于直线的对称点C的坐标，在直线上取点，由对称性可得，则，根据两点间距离公式，即可得答案.
【详解】作出图示，
设点关于直线的对称点为，
在直线上取点，由对称性可得，
所以，
当且仅当A、、三点共线时，等号成立，
因此，“将军饮马“的最短总路程为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知的三个顶点分别为为的垂直平分线，求：
(1)边所在直线的方程；
(2)边的垂直平分线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两点式求得直线的方程.
（2）先求得的斜率，然后求得中点的坐标，从而求得边的垂直平分线的方程.
【详解】（1）因为直线经过和两点，
由两点式得的方程为，即.
（2）由（1）知直线的斜率，
则直线的垂直平分线的斜率.
易得中点的坐标为.
可求出直线的点斜式方程为，
即.
18．如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且．
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求直线到平面的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；
（2）根据线面平行判定定理，结合空间向量点到面距离公式进行求解即可.
【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为；
（2）连接，显然，因为， ．
所以，于是，
因为平面，平面，
所以平面，
因此直线到平面的距离就是点到平面的距离，
设平面的法向量为，
，
则有，
，
点到平面的距离为：
.
19．已知直线．
（1）若，求实数a的值；
（2）当时，求直线与之间的距离．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由垂直可得两直线系数关系，即可得关于实数a的方程.
（2）由平行可得两直线系数关系，即可得关于实数a的方程，进而可求出两直线的方程，结合直线的距离公式即可求出直线与之间的距离.
【详解】（1）由知，解得．
（2）当时，有，解得．
此时，即，
则直线与之间的距离．
【点睛】本题考查了由两直线平行求参数，考查了由两直线垂直求参数的值，属于基础题.
20．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为棱PD的中点．
(1)证明：；
(2)求直线AE与平面PBD所成角的正弦值
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面垂直的性质与判定，证明平面即可；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面夹角即可.
【详解】（1）因为底面，平面，故.
又为正方形，故.又，平面，故平面.又平面，故.
（2）以为坐标原点，，，分别为，，轴建立如图空间直角坐标系.
设，则，，，，.
，，.
设平面的法向量，则，即，设则.
设直线AE与平面PBD所成角为，则.
21．如图，在直三棱柱中，，，.
（1）点在棱上，且，求的长；
（2）求二面角的大小.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）过作的垂线交于，以所在直线为轴，轴，轴建立坐标系，利用及坐标运算即可算出AD的长；
（2）易得平面的一个法向量为，再算出平面的一个法向量为，利用计算即可.
【详解】（1）如图，在中，过作的垂线交于.
在直三棱锥中，平面，
所以.
分别以所在直线为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系.
因为，
所以.
因为点在棱上，设，则.
因为，所以，解得.
所以.
（2）平面的一个法向量为.
又，所以.
设平面的一个法向量为，
由，得所以.
取，则，
所以平面的一个法向量为.
，
所以，
又，从而.
根据图形可知，二面角大小的为.
【点睛】本题考查利用向量法求线段长度、二面角大小，考查学生的计算能力，要注意坐标的准确性，是一道中档题.
五、证明题
22．如图，在四棱锥中，平面，，，，，，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）线段上是否存在一点，满足？若存在，试求出二面角的余弦值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析（2）存在，
【分析】（1）取的中点，连接和，过点作，垂足为点．推导出四边形为平行四边形，从而，，，推导出四边形为平行四边形，从而．由此能证明平面．
（2）由题意可得，，两两互相垂直，以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．
【详解】（1）证明：取的中点，连接和，过点作，垂足为点．
，，，
又，四边形为平行四边形，，，
在中，，
，而，分别为，的中点，
且，又，且，四边形为平行四边形，
．平面，平面，平面．
（2）由题意可得，，两两互相垂直，如图，以为原点，
，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，12，，，6，，，0，．
假设上存在一点使，
设点坐标为，，，则，，，，12，，
由得．又平面的一个法向量为，0，，
设平面的法向量，，，
则，6，，，，，
由，取，得，12，，
设二面角的平面角为，
则．
二面角的余弦值为．
【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．