广东省广州市番禺区仲元中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份广东省广州市番禺区仲元中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一次项系数是（ ）
A．1B．﹣3C．3D．﹣4
2．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）
4．已知二次函数y＝x2，将它的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得图象的表达式为（ ）
A．y＝（x+2）2+3B．y＝（x+2）2﹣3
C．y＝（x﹣2）2+3D．y＝（x﹣2）2﹣3
5．一元二次方程x2﹣10x+7＝0的左边配成完全平方后所得方程为（ ）
A．（x﹣5）2＝﹣7B．（x+5）2＝18C．（x﹣5）2＝18D．（x﹣5）2＝25
6．抛物线y＝x2+kx﹣1与x轴交点的个数为（ ）
A．0个B．1个
C．2个D．以上都不对
7．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+b（a≠0）有最小值﹣1，则a与b之间的大小关系是（ ）
A．a＜bB．a＝bC．a＞bD．不能确定
8．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）＝1056B．x（x﹣1）＝1056
C．x（x+1）＝1056D．x（x﹣1）＝1056
9．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC＝60°，则∠EFD的度数为（ ）更多优质支援请 嘉 威鑫 MXSJ663 更多优质滋源请 家 威杏 MXSJ663
A．15°B．10°C．20°D．25°
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④5a+c＝0；⑤当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．一元二次方程x2﹣25＝0的解为 ．
12．在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是 ．
13．设A（2，y1），B（3，y2）是抛物线y＝﹣（x+1）2+k（k是常数）上的两点，则y1 y2（填＜，＝或＞）．
14．某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为 ．
15．一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y＝﹣，当水面离桥拱顶的高度OC是4m时，水面的宽度AB为 m．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则BE的长是 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．解方程：x2﹣2x﹣15＝0．
18．已知x1＝﹣1是方程x2+mx﹣5＝0的一个根，求m的值及方程的另一根x2．
19．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，4）．
（1）请画出与△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1；
（2）若△ABC以点A为旋转中心逆时针旋转90°后得到的图形为△AB2C2（B的对应点为B2，C的对应点为C2），在网格中画出旋转后的图形；
（3）点P为x轴上一点，使PA+PB的值最小，则点P的坐标为 ．
20．如图，平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）根据图象，写出不等式﹣x2+bx+c＞x+2的解集．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝5，求k的值．
22．如图1是一张轴对称纸片，曲线部分为抛物线，尺寸如图所示
（1）试建立合适的直角坐标系，并求出抛物线的解析式．
（2）如图2在纸片中裁剪出一个正方形，试求出该正方形的边长．
23．某商店销售一种商品，每件进价为40元，对销售情况作了调查，结果发现月最大销售是y（件）与销售单价x（元）（50≤x≤90）之间的函数关系如图中的线段AB．（月最大销售量指进货量足够的情况下最多售出件数）
（1）求出y与x之间的函数表达式．
（2）该商品每月的总利润w（元），求w关于x的函数表达式，并指出销售单价x为多少元时利润w最大，该月进货数量应定为多少？
（3）若该商店进货350件，如果销售不完，就以亏本36元/件计入总利润，则销售单价定为多少，当月月利润最大？
24．如图1，等边△ABC中，DE∥BA分别交BC、AC于点D、E．
（1）求证：△CDE是等边三角形；
（2）将△CDE绕点C顺时针旋转θ（0°＜θ＜360°），设直线AE与直线BD相交于点F．
①如图2，当0°＜θ＜180°时，判断∠AFB的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；
②若AB＝7，CD＝3，当B，D，E三点共线时，求BD的长．
25．已知抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点（点A在点B的左侧）．
（1）求b的值；
（2）如图，过点A的直线l：y＝﹣x﹣1与抛物线的另一个交点为C，点P为抛物线对称轴上的一点，连接PA、PC，当PA＝PC时，求点P的坐标；
（3）将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到线段MN，若抛物线y＝a（﹣x2+2x+3）（a≠0）与线段MN只有一个交点，请直接写出a的取值范围．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一次项系数是（ ）
A．1B．﹣3C．3D．﹣4
【分析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中bx叫一次项，系数是b，可直接得到答案．
解：一次项是：未知数次数是1的项，故一次项是﹣3x，系数是：﹣3，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般式，关键是注意符号问题．
2．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）
【分析】根据题目中函数的解析式直接得到此二次函数的顶点坐标．
解：∵y＝﹣（x﹣2）2﹣3，
∴二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3的图象的顶点坐标是（2，﹣3）
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
4．已知二次函数y＝x2，将它的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得图象的表达式为（ ）
A．y＝（x+2）2+3B．y＝（x+2）2﹣3
C．y＝（x﹣2）2+3D．y＝（x﹣2）2﹣3
【分析】直接根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．
解：由“左加右减”的原则可知，二次函数y＝x2的图象向左平移个单位得到y＝（x+2）2，
由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝（x+2）2的图象向上平移3个单位可得到函数y＝（x+2）2+3，
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键．
5．一元二次方程x2﹣10x+7＝0的左边配成完全平方后所得方程为（ ）
A．（x﹣5）2＝﹣7B．（x+5）2＝18C．（x﹣5）2＝18D．（x﹣5）2＝25
【分析】把常数项7移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣10的一半的平方．
解：把方程x2﹣10x+7＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣10x＝﹣7，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣10x+（﹣5）2＝﹣7+（﹣5）2，
配方得（x﹣5）2＝18．
故选：C．
【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
6．抛物线y＝x2+kx﹣1与x轴交点的个数为（ ）
A．0个B．1个
C．2个D．以上都不对
【分析】设y＝0，得到一元二次方程，根据根的判别式判断有几个解就有与x轴有几个交点．
解：
∵抛物线y＝x2+kx﹣1，
∴当y＝0时，则0＝x2+kx﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝k2+4＞0，
∴方程有2个不相等的实数根，
∴抛物线y＝x2+kx﹣与x轴交点的个数为2个，
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，用到的知识点为：x轴上的点的纵坐标为0；抛物线与x轴的交点个数与函数值为0的一元二次方程的解的个数相同．
7．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+b（a≠0）有最小值﹣1，则a与b之间的大小关系是（ ）
A．a＜bB．a＝bC．a＞bD．不能确定
【分析】根据函数有最小值判断出a的符号，进而由最小值求出b，比较a、b可得出结论．
解：∵二次函数y＝a（x﹣1）2+b（a≠0）有最小值，
∴抛物线开口方向向上，即a＞0；
又最小值为﹣1，即b＝﹣1，
∴a＞b．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的最值，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
8．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）＝1056B．x（x﹣1）＝1056
C．x（x+1）＝1056D．x（x﹣1）＝1056
【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x﹣1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x﹣1）张，即可列出方程．
解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x﹣1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x（x﹣1）＝1056．
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．
9．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC＝60°，则∠EFD的度数为（ ）
A．15°B．10°C．20°D．25°
【分析】由旋转前后的对应角相等可知，∠DFC＝∠BEC＝60°；一个特殊三角形ECF为等腰直角三角形，可知∠EFC＝45°，把这两个角作差即可．
解：∵△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，
∴CE＝CF，∠DFC＝∠BEC＝60°，∠EFC＝45°，
∴∠EFD＝60°﹣45°＝15°．
故选：A．
【点评】本题考查旋转的性质和正方形的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④5a+c＝0；⑤当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】由抛物线的对称轴方程得到b＝﹣4a0，则可对①进行判断；由于x＝﹣3时，y＜0，则可对②进行判断；利用抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0）得a﹣b+c＝0，把b＝﹣4a代入可得c＝﹣5a，则8a+7b+2c＝﹣30a，于是可对③④进行判断；根据而此函数的性质可对⑤进行判断．
解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，所以①正确；
∵x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，
∴a+4a+c＝0，即5a+c＝0，
∴c＝﹣5a，
∴8a+7b+2c＝8a﹣28a﹣10a＝﹣30a，
而a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，所以③④正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴当x＜2时，函数值随x增大而增大，所以⑤错误．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．一元二次方程x2﹣25＝0的解为 x1＝5，x2＝﹣5 ．
【分析】先移项，再开方，即可得出答案．
解：x2﹣25＝0，
x2＝25，
开方得：x＝±5，
即x1＝5，x2＝﹣5，
故答案为：x1＝5，x2＝﹣5．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．
12．在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是 （1，﹣2） ．
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），可得答案．
解：在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是（1，﹣2），
故答案为：（1，﹣2）．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
13．设A（2，y1），B（3，y2）是抛物线y＝﹣（x+1）2+k（k是常数）上的两点，则y1 ＞ y2（填＜，＝或＞）．
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
解：∵y＝﹣（x+1）2+k，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴x＞﹣1时，y随x增大而减小，
∵﹣1＜2＜3，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
14．某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为 120（1﹣x）2＝100 ．
【分析】等量关系为：第一次降价后的价格×第二次降价占第一次降价的百分比＝100．
解：第一次降价后的价格为120×（1﹣x），那么第二次降价后的价格为120×（1﹣x）×（1﹣x），∴可列方程为120（1﹣x）2＝100．
【点评】解决本题的关键是得到相应的等量关系，注意第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上得到的．
15．一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y＝﹣，当水面离桥拱顶的高度OC是4m时，水面的宽度AB为 16 m．
【分析】根据题意，把y＝﹣4直接代入解析式即可解答．
解：根据题意B的纵坐标为﹣4，
把y＝﹣4代入y＝﹣x2，
得x＝±8，
∴A（﹣8，﹣4），B（8，﹣4），
∴AB＝16m．
即水面宽度AB为16m．
故答案为：16．
【点评】此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则BE的长是 2+2 ．
【分析】首先考虑到BE所在的三角形并不是特殊三角形，所以猜想到要求BE，可能需要构造直角三角形．由旋转的性质可知，AC＝AE，∠CAE＝60°，故△ACE是等边三角形，可证明△ABE与△CBE全等，可得到∠ABE＝45°，∠AEB＝30°，再证△AFB和△AFE是直角三角形，然后在根据勾股定理求解
解：连接CE，设BE与AC相交于点F，如图所示，
∵Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°
∴∠BCA＝∠BAC＝45°
∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转60°与Rt△ADE重合，
∴∠BAC＝∠DAE＝45°，AC＝AE
又∵旋转角为60°
∴∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴△ACE是等边三角形
∴AC＝CE＝AE＝4
在△ABE与△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE （SSS）
∴∠ABE＝∠CBE＝45°，∠CEB＝∠AEB＝30°
∴在△ABF中，∠BFA＝180°﹣45°﹣45°＝90°
∴∠AFB＝∠AFE＝90°
在Rt△ABF中，由勾股定理得，BF＝AF＝＝2
又在Rt△AFE中，∠AEF＝30°，∠AFE＝90°，可得FE＝AF＝2
∴BE＝BF+FE＝2+2
故答案为2+2
【点评】此题是旋转性质题，解决此题，关键是思路要明确：“构造”直角三角形．在熟练掌握旋转的性质的基础上，还要应用全等的判定及性质，直角三角形的判定及勾股定理的应用
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．解方程：x2﹣2x﹣15＝0．
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
解：x2﹣2x﹣15＝0，
（x+3）（x﹣5）＝0，
∴x+3＝0或x﹣5＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝5．
【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18．已知x1＝﹣1是方程x2+mx﹣5＝0的一个根，求m的值及方程的另一根x2．
【分析】将x1＝﹣1代入方程可得关于m的方程，解之求得m的值，即可还原方程，解之得出另一个根．
解：由题意得：（﹣1）2+（﹣1）×m﹣5＝0，
解得m＝﹣4；
当m＝﹣4时，方程为x2﹣4x﹣5＝0
解得：x1＝﹣1，x2＝5
所以方程的另一根x2＝5．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解的定义及解方程的能力，解题的关键是根据方程的解的定义求得m的值．
19．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，4）．
（1）请画出与△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1；
（2）若△ABC以点A为旋转中心逆时针旋转90°后得到的图形为△AB2C2（B的对应点为B2，C的对应点为C2），在网格中画出旋转后的图形；
（3）点P为x轴上一点，使PA+PB的值最小，则点P的坐标为 （2，0） ．
【分析】（1）根据中心对称图形的性质找出对应点即可求解；
（2）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解；
（3）作点A关于x轴对称点A'，连接A'B交x轴于点P，则点P即为所求，再写出点P的坐标即可．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△AB2C2即为所求；
（3）如图所示，点P即为所求，P（2，0），
故答案为：（2，0）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换、轴对称﹣最短路径问题，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键．
20．如图，平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）根据图象，写出不等式﹣x2+bx+c＞x+2的解集．
【分析】（1）根据题意得出A、B点的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数的解析式；
（2）根据图象判断即可．
解：（1）当x＝0时，y＝0+2＝2，
当y＝0时，x+2＝0，
解得x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，2），
把（﹣2，0），（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c得：，
解得，
∴抛物线的解析式是y＝﹣x2﹣x+2．
（2）观察函数图象可知当﹣2＜x＜0时y＝﹣x2﹣x+2的函数值大于y＝x+2的函数值，
∴不等式﹣x2+bx+c＞x+2的解集为：﹣2＜x＜0．
【点评】本题主要考查二次函数与不等式，待定系数法求解析式，数形结合是解题的关键．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝5，求k的值．
【分析】（1）利用判别式的意义得到Δ＝（2k﹣1）2﹣4k2＞0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2，再根据（x1﹣1）（x2﹣1）＝5得到k2﹣（2k﹣1）+1＝5，然后解关于k的方程，最后利用k的范围确定k的值．
解：（1）根据题意得Δ＝（2k﹣1）2﹣4k2＞0，
解得k＜；
（2）根据题意得x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2，
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝5，
∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝5，
即k2﹣（2k﹣1）+1＝5，
整理得k2﹣2k﹣3＝0，解得k1＝﹣1，k2＝3，
∵k＜，
∴k＝﹣1．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．
22．如图1是一张轴对称纸片，曲线部分为抛物线，尺寸如图所示
（1）试建立合适的直角坐标系，并求出抛物线的解析式．
（2）如图2在纸片中裁剪出一个正方形，试求出该正方形的边长．
【分析】（1）以AB的中点为坐标原点O，以射线OB的方向为x轴正方向，射线OC的方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，表示出A、B、C三点的坐标，由待定系数法就可以求出其解析式；
（2）正方形EFGH的边长为x，则G（，x），根据G在抛物线y＝﹣x2+8上，得出方程x＝﹣×（）2+8，解方程即可．
解：（1）如图1，以AB的中点为坐标原点O，以射线OB的方向为x轴正方向，射线OC的方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，
则A（﹣4，0），B（4，0），C（0，8），
设抛物线的解析式为y＝a（x+4）（x﹣4），
将C点坐标代入，得﹣16a＝8，
解得a＝﹣，
故抛物线的解析式为：y＝﹣（x+4）（x﹣4），化简得y＝﹣x2+8；
（2）如图2，设正方形EFGH的边长为x，则G（，x），
∵G在抛物线y＝﹣x2+8上，
∴x＝﹣×（）2+8，
∵x＞0，
∴x＝﹣4+4，
即该正方形的边长为﹣4+4．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，正方形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，建立坐标系求出二次函数的解析式是解题的关键．
23．某商店销售一种商品，每件进价为40元，对销售情况作了调查，结果发现月最大销售是y（件）与销售单价x（元）（50≤x≤90）之间的函数关系如图中的线段AB．（月最大销售量指进货量足够的情况下最多售出件数）
（1）求出y与x之间的函数表达式．
（2）该商品每月的总利润w（元），求w关于x的函数表达式，并指出销售单价x为多少元时利润w最大，该月进货数量应定为多少？
（3）若该商店进货350件，如果销售不完，就以亏本36元/件计入总利润，则销售单价定为多少，当月月利润最大？
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到y与x之间的函数表达式；
（2）根据题意，可以得到w关于x的函数表达式，并指出销售单价x为多少元时利润w最大，该月进货数量应定为多少；
（3）根据题意，可以得到利润与单价之间的函数关系式，然后即可得到销售单价定为多少，当月月利润最大．
解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
∵点（50，500），（90，100）在函数y＝kx+b上，
∴，
解得，
即y与x的函数关系式为y＝﹣10x+1000；
（2）由题意可得，
w＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10（x﹣70）2+9000，
∴当x＝70时，w取得最大值，此时﹣10x+1000＝300，
即w关于x的函数表达式是w＝﹣10（x﹣70）2+9000，销售单价x为70元时利润w最大，该月进货数量应定为300件；
（3）设销售利润为W元，
W＝（x﹣40）（﹣10x+1000）﹣36[350﹣（﹣10x+1000）]＝﹣10（x﹣52）2+10440，
∵该商店进货350件，
∴﹣10x+1000≤350，
解得x≥65，
∴当x＝65时，W取得最大值，
即销售单价定为65元时，当月月利润最大．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
24．如图1，等边△ABC中，DE∥BA分别交BC、AC于点D、E．
（1）求证：△CDE是等边三角形；
（2）将△CDE绕点C顺时针旋转θ（0°＜θ＜360°），设直线AE与直线BD相交于点F．
①如图2，当0°＜θ＜180°时，判断∠AFB的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；
②若AB＝7，CD＝3，当B，D，E三点共线时，求BD的长．
【分析】（1）先判断出∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，进而得出∠EDC＝∠ABC＝60°，∠DEC＝∠BAC＝60°，即可得出结论；
（2）①先判断出△BCD≌△ACE（SAS），得出∠CBD＝∠CAE，进而得出答案；
②Ⅰ、当B，D，E三点共线，且DE在BC上方时．过点C作CF⊥DE于F，求出，，进而求出BF＝，即可得出答案；
Ⅱ、当B，D，E三点共线，且DE在BC下方时，同Ⅰ的方法，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵DE∥BA，
∴∠EDC＝∠ABC＝60°，∠DEC＝∠BAC＝60°．
∴△CDE是等边三角形；
（2）解：①∠AFB的度数是定值，理由如下：如图2，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠CBD＝∠CAE，
又∵∠1＝∠2，
∴∠AFB＝∠ACB＝60°，
②Ⅰ、当B，D，E三点共线，且DE在BC上方时．如图3，
过点C作CF⊥DE于F，
在Rt△CDF中，CD＝3，∠CDF＝60°．
∴，；
在Rt△BCF中，，
∴；
Ⅱ、当B，D，E三点共线，且DE在BC下方时，如图4，
过点C作CF⊥DE于F，
．
，
综上所述，BD＝5或8．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线是解本题的关键．
25．已知抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点（点A在点B的左侧）．
（1）求b的值；
（2）如图，过点A的直线l：y＝﹣x﹣1与抛物线的另一个交点为C，点P为抛物线对称轴上的一点，连接PA、PC，当PA＝PC时，求点P的坐标；
（3）将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到线段MN，若抛物线y＝a（﹣x2+2x+3）（a≠0）与线段MN只有一个交点，请直接写出a的取值范围．
【分析】（1）把A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+3，解方程进而求得结果；
（2）设点P（1，m），根据PA＝PC列出方程，进一步求得结果；
（3）分为a＞0和a＜0两种情形．当a＞0时，抛物线的顶点等于5及x＝0时，y＞6，当a＜0时，将x＝4代入抛物线解析式，y的值大于等于5，从而求得结果．
解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+3，
得：b＝2．
（2）∵抛物线对称轴为：x＝＝1，
∴设P（1，m），
由﹣x2+2x+3＝﹣x﹣1得，
x3＝﹣1（舍去），x4＝4，
当x＝4时，y＝﹣4﹣1＝﹣5，
∴C（4，﹣5），
由PA2＝PC2得，
22+m2＝（4﹣1）2+（m+5）2，
∴m＝﹣3，
∴点P的坐标为（1，﹣3）；
（3）可得M（0，6），N（4，6），
当a＞0时，
∵y＝﹣a（x﹣1）2+4a，
∴抛物线的顶点为：（1，4a），
当4a＝6时，只有一个公共点，
∴a＝，
当x＝0时，y＞6，
∴3a＞6，
∴a＞2，
∴a＞2或a＝，
当a＜0时，
（﹣16+8+3）a≥6，
∴a≤﹣，
综上所述：a＞2或a＝或a≤﹣．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，掌握二次函数图象与x轴的交点与一元二次方程的关系，勾股定理，分类讨论等知识思想是解决问题的关键．