2023-2024学年新疆乌鲁木齐市第六十一中学高二上学期第一次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年新疆乌鲁木齐市第六十一中学高二上学期第一次月考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，证明题，问答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若空间向量，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的运算法则进行求解.
【详解】解：，
.
故选：D
2．已知直线的点斜式方程为，则这条直线经过的定点、倾斜角分别是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由直线的点斜式方程的特点可得到过的点和斜率，根据斜率求倾斜角.
【详解】因为直线的点斜式方程为，
由直线的点斜式方程的特点可知，直线经过定点，
斜率为，即倾斜角为．
故选：A.
【点睛】本题考查了直线方程的点斜式特点，属于基础题.
3．已知向量，且，其中，则（ ）
A．4B．－4C．2D．－2
【答案】B
【分析】由两向量的横坐标可以看出，，则可得到的值.
【详解】由，设，则有
，可解得，，
所以.
故选：B.
4．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则k＝（ ）
A．4B．
C．5D．
【答案】D
【分析】根据两平面垂直得到两法向量垂直，进而得到方程，求出答案.
【详解】∵，∴，
∴，解得.
故选：D
5．点关于平面对称的点的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用空间直角坐标系的性质即可得出结果.
【详解】由空间直角坐标系的性质可知，
点关于平面对称的点的坐标是.
故选：A
6．直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】利用两直线垂直的公式求出，两直线联立求交点坐标即可.
【详解】由直线与直线互相垂直，
可得，
即，
所以直线的方程为：；
由，
得它们的交点坐标为.
故选：B.
7．如图，在平行六面体中，与的交点为点，，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用空间向量的基本定理可得出关于的表达式.
【详解】因为四边形为平行四边形，且，则为的中点，
所以，，
所以，，
故选：C.
8．若直线过点，倾斜角为，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用点斜式写出直线方程，再利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】由倾斜角为得直线的斜率为，
求得直线的方程为，
则点到直线的距离，
故选：C.
【点睛】本题考查了点斜式方程、点到直线的距离公式，需熟记公式，属于基础题.
9．从点出发的一条光线l，经过直线反射，反射光线恰好经过点，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出点关于直线的对称点 ，再结合D在反射光线上，反射光线恰好通过点，即可求解．
【详解】设点关于直线的对称点为，
则 ，解得 ，
由题意可知，D在反射光线上，又反射光线恰好通过点，
则 ，即反射光线所在直线的斜率为，
故选：B﹒
10．过点的直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【解析】分直线过原点和不过原点两种情况，设出直线方程，将点的坐标代入即可求解.
【详解】当直线过原点时，方程为：，即；
当直线不过原点时，设直线的方程为：且，
把点代入直线的方程可得，故直线方程是．
综上可得所求的直线方程为：或，
故选：C
【点睛】本题主要考查了求直线的方程，注意分截距是否为0，属于基础题.
11．已知正四棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成的角等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，然后利用向量求出答案即可.
【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设与所成角为，
则，
∴．
∴异面直线与所成的角为．
故选：A
【点睛】本题考查的是异面直线的求法，考查了学生的计算能力，较简单.
12．下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A．两条不重合直线的方向向量分别是，则
B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C．两个不同的平面的法向量分别是，则
D．直线的方向向量，平面的法向量是，则
【答案】C
【分析】对于A，由不重合两直线方向向量平行可判断；对于B，要考虑直线可能在面内；对于C，由两法向量垂直可得两平面垂直；对于D，直线方向向量与法向量平行，则直线与面垂直.
【详解】对于A，两条不重合直线的方向向量分别是，
则，所以不平行，即不平行，故A错误；
对于B，直线l的方向向量，平面的法向量是，
则，所以，即或，故B错误；
对于C，两个不同的平面的法向量分别是，
则，所以，故C正确；
对于D，直线l的方向向量，平面的法向量是，
则，所以，即，故D错误．
故选：C．
二、填空题
13．已知，且，则向量的夹角是 .
【答案】/
【分析】根据向量的数量积的定义，即可求解.
【详解】由题意可得，，则向量的夹角是.
故答案为：
14．直线的横截距为 ．
【答案】
【分析】令，可得，即可得到直线的横截距.
【详解】由题意，直线，
令，可得，即直线的横截距为.
故答案为：.
15．两直线与平行，则它们之间的距离为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式求解即得.
【详解】两直线与平行，则，即，
直线化为：，于是.
所以所求距离为.
故答案为：
16．若直线与直线相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据两直线相交可得，解出两直线交点坐标由第一象限即可限定出，求出倾斜角的取值范围.
【详解】由两直线相交可得，
联立，解得；
所以两直线的交点坐标为；
又两直线交点在第一象限，所以，解得，
又直线l的倾斜角为，则，所以可得.
故答案为：
三、解答题
17．已知两直线l1：x+8y+7=0和l2：2x+y–1=0．
（1）求l1与l2交点坐标；
（2）求过l1与l2交点且与直线x+y+1=0平行的直线方程．
【答案】（1）（1，–1）；（2）x+y=0．
【分析】（1）两直线方程联立，可求出交点坐标；（2）所求直线的斜率与x+y+1=0的斜率相同，可设直线方程为 x+y+c=0，将（1）中求出的交点代入即可．
【详解】（1）联立两条直线的方程可得：，解得，
所以l1与l2交点坐标是（1，–1）．
（2）设与直线x+y+1=0平行的直线l方程为x+y+c=0，
因为直线l过l1与l2交点（1，–1），
所以c=0，
所以直线l的方程为x+y=0．
【点睛】本题考查了两直线的交点问题，及平行线间的关系，属于基础题．
四、证明题
18．已知四边形是正方形，是平面外一点，且，是棱的中点．
(1)求证： 平面；
(2)求证：.
【答案】(1)见解析；
(2)见解析.
【分析】（1）建立如图所示的平面直角坐标系，利用向量方法证明即可.
（2）利用向量可证，故可证平面.
【详解】（1）连结交于点，连结．
∵四边形是正方形，∴,
∵，∴，同理，
以为原点，分别为轴的正方向，
建立空间直角坐标系.
则，
.
设平面的法向量为，则，
取，则，所以平面的法向量为
所以 ，平面.
（2），
，
又平面，
所以平面.
五、问答题
19．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是上一点，且.
(1)求点到平面的距离；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建系，根据得到，即可得到点为中点，然后将点到平面的距离转化为点到平面的距离的，最后根据几何知识求距离即可.
（2）利用空间向量的方法求二面角即可.
【详解】（1）
如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
，则可设，
，，，
，，
因为，所以，解得，
所以点为中点，则点到平面的距离为点到平面的距离的，
过点作与点，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
所以点到平面的距离为，
，，
所以点到平面的距离为.
（2），，，
，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，，
所以，
设平面的法向量为，
则，则，令，则，，
所以，
则，
由题意得二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.
20．在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，、分别是、的中点，，.
(1)求与平面所成角的正弦值；
(2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在.求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，且
【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值；
（2）设点，其中，要使得平面，只需，结合空间向量的数量积可求得实数的值，即可得解.
【详解】（1）解：因为底面，四边形为矩形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，则，
，则，
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
（2）解：设点，其中，，，
若平面，则，解得，
因此，在棱上存在一点，使得平面，且.