2023-2024学年海南省乐东黎族自治县冲坡中学高二上学期第一次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年海南省乐东黎族自治县冲坡中学高二上学期第一次月考数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，证明题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据集合的交运算法则可直接得到结果.
【详解】因为，，
所以，
故选：
2．已知复数，其中是虚数单位，则的虚部为（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】D
【分析】首先得到，即可判断其虚部.
【详解】复数，则，所以的虚部为.
故选：D
3．总体由编号为，，，，的个个体组成利用下面的随机数表选取个个体，选取方法是从随机数表第行的第列和第列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第个个体的编号为（ ）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9708 0198
3204 6234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据随机数表法的知识求得正确答案.
【详解】选取的前个个体的编号为：.
所以第个个体的编号为.
故选：A
4．某学校为了解学生对乒乓球、羽毛球运动的喜爱程度，用按比例分配的分层随机抽样法从高一、高二、高三年级所有学生中抽取部分学生做抽样调查，已知该学校高一、高二、高三年级学生人数的比例如图所示，若抽取的样本中高三年级的学生有45人，则样本容量为（ ）

A．125B．100C．150D．120
【答案】A
【分析】根据分层抽样的抽取比例相同运算求解.
【详解】由图可知高三年级学生人数占总人数的，抽取的样本中高三年级的学生有45人，
所以样本容量为．
故选：A.
5．已知随机事件和互斥,且,,则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】因为和互斥,由求出,再由即可得到答案.
【详解】因为和互斥,
所以,
又,
所以,
因为,
所以.
故选:B.
6．已知正方体中，直线与直线所成角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据线线垂直证明线面垂直即可得两直线垂直，进而可求解夹角大小.
【详解】由于在正方体中，平面，平面，
所以，
又，平面，
所以平面，平面,故，
所以直线与直线所成角为，
故选：A

7．从编号为 1、2、3、4 的 4 球中，任取 2 个球，则这 2 个球的编号之和为偶数的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】列举法求解古典概型的概率.
【详解】从编号为 1、2、3、4 的 4 球中，任取 2 个球，一共有以下情况：
，共6种情况，
其中这 2 个球的编号之和为偶数的情况有，共2种情况
故这 2 个球的编号之和为偶数的概率为.
故选：A
8．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．至少有一个白球；红､黑球各一个D．恰有一个白球；一个白球一个黑球
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的定义逐项分析判断作答.
【详解】对于A，至少有一个白球和都是白球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，A不是；
对于B，至少有一个白球和至少有一个红球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，B不是；
对于C，至少有一个白球和红、黑球各一个的两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，C是；
对于D，恰有一个白球和一个白球一个黑球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，D不是.
故选：C
二、多选题
9．正方体，以下直线不和平面平行的是（ ）

A．直线B．直线
C．直线D．直线
【答案】ABD
【分析】根据线面平行的判定定理判断各选项.
【详解】对于A，平面，则直线与平面不平行,故A正确；
对于B，同选项，故B正确；
对于C，，平面，平面，可证平面，故C不正确；；
对于D，同选项，故D正确；.
故选：ABD.
10．已知甲、乙、丙、丁四组（每组均含100个数据）数据的方差分别为6.7，8.9，3.6，5.5，关于这四组数据的波动性，下列判断正确的是（ ）
A．乙组数据的波动性最大B．丙组数据的波动性最大
C．乙组数据的波动性最小D．丙组数据的波动性最小
【答案】AD
【分析】根据方差的性质结合已知条件分析判断
【详解】数据的方差越大，数据的波动性越大；数据的方差越小，数据的波动性越小．
因为，
所以乙组数据的波动性最大，丙组数据的波动性最小．
故选：AD
11．某产品售后服务中心选取了20个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量（单位：次）：
63 38 25 42 56 48 53 39 28 47
45 52 59 48 41 62 48 50 52 27
则这组数据的（ ）
A．众数是48B．中位数是48C．极差是37D．5%分位数是25
【答案】AB
【分析】利用众数，中位数，极差和百分位数的定义进行判断即可.
【详解】这组数据中48出现了3次，出现次数最多，因此众数是48，A正确；
从小到大排列20个数据分别为25，27，28，38，39，41，42，45，47，
48，48，48，50，52，52，53，56，59，62，63，第10位和第11位均为48，
两者的平均数也是48，因此中位数是48，B正确；
最大值为63，最小值为25，因此极差为，C错误；
是整数，分位数应取第1位与第2位的平均值，即25与27的平均值26，D错误．
故选：AB．
12．下列关于概率的命题，正确的是（ ）
A．对于任意事件，都有
B．必然事件的概率为1
C．如果事件与事件互斥，那么一定有
D．若，是一个随机试验中的两个事件，则
【答案】BD
【分析】根据事件的概率基本概念直接求解即可.
【详解】对于A，对于任意事件，都有，故A错误；
对于B，必然事件的概率为1显然正确，故B正确；
对于C，如果事件与事件对立，那么一定有，但互斥事件不一定对立，故C错误；
对于D，若，是一个随机试验中的两个事件，则正确，故D正确.
故选：BD
三、填空题
13．掷枚均匀硬币，则三枚硬币中既有正面朝上也有反面朝上的概率是 ．
【答案】/
【分析】首先求得全部正面朝上和反面朝上的概率，根据对立事件概率公式可求得结果.
【详解】投掷枚硬币，全部正面朝上的概率为；全部反面朝上的概率为；
既有正面朝上也有反面朝上的概率.
故答案为：.
14．如图，在正方体中，E是的中点，则直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为 ．

【答案】
【分析】根据线面角的知识求得正确答案.
【详解】连接，由于平面，
所以是直线与平面所成角，
设正方体的边长为，则，
所以，
所以直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为.
故答案为：

15．容量为8的样本：3.5，3.8，4.2，4.8，5，5，5.5，6.3，其上四分位数是
【答案】5.25
【分析】根据给定的数据组，利用上四分位数的定义求解作答.
【详解】依题意，因为，所以上四分位数是.
故答案为：5.25
16．已知一场足球比赛中，队员甲进球的概率为，队员乙不进球的概率为，这两名队员是否进球相互独立，则同一场比赛中他们两人至少有一人进球的概率为 .
【答案】
【分析】根据相互独立事件的概率公式计算即可.
【详解】由题意，同一场比赛中他们两人至少有一人进球的概率为.
故答案为：.
四、证明题
17．如图，在正方体中，

(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由线线平行即可求证线面平行，
（2）由线线垂直，结合线面垂直的判定定理即可求证.
【详解】（1）因为在正方体中，可知，而平面，平面，所以平面.
（2）因为在正方体中，可知平面，且平面，所以，
又因为、是正方形的对角形，因此，
又，且，平面，
所以平面.
五、解答题
18．某校从参加数学竞赛的同学中选取100名同学将其成绩（百分制，均为整数分数）分成五组，得到如下频率分布表：
(1)估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据以该组区间中点值为代表）；
(2)根据频率分布表，估算这100名学生成绩的第85百分位数（结果保留一位小数）．
【答案】(1)72.7
(2)第85百分位数为83.8．
【分析】（1）先求，再利用平均数的计算公式可得答案；
（2）根据百分位数的求法，结合分布表可求答案.
【详解】（1）依题意有，
100名学生的平均成绩为；
（2）由（1）知内有80个数，估计分数段内的学生成绩从低到高占位的数，
则，，故第85百分位数为83.8．
19．甲､乙两机床同时加工标准直径为的零件，为检验质量，各从中抽取5件测量其直径，所得数据如下表：
(1)分别计算两组数据的平均数；
(2)分别计算两组数据的方差；
(3)根据（1）（2）所得结果，判断哪台机床加工该零件的质量更好？
【答案】(1)，；
(2)2.8,1.2；
(3)乙机床加工该零件的质量更好.
【分析】（1）直接利用平均数公式求解；
（2）直接利用方差公式求解；
（3）利用平均数和方差的意义分析判断.
【详解】（1）解：甲机床生产的零件的平均数
乙机床生产的零件的平均数
（2）解：甲组数据的方差
乙组数据的方差
（3）因为甲乙两组数据的平均数相同，
甲，乙两台机床加工该零件的平均水平相当.
又甲组数据的方差大于乙组数据的方差，
乙机床加工该零件的直径大小更稳定.
乙机床加工该零件的质量更好.
20．某学校在教师外出家访了解家长对孩子的学习关心情况活动中，一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示：
（1）求有4人或5人外出家访的概率；
（2）求至少有3人外出家访的概率.
【答案】（1）0.4；（2）0.9.
【分析】（1）“派出4人外出家访”概率与“派出5人外出家访”的概率相加即可;
（2）用对立事件关系,即可求出结果.
【详解】（1）设“派出2人及以下外出家访”为事件A，“派出3人外出家访”为事件B，“派出4人外出家访”为事件C，“派出5人外出家访”为事件D“派出6人及以上外出家访”为事件E，则有4人或5人外出家访的事件为事件C或事件D，C与D为互斥事件，根据互斥事件概率的加法公式可知
.
（2）至少有3人外出家访的对立事件为有2人及以下外出家访，所以由对立事件的概率公式可知所求概率.
【点睛】本题考查互斥事件和对立事件概率的求法,属于基础题.
21．某超市做电脑摇奖活动，各奖项中奖概率如图所示.已知甲、乙、丙参加摇奖，假设这3人之间的摇奖互不影响.

(1)求甲、乙、丙都中一等奖的概率；
(2)求甲未中奖且乙、丙中奖的概率；
(3)求甲、乙、丙至少有一人中奖的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）利用独立事件乘法公式进行求解；
（3）先计算出甲、乙、丙无人中奖的概率，进而利用对立事件求概率公式得到甲、乙、丙至少有一人中奖的概率.
【详解】（1）由独立事件乘法公式可知，甲、乙、丙都中一等奖的概率为；
（2）甲未中奖且乙、丙中奖的概率为；
（3）甲、乙、丙无人中奖的概率为，
故甲、乙、丙至少有一人中奖的概率为
22．某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．

(1)求直方图中x的值；
(2)估计月平均用电量的中位数；
(3)在月平均用电量为，，的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？
【答案】(1)0.0075
(2)224
(3)3
【分析】（1）根据频率分布直方图相关数据直接计算即可；
（2）根据频率分布直方图相关数据直接计算中位数即可；
（3）根据分层抽样相关知识，结合抽样比例进行计算即可.
【详解】（1）由，
得，
所以直方图中x的值是0.0075
（2）因为，
所以月平均用电量的中位数在内，
设中位数为a，
由，得，
所以月平均用电量的中位数是224
（3）月平均用电量为的用户有(户)，
月平均用电量为的用户有(户)，
月平均用电量为的用户有 (户)，
抽取比例，
所以月平均用电量在用户中应抽取户
分数段
频率
0.1
0.3
0.13
0.07
甲
98
100
99
100
103
乙
99
100
102
99
100
派出人数
3
4
5
概率
0.1
0.46
0.3
0.1
0.04