2023-2024学年河南省南阳市第一中学校高二上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河南省南阳市第一中学校高二上学期第二次月考数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知直线与平行，则实数a的值为
A．－1或2B．0或2C．2D．－1
【答案】D
【分析】根据两直线平行，列方程，求的a的值.
【详解】已知两直线平行，可得a•a -（a+2）=0，即a2-a-2=0，解得a=2或-1．
经过验证可得：a=2时两条直线重合，舍去．
∴a=-1．
故选D
【点睛】对于直线
若直线
2．已知，，其中，则直线AB的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据直线的斜率的范围即可求得倾斜角的范围即可．
【详解】由斜率公式得，当，，
当时，，
所以斜率的取值范围是，
由正切函数的图像可知倾斜角的范围是．
故选：A
3．抛物线的焦点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将抛物线化为标准方程可得焦点坐标.
【详解】抛物线标准方程为，
其焦点坐标为
故选：C.
4．双曲线上的点到上焦点的距离为12，则到下焦点的距离为（ ）
A．22B．2C．2或22D．24
【答案】A
【分析】设的上、下焦点分别为，根据双曲线的定义求出或，再根据可得.
【详解】设的上、下焦点分别为，则．
因为,,所以，，则，
由双曲线的定义可知，，即，
解得或，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意.
综上所述：.
故选：A
5．已知为椭圆的焦点，M为椭圆上一点，垂直于x轴，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】在直角中，由得到的等量关系，结合计算即可得到离心率.
【详解】由已知，得，则,
又在椭圆中通径的长度为，，
故,
即,
解得
故选：C
6．已知点，过直线上一动点P作与y轴垂直的直线，与线段的中垂线交于点Q，则Q点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据中垂线性质得到，结合抛物线的定义判断出点的轨迹是抛物线，由此求解出轨迹方程.
【详解】设，因为的中垂线经过点，所以，
又因为轴，所以表示到直线的距离，
且表示点到点的距离，点不在直线上，
由抛物线的定义可知：点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，
设轨迹方程为，所以，所以，
所以轨迹方程为.
故选：D.
【点睛】方法点睛：求解动点的轨迹方程的常见方法：
（1）定义法：如果动点的运动规律符合我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件待定方程中的参数，即可求得轨迹方程；
（2）直接法：如果动点的运动规律满足的等量关系容易建立，则可用点的坐标表示该等量关系，即可得轨迹方程；
（3）相关点法：如果动点的运动是由另外一点的运动引发的，而点的运动规律已知（坐标满足某已知的曲线方程），则用点的坐标表示出相关点的坐标，然后将点的坐标代入已知曲线方程，即可得到点的轨迹方程；
（4）交轨消参法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程.
7．过抛物线的焦点F的直线与其交于A，B两点，，如果，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，根据，利用抛物线定义求得点A的坐标，进而得到直线AF的方程，求得点B的坐标，再利用抛物线定义求解.
【详解】解：抛物线的焦点，准线方程为，
设，则，故，此时，
即，则直线AF的方程为，即，
代入得，解得（舍）或，
则，
故选：B．
8．双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案.
【详解】如图，

因为，不妨设渐近线方程为，即，
所以，
所以.
设,则，所以，所以.
因为,所以，所以，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，解得，
所以双曲线的方程为
故选：D
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为.
B．直线的倾斜角为.
C．，“直线与垂直”是“”的必要不充分条件.
D．若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为
【答案】BCD
【分析】对于A，设出直线的点斜式方程，求出在轴上截距，可列出方程，可得答案；
对于B，根据倾斜角与斜率的关系，由方程求得斜率，列出三角函数方程，可得答案；
对于C，根据两直线垂直的证明公式，可得方程，结合充分必要条件的定义，可得答案；
对于D，根据函数图象变换表示出前后解析式，由题意，列方程，可得答案.
【详解】对于A，由题意，显然直线斜率存在，且直线过点，可设方程为，
令，；令，，
因为在轴上截距相等，所以，则，
，解得或，故直线方程为或，故A错误；
对于B，直线方程，转化为，设该直线的倾斜角为，故，解得，故B正确；
对于C，先证充分性：由“直线与垂直”，则，，，解得或，故“直线与垂直”是“”的必要不充分条件，故C正确；
对于D，由题意，可设，向左平移个单位，向上平移个单位，可得，则，因为回到原来的位置，所以，，解得，故D正确.
故选：BCD.
10．在平面直角坐标系xy中，F1，F2分别为椭圆 的左、右焦点，点A在椭圆上.若△AF1F2为直角三角形，则AF1的长度可以为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】ABC
【解析】利用已知条件判断三角形的直角顶点的位置，转化求解AF1的长，判断选项即可.
【详解】由椭圆 可知，
焦点坐标为，通径为，
因为△AF1F2为直角三角形，
所以A为直角顶点时，A在短轴端点，此时AF1的长为2；为直角顶点时，A在y轴左侧，此时AF1的长为1;
为直角顶点时，A在y轴右侧，此时AF1的长为3;
故选：ABC.
11．已知双曲线过点，则下列结论正确的是（ ）
A．C的焦距为4B．C的离心率为
C．C的渐近线方程为D．直线与C有两个公共点
【答案】AC
【分析】由题意先求出的值，得到双曲线的标准方程，确定的值，求出椭圆C的焦距，离心率，渐近线方程即可判断选项A B C；将直线与双曲线的方程联立消，得到关于的一元二次方程，利用判别式即可判断选项D.
【详解】由双曲线过点，
可得，
则双曲线的标准方程为：；
所以，
因为椭圆C的焦距为，所以选项A正确；
因为椭圆C的离心率为，所以选项B不正确；
因为椭圆C的渐近线方程为，所以选项C正确；
将直线与双曲线联立消可得：
，
，
所以直线与双曲线
C没有公共点，所以选项D不正确；
故选：AC.
【点睛】本题主要考查了双曲线的方程和几何性质，直线与双曲线的位置关系，考查了数学抽象，数学运算等核心素养.属于较易题.
12．已知抛物线，为坐标原点，点为直线上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A．抛物线的准线方程为B．直线一定过抛物线的焦点
C．线段长的最小值为D．
【答案】ACD
【分析】根据抛物线的焦点坐标和准线方程，结合一元二次方程根的判别式进行判断A、B、D；联立直线与抛物线方程，根据韦达定理,结合弦长公式即可判断C.
【详解】由抛物线可知，焦点坐标为，准线方程为，故选项A正确；
设，显然直线存在斜率且不为零，设为，方程为，
与抛物线方程联立，得，
因为是该抛物线的切线，所以，即，
且的纵坐标为：，代入抛物线方程中可得的横坐标为：，
设直线存在斜率且不为零，设为，
同理可得：，且的纵坐标为：，横坐标为，
显然、是方程的两个不等实根，所以，
因为，
所以，因此选项D正确；
由上可知：的斜率为，
直线的方程为：，即，
又，所以，
所以，即，
所以直线AB一定过，显然该点不是抛物线的焦点，因此选项B不正确，
由题意知，直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，，，
由得，所以，，
所以
，当且仅当时等号成立，故选项C正确；
故选：ACD

三、填空题
13．双曲线的离心率是 .
【答案】/
【分析】直接利用双曲线方程求出，然后求解离心率．
【详解】由双曲线可知：，
所以，
所以双曲线的离心率为：.
故答案为：.
14．已知，若点P是抛物线上任意一点，点Q是圆上任意一点，则的最小值为 .
【答案】4
【分析】画出图形数形结合，利用抛物线的定义将转换为，结合三角不等式即可求得最小值.
【详解】如图所示：

抛物线的焦点，准线，
圆的圆心为，半径，
过点作垂直准线，垂直为点，
由抛物线的定义可知，
则，
当且仅当三点共线时，等号成立,
综上所述：的最小值为4.
故答案为：4.
15．过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．
【详解】易知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，
所以，解得：，由解得：或，
所以，解得：．
当时，同理可得．
故答案为：．
16．已知圆：，直线：，为上的动点．过点作圆的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为 ．
【答案】
【解析】根据题意，只需转化为圆上的点到直线的距离最小，即转化为圆心到直线的距离，再利用四点共圆的知识求得动点的轨迹，联立两个圆的方程可得所求的直线的方程.
【详解】⊙M：，则，圆心为，半径，
如图，连接，四边形的面积为，要使最小，则需四边形的面积最小，
即只需的面积最小，因为，所以只需 最小，又，
所以只需直线上的动点到点M的距离最小，其最小值是圆心到直线的距离，此时
所以直线的方程为由，解得，所以，
所以点四点共圆，所以以点PM为直径的圆的方程为，即，联立两个圆的方程得直线AB的方程为：.
故答案为：.
【点睛】在解决直线与圆的位置关系的相关问题时，注意运用圆的几何性质，求解圆的弦长，切线长等问题.
四、解答题
17．已知的顶点，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为.
(1)求点的坐标；
(2)求点到直线的距离.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由中点坐标公式，设，则，结合在直线上，在直线上，将对应点代入直线方程可求，进而得到点的坐标；
（2）由可求，由点斜式求出方程，再结合点到直线距离公式即可求解.
【详解】（1）设，则，
∴，解得，
∴；
（2）∵，且直线的斜率为，∴直线的斜率为，
∴直线的方程为，即，
所以点到直线的距离为.
五、证明题
18．曲线方程：，讨论取不同值时，方程表示的是什么曲线？
【答案】当，，表示两条直线，
当，，表示焦点在轴的双曲线，
当，，表示单位圆，
当且，，表示椭圆.
【分析】根据的不同值，然后通过化简得到相应的标准形式，做出判断.
【详解】当，，表示两条直线，
当，，表示焦点在轴的双曲线，
当，，表示单位圆，
当且，，表示椭圆.
【点睛】本题考查各种圆锥曲线的标准方程，属于简单题.
六、解答题
19．根据条件求下列圆的方程：
（1）求经过，两点，并且圆心在直线上的圆的方程；
（2）求半径为，圆心在直线上，被直线截得的弦长为的圆方程．
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）计算线段AB的垂直平分线方程为，解得圆心，半径，得到圆方程.
（2）设圆的方程为，计算得到，，解得答案.
【详解】（1），中点为，故线段AB的垂直平分线方程为.
∴ 由，解得，圆心，半径，
故所求圆的方程为.
（2）设圆的方程为，圆心在直线上，故.
由圆被直线截得的弦长为.
将代入，得.
设直线交圆C于，．
则，
，
，，故，
即，又，故或.
所求圆的方程为或.
【点睛】本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
20．已知定点F(2，0)，曲线C上任意一点P(x，y)(x≥0)到定点F(2，0)的距离比它到y轴的距离大2．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点F任作一直线l与曲线C交于A，B两点，直线OA，OB与直线x＝-2别交于点M，N（O为坐标原点）．试判断以线段MN为直径的圆是否经过点F？请说明理由．
【答案】（Ⅰ）y2＝8x；（Ⅱ）以线段MN为直径的圆经过点F，证明见解析．
【分析】(1)由题意可判断曲线C的轨迹方程为抛物线，设方程为，即可求出轨迹方程.
(2) 设直线AB的方程为x＝ty＋2，A，B，联立直线和抛物线的方程即可求出y1y2＝-16，结合向量的数量积可算出，从而可证明以线段MN为直径的圆经过点F.
【详解】（Ⅰ） 由题意可知：上任意一点到定点的距离与它到直线的距离相等．设方程为,，，抛物线的方程为y2＝8x．
（Ⅱ）设直线AB的方程为x＝ty＋2，A，B，则，
．由，得，同理得，
由，得y2－8ty－16＝0，∴y1y2＝-16．∴，则，
则，因此，以线段MN为直径的圆经过点F．
【点睛】本题考查了抛物线方程的求解，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了平面向量数量积的计算，属于中档题.
21．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点，（）在椭圆上，点，是椭圆上不同于，的两个动点，且满足：，试问：直线的斜率是否为定值？请说明理由.
【答案】(1)
(2)为定值，理由见解析
【分析】（1）根据离心率以及即可求解椭圆方程，
（2）将转化为直线斜率之和为，联立直线与椭圆方程，利用坐标运算即可求解.
【详解】（1）因为椭圆的中心的原点，焦点在轴上，
所以设椭圆标准方程为，
因为椭圆离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，
焦点为，所以，
所以，解得，
所以椭圆的标准方程.
（2）由题意，直线与椭圆交点，
设，当时直线斜率之和为，
设斜率为，则斜率为，的直线方程为，
与椭圆联立得，
所以，同理，
所以，，
直线的斜率为.
22．已知直线与抛物线交于两点，且．
(1)求；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出；
（2）设直线：，利用，找到的关系，以及的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．
【详解】（1）设，
由可得，，所以，
所以，
即，因为，解得：．
（2）因为，显然直线的斜率不可能为零，
设直线：，，
由可得，，所以，，
，
因为，所以，
即，
亦即，
将代入得，
，，
所以，且，解得或．
设点到直线的距离为，所以，
，
所以的面积，
而或，所以，
当时，的面积．
【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值.