2023-2024学年河北省石家庄师大实验高二上学期第一次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河北省石家庄师大实验高二上学期第一次月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．一个人连续射击目标2次，则下列选项中与“至少有一次击中”为对立事件的是（ ）
A．两次均击中B．恰有一次击中
C．第一次击中D．两次均未击中
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用对立事件的定义逐项判断作答.
【详解】对于A，“两次均击中”的事件与“至少有一次击中”的事件不互斥，不对立，A不是；
对于B，“恰有一次击中” 的事件与“至少有一次击中”的事件不互斥，不对立，B不是；
对于C，“第一次击中”的事件与“至少有一次击中”的事件不互斥，不对立，C不是；
对于D，“两次均未击中”的事件与“至少有一次击中”的事件不可能同时发生，依题意，它们必有一个发生，
即“两次均未击中”的事件与“至少有一次击中”的事件互为对立事件，D是.
故选：D
2．如图所示，有一个正十二面体，12个面上分别写有1～12这12个整数，投掷这个正十二面体一次，则向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求得向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的数字，即可根据古典概型概率求解.
【详解】正十二面体，12个面上分别写有1～12这12个整数，投掷这个正十二面体一次，则向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的数字为2,3,4,6,8,9,10,12.
所以由古典概型概率可知向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的概率为
故选：A.
【点睛】本题考查了古典概型概率的求法，利用列举法求古典概型概率，属于基础题.
3．若是空间的一个基底，则的值分别为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由已知得，列方程组即可求.
【详解】
∴，
由空间向量基本定理，得，即.
故选：A.
4．如图所示,在平行六面体中,,,,是的中点,点是上的点,且,用表示向量的结果是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】在平行六面体中根据空间向量的加法合成法则,对向量进行线性表示,即可求得答案.
【详解】连接
可得:
又
故选: D.
【点睛】本题考查了空间向量的加法运算,解题关键是掌握向量的加法运算和数形结合,属于基础题.
5．某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为和，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由独立事件概率乘法可求得两户均未获得扶持资金的概率，由对立事件概率公式可求得结果.
【详解】两户均未获得扶持资金的概率为，
两户中至少有一户获得扶持资金的概率.
故选：C.
6．已知事件A，B，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若BA那么，
B．若A与B互斥，那么，
C．若A与B相互独立，那么，
D．若A与B相互独立，那么，
【答案】B
【分析】根据事件的包含关系、相互独立､互斥事件概率计算方法计算即可.
【详解】对于A，如果，那么，，故 A错误；
对于B，如果A与互斥，那么，，故 B正确；
对于C，如果A与相互独立，那么，，故C错误；
对于D，如果A与相互独立，那么，故 D错误；
故选：B
7．甲、乙两人比赛，每局甲获胜的概率为，各局的胜负之间是独立的，某天两人要进行一场三局两胜的比赛，先赢得两局者为胜，无平局．若第一局比赛甲获胜，则甲获得最终胜利的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分两种情况（甲第二局获胜或甲第二局负，第三局获胜）讨论得解.
【详解】解：根据题意知只需考虑剩下两局的情况，
（1）甲要获胜，则甲第二局获胜，此时甲获得最终胜利的概率为；
（2）甲要获胜，则甲第二局负，第三局获胜，所以甲获得最终胜利的概率为．
故甲获得最终胜利的概率为.
故选：B
8．已知点，又点在平面内，则x的值为（ ）
A．14B．13C．12D．11
【答案】B
【分析】由来求得的值.
【详解】，
不共线，
由于点在平面内，
所以存在，使，
即，
，解得.
故选：B
二、多选题
9．已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A=“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B=“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（ ）
A．事件A与事件B的样本点数分别为12，8B．事件A，B间的关系为
C．事件发生的概率为D．事件发生的概率为
【答案】CD
【分析】计算出所有结果数，分别列举出事件A、B的结果情况，即可判断选项A、B；根据古典概型的概率计算公式即可判断选项C、D.
【详解】解：由题用表示甲罐、乙罐中取小球标号的情况，
则所有的情况有：，，
，，共20种，
其中满足事件A的结果有：，，，
，共11种，
其中满足事件B的结果有：，，
，共8种，故选项A错误；
因为事件B的结果均在事件A中包含，故，故选项B错误；
因为，所以的结果数有11种，
所以，故选项C正确；
因为，所以的结果数有8种，
故，故选项D正确.
故选：CD
10．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】AB
【分析】根据向量共面定理判断．
【详解】，A选项中向量共面；
，B选项中向量共面；
假设，，共面，
则存在实数使得，则共面，与已知矛盾，因此C选项中向量不共面；
同理D选项中向量也不共面．
故选：AB．
11．下列命题中错误的是（ ）
A．是共线的充要条件
B．若是空间任意四点，则有
C．若共线，则
D．对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），则四点共面
【答案】ACD
【分析】根据向量共线的性质即可判断CA，由向量的线性运算即可判断B，根据共面定理的推论即可判断D.
【详解】对于A，当方向相同的共线时，此时，所以不是共线的充要条件，故A错误，
对于B, ,故B正确，
对于C，共线，有可能四点在同一条直线上，所以不能得到，故C错误，
对于D，对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），且时，四点共面，故D错误，
故选：ACD
12．抛掷两枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：“至少一枚点数为1”，“两枚骰子点数一奇一偶”，“两枚骰子点数之和为8”，“两枚骰子点数之和为偶数”判断下列结论，正确的有（ ）
A．B．B，D为对立事件C．A，C为互斥事件D．A，D相互独立
【答案】BC
【分析】根据题意，写出各事件包含的基本事件，再依次讨论求解即可.
【详解】解：根据题意，事件包含的基本事件有，
事件包含的基本事件有，，，
事件包含的基本事件有，
事件包含的基本事件有，，，
所以对于A选项，由于事件中的元素均不在事件中，故错误；
对于B选项，事件与事件互斥，且并集为必然事件，故B，D为对立事件，正确；
对于C选项，显然事件与事件是不可能同时发生，为不可能事件，故A，C为互斥事件，正确；
对于D选项，由题知，，事件包含的基本事件有，，显然，故错误.
故选：BC
三、填空题
13．袋中有2个黑球，3个白球，现从中任取两个球，则取出的两个球中至少有1个黑球的概率为 .
【答案】
【分析】利用列举法计算出从袋中任取两球的所有结果及至少有1个黑球的结果，再利用概率公式计算即得.
【详解】袋中2个黑球记为a1，a2，3个白球记为b1，b2，b3，则任取两球的所有不同结果有：
a1a2，a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，b1b2，b1b3，b2b3，共有10个，它们等可能，
取出的两个球中至少有1个黑球的事件设为A则有7个结果：a1a2，a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，
所以.
故答案为：
14．如图，两个开关串联再与开关并联,在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.5,计算在这段时间内线路正常工作的概率为 .
【答案】0.625/
【分析】求出开关均正常工作的概率及开关正常工作的概率，由相互独立事件概率公式、对立事件概率公式即可求出答案.
【详解】由题意，开关在某段时间均正常工作的概率，
开关在某段时间正常工作的概率，
这段时间内线路正常工作的概率为：.
故答案为：0.625.
15．在平行六面体中，，且所有棱长均为2，则对角线的长为 ．
【答案】
【详解】
故对角线的长为
16．已知，，.若平面，则的最小值为 .
【答案】
【解析】利用平面，得到两个向量垂直，从而利用坐标运算得到，，之间的关系，然后再利用模的坐标表示求解最值即可．
【详解】因为平面，都在平面内，
所以，
所以，
又因为，，，
所以，
解得，
所以，
所以
，
所以的最小值为．
故答案为：
【点睛】方法点睛：解答立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用配方法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.
四、计算题
17．如图，在空间四边形ABCD中，E是线段AB的中点，，连接EF，CE，AF，BF．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)，图见解析；
(2)，图见解析；
(3)，图见解析；
【分析】（1）利用空间向量的加法法则进行计算；
（2）利用空间向量的减法法则进行计算；
（3）利用空间向量的数乘运算法则和加法法则进行计算.
【详解】（1），如图：
（2），如图：
（3）因为E是线段AB的中点，，所以，，
所以，如图：
五、解答题
18．为了庆祝神舟十四号成功返航，学校开展“航天知识”竞赛活动，甲乙两个班级的代表队同时回答一道有关航天知识的问题，甲队答对此题的概率是，乙队答对此题的概率是，假设每队答题正确与否是相互独立的．
(1)求甲乙两队都答对此题的概率；
(2)求甲乙两队至少有一队答对此题的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设甲、乙队答对此题分别为事件，则，结合相互独立事件同时发生的概率公式，即可求甲乙两队都答对此题的概率；
（2）依据题意，结合对立事件与相互独立事件同时发生的概率公式，即可求得甲乙两队至少有一队答对此题的概率．
【详解】（1）解：设甲、乙队答对此题分别为事件，则，
记事件“甲乙两队都答对此题”，由于每队答题正确与否是相互独立的，
所以，故甲乙两队都答对此题的概率为；
（2）解：记事件“甲乙两队至少有一队答对此题”，由于每队答题正确与否是相互独立的，
故.
故甲乙两队至少有一队答对此题的概率为.
19．某超市从2019年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按，，，，分组，得到频率分布直方图如下，假设甲、乙两种酸奶的日销售量相互独立.
（1）写出频率分布直方图（甲）中的的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为，，试比较与的大小；（只需写出结论）
（2）用频率估计概率，求在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱的概率.
【答案】（1），；（2）0.42
【分析】（1）根据频率之和为1求得，根据数据的集中程度可比较方差；
（2）分别求出未来的某一天，甲、乙种酸奶的销售量不高于20箱的概率即可求出.
【详解】（1）根据频率分布直方图（甲）可得：，解得，
根据两个频率分布直方图可得，乙种酸奶日销售量数据更集中，所以；
（2）设事件A：在未来的某一天，甲种酸奶的销售量不高于20箱，
事件B：在未来的某一天，乙种酸奶的销售量不高于20箱，
事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱，
则，，
所以.
20．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，Q为的中点.
(1)用，，表示；
(2)若底面是正方形，且，，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量基本定理结合空间向量的线性运算即可得解；
（2）将用，，表示，再根据向量数量积的运算律计算即可得解.
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
所以
.
21．已知，．
(1)求的值；
(2)当时，求实数k的值．
【答案】(1)25
(2)或
【分析】（1）根据空间向量的坐标线性运算与数量积公式求解即可；
（2）根据垂直的数量积表示，结合向量的坐标公式求解即可
【详解】（1）因为，，故，，故
（2），，，因为，故，即，故，即，故或
22．为纪念建党100周年，某校举办党史知识竞赛，现从参加竞赛的同学中，选取200名同学并将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组.得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值，并估计这200名学生成绩的中位数；
(2)若先用分层抽样的方法从得分在和的学生中抽取5人，然后再从抽出的5人中任意选取2人，求此2人得分恰在同一组的概率.
【答案】(1)0.006；76
(2)
【分析】（1）利用频率和为1可求出的值，再利用频率分布直方图中中位数的求法即可求解；
（2）利用分层抽样知，在内的人数为2人，在内的人数为3人，利用列举法结合古典概型即可求解.
【详解】（1）由频率分布直方图可得：，解得；
由频率分布的直方图可得设中位数为m，故可得，解得，
所以这200名学生成绩中位数的估计值为76；
（2）由频率分布直方图可知：得分在和内的频率分别为0.04和0.06，
采用分层抽样知，抽取的5人，在内的人数为2人，在内的人数为3人.
设分数在[ 40，50 )内的2人为，分数在[ 50，60 )内的3人为，
则在这5人中抽取2人的情况有：，，，，，，，，，，共有10种情况，
其中分数在同一组的2人有，，，，有4种情况，
所以概率为.