2023-2024学年河北省石家庄二十七中高二上学期第一次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河北省石家庄二十七中高二上学期第一次月考数学试题含答案，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．空间直角坐标系中，已知A（1，–2，1），B（2，2，2），点P在z轴上，且满足|PA|=|PB|，则P点的坐标为
A．（3，0，0）B．（0，3，0）
C．（0，0，3）D．（0，0，–3）
【答案】C
【详解】设P(0,0，z)，则有，解得z＝3.故选C.
2．设有一个质点位于处，在力的作用下，该质点由A位移到时，力所作的功的大小为（ ）
A．16B．14C．12D．10
【答案】B
【分析】先求出质点的位移，由功可得答案.
【详解】质点在力下的位移为
则力所作的功为
故选：B
3．已知，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的投影向量公式进行求解.
【详解】，
故在上的投影向量为.
故选：D
4．已知，，，且与垂直，则λ等于（ ）
A． B．C．D．1
【答案】A
【分析】由向量数量积的运算律可得，根据向量的垂直关系列方程，求λ即可.
【详解】由题意知：，，
∴，即.
故选：A.
5．若是空间的一个基底，且，则叫在基底下的坐标.已知在基底下的坐标为，则在另一组基底下的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用空间向量的基本定理列方程，化简求得正确答案.
【详解】依题意，
设，
即，
所以，
所以在另一组基底下的坐标为.
故选：B
6．如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ）

A．B．C．4D．2
【答案】C
【分析】根据题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由二面角的平面角的定义知，
∴，
由，得，又，
∴
，
所以，即.
故选：C.
7．如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．直线到平面的距离为（ ）．

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将直线到平面的距离转化为点到平面的距离，建立直角坐标系，表示出相应点的坐标以及向量和法向量，利用距离公式即可求出.
【详解】平面,平面, 平面,
因此直线到平面的距离等于点到平面的距离，
如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立直角坐标系.

则
设平面的法向量为，则
，令，则
设点到平面的距离为，则
故直线到平面的距离为.
故选：D.
8．棱长为1的正方体中，点P在棱CD上运动，点Q在侧面上运动，满足平面，则线段PQ的最小值为（ ）

A．B．1C．D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，求出点的坐标，设，，根据线面垂直得到方程组，求出，，从而求出，得到线段PQ的最小值.
【详解】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，设，，
所以，，
因为平面，
所以，故，
，故，
其中，
故，
故当时，，此时满足要求，
所以线段PQ的最小值为.

故选：A
二、多选题
9．下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A．两条不重合直线的方向向量分别是，则
B．直线的方向向量，平面的法向量是，则
C．两个不同的平面的法向量分别是，则
D．直线的方向向量，平面的法向量是，则
【答案】AC
【分析】对于，由不重合两直线方向向量平行可判断直线相互平行；对于B，要考虑直线可能在面内；对于C，由两法向量垂直可得两平面垂直；对于D，直线方向向量与法向量平行，则直线与面垂直.
【详解】对于，两条不重合直线，的方向向量分别是，
则，所以，即，故正确；
对于B，直线的方向向量，平面的法向量是，
则，所以，即或，故B错误；
对于C，两个不同的平面，的法向量分别是，
则，所以，故C正确；
对于D，直线的方向向量，平面的法向量是，
则，所以，即，故D错误．
故选：AC．
10．已知向量，，，则（ ）
A．向量，的夹角为B．∥
C．D．
【答案】BC
【分析】对于A，求出，再根据向量夹角的定义判断即可；对于B，只需判断是否成立，即可判断；对于C，只需判断是否成立，即可判断；对于D，根据向量数量积的坐标运算，计算出的值，即可判断.
【详解】解：对于A，因为，
所以向量，的夹角为，故错误；
对于B，因为，，
所以，所以∥，故正确；
对于C，因为，，
所以，所以，故正确；
对于D，因为，，
所以，故错误.
故选：BC.
11．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD的交点为G，将△AED，△BEF，△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使得A，B，C三点重合于点P，则（ ）
A．PD⊥EF
B．三棱锥P−DEF的体积为
C．PG与DF所成角的余弦值为
D．三棱锥P−DEF的外接球的表面积为
【答案】ABC
【分析】A选项，由线线垂直得到线面垂直，进而证明线线垂直；C选项，作出辅助线，找到PG与DF所成角，求出各边长，用余弦定理求出所成角的余弦值；BD选项，由等体积法求出，求出外接球半径，进而求出外接球表面积.
【详解】对于选项平面平面，故选项正确；
对于选项：取的中点，则，从而为与所成角，
，
所以，故选项正确；
对于选项和：由两两垂直，
故，
且其外接球为以为边的长方体的外接球，
故外接球的半径，其外接球的表面积为，
故选项B正确，错误.
故选：.
12．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，分别是的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（ ）

A．
B．存在点，使平面
C．存在点，使直线与所成的角为
D．点到平面与平面的距离和为定值
【答案】ABD
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意可知两两相互垂直，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
设，
，设，，
所以，所以，A选项正确.
点到平面与平面的距离和为为定值，D选项正确.
，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
要使平面，平面，
则，
解得，所以存在点，使平面，B选项正确.
若直线与直线所成角为，
则，
，无解，所以C选项错误.
故选：ABD

三、填空题
13．已知平面的一个法向量，点在平面内，若点在平面内，则
【答案】
【分析】利用向量垂直列方程，化简求得
【详解】根据题意可得，
因为平面的一个法向量，
所以，解得，
故答案为：
14．已知直线l的一个方向向量为，若点为直线l外一点，为直线l上一点，则点P到直线l的距离为 .
【答案】
【分析】直接利用空间中点到线的距离公式计算即可.
【详解】由题意可得l的一个单位方向向量为，
,
故点P到直线l的距离.
故答案为：.
15．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论：
①当点是中点时，直线平面；
②直线到平面的距离是；
③存在点，使得；
④面积的最小值是．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③
【分析】对①，由线面平行的判定定理进行判断即可；
对②，证平面，则直线到平面的距离等于点到平面的距离，由等体积法列式即可求；
对③，设 ，可得，由向量垂直的坐标表示，存在点使等价于有解；
对④，由点到直线距离求P到的距离d，则△面积为，讨论最小值即可
【详解】对①，如下图所示：因为是中点，，
所以点是的中点，连接，显然也是的交点，连接，
所以，而平面，平面，所以直线平面，①对；
以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，,
对②，分别是棱的中点，∴，平面，平面，故平面，
故直线到平面的距离等于点到平面的距离，设为h，
，，，，
由得，②错；
对③，设 ，则，则，，
由即得，
由，故存在点，使得，③对；
对④，由③得到的投影为，故P到的距离，
△面积为 ，由二次函数性质，当时，取得最小值为，④错.
故答案为：①③
【点睛】关键点睛：建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式是解题的关键.
16．如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，BCAD，，，已知Q是四边形ABCD内部一点，且平面QPD与平面APD的夹角为，则的面积的取值范围是 .
【答案】
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，其中，，利用空间向量法可得出，求出的取值范围，即可求得的面积的取值范围.
【详解】平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
设点，其中，，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
易知平面的一个法向量为，
由已知条件可得，
所以，，即，
直线上的点满足，联立，解得，
联立，解得，
所以，点的纵坐标的取值范围为，
易知点不在线段上，则，
所以，.
故答案为：.
四、解答题
17．已知空间三点，，，设，.
(1)求，夹角的余弦值；
(2)若与的夹角是钝角，求k的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出向量，的坐标，再利用向量夹角公式求解即可；
（2）利用向量夹角为钝角，结合向量数量积列式求解作答.
【详解】（1）因为，，，所以，，
所以，
即，夹角的余弦值为；
（2），，
因为与的夹角是钝角，所以且与不共线，
当时，即，解得，
当与共线时，存在实数t，有，于是得，
解得，因此与不共线，则，
所以k的范围是.
18．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且与、的夹角都等于，在棱上，，设，，．

(1)试用，，表示出向量；
(2)求与所成的角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量线性运算，化简即得用，，表示向量的式子；
（2）利用空间的数量积和向量夹角公式进行求解即可．
【详解】（1）因为，则，
因为ABCD是边长为1的正方形，则，
且，可得，
又因为，，，所以.
（2）由题意可知：，，与、的夹角均为60°，与的夹角为90°，
则
，
可得，
又因为
，
设与所成的角为，所以．
19．四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线AC与BD相交于点O，底面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为60°，E是PB的中点．

(1)求异面直线DE与PA所成角的余弦值；
(2)证明：平面PAD，并求点E到平面PAD的距离．
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；
（2）根据中位线定理证明线线平行，进而得线面平行，利用空间向量点到面距离公式进行求解即可.
【详解】（1）由题意，两两互相垂直，以O为坐标原点，射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，

菱形中，，所以,
在中，
因为底面ABCD ，所以PB与底面ABCD所成的角为，所以，
则点A、B、D、P的坐标分别是，
E是PB的中点，则，于是，.
设的夹角为θ，则有.∴异面直线DE与PA所成角的余弦值为；
（2）连接，分别是的中点，，平面PAD，平面PAD，平面PAD.
因为，,设平面PAD的法向量，
则，令，则，所以，又，
则点E到平面PAD的距离.
五、证明题
20．在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，侧面为等腰直角三角形，，，点E为棱AD的中点．
（1）求证：平面ABCD；
（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析，(2)
【分析】（1）题中易得，，利用勾股定理可得，从而可证得线面垂直；
（2）以E为原点，EA为x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，用空间向量法求线面角的正弦值．
【详解】（1）证明：在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，
侧面为等腰直角三角形，，，点E为棱AD的中点．
，，，，
，，
，平面ABCD．
（2）以E为原点，EA为x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，
0，，，0，，，
，，，
设平面PBC的法向量y，，
则，取，得1，，
设直线AB与平面PBC所成角为，
直线AB与平面PBC所成角的正弦值为：．
【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查空间向量法求线面角．空间角的求法一般都是建立空间直角坐标系，用空间向量法求得空间角．
六、解答题
21．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接.

(1)证明：平面；
(2)若，求平面与平面所成锐二面角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）法一：根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定与性质证明即可；
法二：以为坐标原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系.设，，根据证明即可；
（2）法一：在面内，延长与交于点，根据线面垂直的性质可得是面与面所成二面角的平面角，再根据几何关系求解即可；
法二：设面与面所成锐二面角的大小为，则由向量的数量积求解.
【详解】（1）法一：因为底面，底面，所以，
由底面为长方形，有，而，，面，
所以平面，而平面，所以，
又因为，点是的中点，所以，
而，，面，所以平面，
而平面，所以.
又，，，面，所以平面.
法二：以为坐标原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系.设，，
则，，，，，
点是的中点，所以，，于是，
即，又已知，而，，面，所以平面.

（2）法一：如图所示，
在面内，延长与交于点，则是平面与平面的交线，
由（1）知，平面，平面，所以，
又因为底面，底面，所以，而，
，面，所以平面，又，平面，所以，
，故是面与面所成二面角的平面角，
设，，有，在中，由，得，则，解得.

法二：由底面，所以是平面的一个法向量；
由（1）知，平面，所以是平面的一个法向量.
若面与面所成锐二面角的大小为，则由向量的数量积得
，解得，
即平面与平面所成锐二面角的大小为.
七、证明题
22．图①是直角梯形，，，四边形是边长为的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且.

(1)求证：平面平面；
(2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，直线与平面所成角的正弦值为
【分析】（1）由二面角平面角定义可知是二面角的平面角，利用勾股定理可说明，由此可证得结论；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，由点到平面距离的向量求法可构造方程求得，利用线面角的向量求法可求得结果.
【详解】（1）在图①中，连接，交于，
四边形是边长为的菱形，，，；
在图②中，相交直线均与垂直，是二面角的平面角，
，，，，平面平面.
（2）以为坐标原点，正方向为轴可建立如图②所示空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，，，
设，，
则，
设平面的一个法向量，
则，令，解得：，，；
点到平面的距离，解得：或（舍），
，，
，
直线与平面所成角的正弦值为.