2023-2024学年上海市七宝中学高二上学期9月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年上海市七宝中学高二上学期9月月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1．若直线平行于平面内的直线，且，则与的位置关系是 .
【答案】
【分析】由线面平行的判定定理可得结论.
【详解】如果平面外一条直线与此平面内一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
故答案为：.
2．已知，则 ．
【答案】
【详解】解：由题意可知： .
3．已知，则 .
【答案】
【分析】根据复数的运算法则及几何意义计算求解即可.
【详解】因为，
所以，
所以.
故答案为：.
4．过所在平面外一点，作，垂足为，连接，，，若，则点是的 心.
【答案】外
【分析】由线面垂直得到线线垂直，进而由求出，得到答案.
【详解】因为，，所以，
故，
因为，所以，
故是的外心.
故答案为：外
5．正方体的棱长为，则到平面的距离为 .
【答案】
【分析】根据等体积法即可得到距离.
【详解】根据正方体的性质知为三棱锥的高，，
，所以，
设到平面的距离为，
根据，即，
即，解得，
故答案为：.

6．已知，与的夹角为，则在上的数量投影为 ．
【答案】
【分析】利用平面向量的几何意义可得出结果.
【详解】由题意可得，
所以，在上的数量投影为.
故答案为：.
7．已知平面经过原点，且法向量为，点，则点到平面的距离为 .
【答案】
【分析】利用向量数量积的几何意义，求出点P到平面的距离即可．
【详解】平面经过原点，且法向量为，，
则点到平面的距离为.
故答案为：.
8．已知圆锥的底面半径为，母线长为2，过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为 .
【答案】2
【分析】根据三角形的面积公式求得正确结论.
【详解】如图所示，是圆锥的轴截面.

,
所以,
所以任意截面的面积为，
当时，截面面积最大为.
故答案为：2.
9．如图，圆锥的底面直径和高均是1，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则该圆柱侧面积的最大值为 .
【答案】/
【分析】设，用x的函数表达式表示出圆柱的侧面积，再利用基本不等式即可求出最大值．
【详解】圆锥轴截面如图所示，
设圆柱的底面半径为r，，由可知，，即，
所以，
故被挖去的圆柱的侧面积为，
当且仅当时取等号，即时，被挖去的圆柱的侧面积最大值为．
故答案为：
10．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 .
【答案】
【详解】点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P′，显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值，当P′C⊥DE时，P′C的长度最小，此时P′C＝＝.
11．二面角是，其内一点P到的距离分别为和，则点P到棱l的距离为 ．
【答案】/
【分析】过分别作，设点P到棱l的垂足为，可得在以为直径的圆上，利用余弦定理求出，再由正弦定理即可求出.
【详解】如图，过分别作，则，
设点P到棱l的垂足为，则可得平面，则，
所以，则，
在中由余弦定理可得，所以，
由题意可得在以为直径的圆上，
所以由正弦定理可得.
故答案为：.
12．在四面体中，是边长为2的等边三角形，平面，且，动点，分别在线段（含端点）上和所在平面中运动，满足.记的外心为，则的最大值是 .
【答案】/
【分析】取 的中点E，连接 ，等边三角形的中心O在 上，过点O作 于G，过点M作 于I，由几何关系可得N在 所在平面中运动，所以N的轨迹是以I为圆心， 为半径的圆，据此求得的最大值，即可确定的最大值．
【详解】取的中点E，连接，等边三角形的中心O在上，
过点O作于G，过点M作于I，
∵是等边三角形，所以 ，
∵平面，平面,
∴ ，又，平面 ，
∴平面，
又平面，∴平面平面，平面平面,
∵ ，平面，
∴平面，
同理 平面，
∵ 是边长为2的等边三角形，则，
∵ ，故 ，
∴ ，
则，
∵动点，分别在线段上和所在平面中运动，满足，
∴N的轨迹是心I为圆心，为半径的圆，
其中，
当最大时，必最小，
又∵平面，所以，
可知，
当，即均为点时，取到最大值,
此时的最大值为，即的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：解题关键是确定的轨迹， 应在以为顶点，底面在平面，并且以母线长为1的圆锥的底面圆上，再利用，将的最大值转化为的最大值，将问题转化为定点到圆上动点距离的最大值.
二、单选题
13．空间中有三条直线，，，则“，，两两相交”是“，，共面”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】D
【分析】在正方体中，举例即可.
【详解】如图，在正方体中，
三条直线两两垂直，但不共面；
，都在平面中，但不相交.
所以空间中有三条直线，，，则“，，两两相交”是“，，共面”的既非充分也非必要条件.
故选：D.
14．已知，则函数的图像必定不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解析】根据指数函数的图象结合图象的平移可得正确的选项.
【详解】因为，故的图象经过第一象限和第二象限，
且当越来越大时，图象与轴无限接近.
因为，故的图象向下平移超过一个单位，故的图象不过第一象限.
故选：A．
15．已知平面平面，，直线在平面内，直线在平面内，且，与均不垂直，则（ ）
A．与可能垂直，但不可能平行B．与可能垂直也可能平行
C．与不可能垂直，但可能平行D．与不可能垂直，也不可能平行
【答案】C
【分析】利用空间中线线间的位置关系求解．
【详解】平面平面，，直线在平面内，直线在平面内，且，与均不垂直，
直线在平面内的射影为直线，若，则有，与已知矛盾，与不可能垂直，
当且时，由平行公理得，即与可能平行.
故选：C
16．已知矩形，是边上一点，沿翻折，使得平面平面，记二面角的大小为，二面角的大小为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点在平面内作，垂足为点，过点作分别交直线、于点、，连接、，设，，则为锐角，利用二面角的定义可得出，，计算得出，，利用正切函数的单调性结合两角和的正切公式可判断各选项的正误.
【详解】过点在平面内作，垂足为点，
过点作分别交直线、于点、，连接、，
设，，则为锐角，
因为平面平面，平面平面，，平面，所以，平面，
平面，，因为，则，
，平面，平面，，
故二面角的平面角为，且，同理，
在中，，
又因为，则，
，，，
，则，
所以，，，
，，
无法比较和的大小关系，故无法比较、的大小关系，即、的大小无法确定，
因为，，则，
因为，
所以，.
故选：D.
三、解答题
17．已知定义在上的函数为偶函数，且．
(1)求的解析式；
(2)判断并用单调性定义证明在的单调性．
【答案】(1)
(2)在单调递减，证明见解析
【分析】（1）利用偶函数的定义和即可求解；
（2）在单调递减，利用函数单调性定义，设，作差，整理变形即可证明.
【详解】（1）由题意，，∴，∴a＝0，
∵，∴b＝1，∴．
（2）在单调递减，证明如下
设，，
∵，∴，，，，
∴，即，∴在单调递减．
18．如图，在四棱锥中，底面正方形ABCD的边长为2，底面ABCD，E为BC的中点，PC与平面PAD所成的角为．
(1)求PA的长度；
(2)求异面直线AE与PD所成角的大小．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）由线线垂直进而可得平面，进而是是与平面所成的角，因此，求出，由此能求出．
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的大小．
【详解】（1）在四棱锥中，底面正方形的边长为2，底面，底面，，又，
又，平面
平面，
是直线与平面所成的角，
与平面所成的角为．
，解得，
．
（2）以为原点，以，，为正方向分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
，0，，，1，，，0，，，2，，
，1，，，2，，
设异面直线与所成角为，
则，
异面直线与所成角的大小．
19．某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是60cm.

(1)求石凳的体积；
(2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（精确到0.1元）
【答案】(1)
(2)元
【分析】（1）计算出正方体的体积减去8个小正三棱锥的体积，得到答案；
（2）计算出石凳的表面积，从而求出粉刷一个石凳的钱数.
【详解】（1）正方体的体积为，
石凳的体积为正方体的体积减去8个正三棱锥的体积，其中一个小正三棱锥的三条侧棱边长为，
故一个小正三棱锥的体积为，
故石凳的体积为.
（2）石凳的表面由6个正方形和8个正三角形组成，其中正方形和正三角形的边长均为，
则石凳的表面积为，
则粉刷一个石凳需要元.
四、证明题
20．已知如图，四边形为矩形，为梯形，平面平面，，，．
(1)若为中点，求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)在线段上是否存在一点（除去端点），使得平面与平面所成锐二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
(3)存在，.
【分析】（1）连接，根据直线与平面平行的判定定理进行证明；
（2）使用空间向量求解线面角的正弦值；
（3）使用空间向量法利用已知条件，求解得出满足条件的点的坐标即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
四边形为矩形，与交于点，
为的中点，
又因为为的中点，，
而平面，平面，
平面；
（2）如下图，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
根据题意，则有，0，，，1，，，2，，，0，，
所以，0，，，1，，，2，，
假设平面的一个法向量为，，，
则，取，得，1，，
设直线与平面所成角的平面角为，
则．
直线与平面所成角的正弦值为．
（3）假设存在点，，，满足题意，
设此时，则，
即，，，2，，解得，，，
则，，，，0，，
假设平面的一个法向量为，，，
则，取，得，1，，
又平面的一个法向量为，1，，
平面与平面所成锐二面角的大小为，
根据题意，则有，
解得，
在线段上存在一点（除去端点），使得平面与平面所成锐二面角的大小为，．
21．已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为，母线长为.

(1)当，时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示）
(2)如图，当，时，平面与圆柱的底面所成锐二面角为45°，且平面只与圆柱的侧面相交，设平面与圆柱的侧面相交的轨迹为曲线，半径为1的两个球分别在圆柱内平面上下两侧且分别与平面相切于点，，若点为曲线上任意一点，求证：为定值；
(3)在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为的同样大小的小球个，求的最大值.
【答案】(1)
(2)见解析
(3)30
【分析】（1）分别计算出圆柱，和球的体积，从而得到圆柱内空余部分的体积.
（2）易知，曲线为椭圆，再利用球外一点到球的切线长必相等，知应为定值.
（3）考虑轴截面，数形结合求出小圆半径，再考虑大球及小球在底面上的投影，计算出每个小圆所占大小，从而得出答案.
【详解】（1），，
则圆柱内空余部分的体积为：.
（2）当，时，平面与圆柱的底面所成锐二面角为45°，且平面只与圆柱的侧面相交，则平面与圆柱的侧面相交的轨迹为椭圆.且长轴长为，短轴长为.
如图，在椭圆上任取一点，过作平行于圆柱的母线的直线，交上方球与圆柱相切的圆于点,交下方球与圆柱相切的圆于点.
则与球相切，与球相切，
又∵两个球分别在圆柱内平面上下两侧且分别与平面相切于点，，
∴，，
∴，即椭圆上任意一点到，的距离和为定值，
∴，为椭圆的两焦点，故.

（3）考虑其轴截面，如下图所示，

,
则，
∴，解得
考虑大球及小球在底面上的投影，如下图所示，

，
∴，即，
∵
∴下方空余位置最多可放15个，
∴.