云南省昆明市嵩明县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（解析版）

这是一份云南省昆明市嵩明县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了本卷为试题卷等内容，欢迎下载使用。
（全卷三个大题，共24个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟）
注意事项：
1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效．
2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）
1. 剪纸是我国最古老的民间艺术之一，有着悠久的历史，已经在某种意义上成为了中国文化的一种象征．剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．下列剪纸作品中，是中心对称图形的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．
2. 一元二次方程化成一般形式后，二次项的系数是2，常数项是（ ）
A. 2B. 1C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】把原方程移项化为一般形式，根据一元二次方程的定义解答即可．
【详解】解：，更多优质支援请 嘉 威鑫 MXSJ663 更多优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 移项得，，
则二次项系数、常数项分别为：2、，
故选D．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且），在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项，掌握上述知识点是解题的关键．
3. 如图，把四边形绕点O顺时针旋转得到四边形，则下列角中，不是旋转角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】两对应边所组成的角都可以作为旋转角，结合图形即可得出答案．
【详解】解：A．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故A不符合题意；
B．旋转后的对应边为OD，故可以作为旋转角，故B不符合题意；
C．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故C不符合题意；
D．旋转后的对应边为不是，故不可以作为旋转角，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握对应边与旋转中心之间的夹角就是旋转角．
4. 已知一元二次方程有一个根为2，则m值为（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】把代入方程中得：，然后进行计算即可解答．
【详解】解：把代入方程中得：
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．
5. 已知⊙O的半径为3，平面内有一点到圆心O的距离为5，则此点可能在（ ）
A. ⊙O内B. ⊙O外
C. ⊙O上D. 以上都有可能
【答案】B
【解析】
【分析】根据点到圆心O的距离大于半径，可判定出点在圆外，即可得到答案．
【详解】解：∵⊙O的半径为3，平面内有一点到圆心O的距离为5，5>3，
∴此点可能在⊙O外．
故选：B
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟练掌握若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内是解题的关键．
6. 将抛物线向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线的平移规律“上加下减，左加右减”进行求解即可．
【详解】解：将抛物线向右平移4个单位长度，解析式为，
再向下平移1个单位长度，解析式为.
故选：D.
【点睛】本题考查的是二次函数图像的平移问题，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
7. 关于二次函数的图像，下列结论不正确的是（ ）
A. 抛物线与轴交于点B. 抛物线的开口向上
C. 时，随的增大而减小D. 对称轴是直线
【答案】A
【解析】
【分析】先把题目中的解析式化成一般式，再利用二次根式的性质即可判断各项．
【详解】
抛物线与轴交于点，抛物线的开口向上，对称轴是直线
时，随的增大而减小
故A选项错误，B、C、D选项正确；
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，抛物线与轴交点，熟练掌握知识点是解题的关键．
8. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠BCD=180°，求解即可．
【详解】解：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
9. 直径为分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽为分米，则积水的最大深度为（ ）
A. 2分米B. 4分米C. 6分米D. 8分米
【答案】B
【解析】
【分析】根据垂径定理得出，根据勾股定理求得，进而即可求解．
【详解】解：如图，连接，
依题意，，
∴，
∵点直径为分米，
∴，
在中，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
10. 我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽为x步，则所列的方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为步，再利用矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵矩形的宽为x步，且宽比长少12步，
∴矩形的长为步．
依题意，得：．
故选D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题关键．
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 平分弦的直径垂直于弦B. 圆的切线垂直于圆的半径
C. 三角形外心到三角形三边的距离相等D. 同弧或等弧所对的圆周角相等
【答案】D
【解析】
【分析】利用垂径定理、切线的性质、外心的性质及圆周角定理，分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径必垂直于弦，且平分弦所对的两条弧，原命题是假命题，故A错误；
B、圆的切线垂直于过切点的的半径，原命题是假命题，故B错误；
C、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原命题是假命题，故C错误；
D、同弧或等弧所对的圆周角相等，是真命题，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆有关知识，解题的关键是了解垂径定理、切线的性质、外心的性质及圆周角定理，难度不大．
12. 二次函数的图象如图所示，则下列结论：；；；中，正确的结论的个数是（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】由题意根据二次函数图象与x交点的个数来判定的符号；将时，来推知的符号；根据函数图象的开口方向、与坐标轴的交点的位置以及对称轴的位置来判定abc的符号；根据图象的对称轴来判断的正误．
【详解】解：根据二次函数的图象知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，所以；故本选项错误；
根据图示知，当时，，即；故本选项正确；
抛物线的开口向下，
；
又该抛物线与y交于正半轴，
，
而对称轴，
，
；故本选项正确；
由知，；故本选项正确；
综上所述，正确的选项有3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，熟练掌握并利用对称轴的范围求2a与b的关系以及二次函数与方程之间的转换和根的判别式的熟练运用．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
13. 抛物线的顶点坐标是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的性质求解即可．
【详解】抛物线的顶点坐标是．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确得出顶点式是解题关键．
14. 如果一元二次方程x2﹣4x+k＝0经配方后，得（x﹣2）2＝1，那么k＝__．
【答案】3
【解析】
【分析】先移项得到x2﹣4x＝﹣k，再把方程两边加上4得到（x﹣2）2＝4﹣k，从而得到4﹣k＝1，然后解关于k的方程即可．
【详解】解：x2﹣4x＝﹣k，
x2﹣4x+4＝4﹣k，
（x﹣2）2＝4﹣k，
所以4﹣k＝1，解得k＝3．
故答案为3．
【点睛】此题考查的是配方法，掌握完全平方公式是解决此题的关键．
15. 如图，在中，，，将绕点B顺时针旋转得到，则点E与点C之间的距离是________cm．
【答案】4
【解析】
【分析】根据旋转的性质得出BC＝BE，∠CBE＝60°，得出等边三角形BEC，求出EC＝BC，根据勾股定理求出BC即可．
【详解】解：连接EC，即线段EC的长是点E与点C之间的距离，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：BC＝＝4（cm），
∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△FBE，
∴BC＝BE，∠CBE＝60°，
∴△BEC是等边三角形，
∴EC＝BE＝BC＝4cm，
故答案为4．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点，能求出△BEC是等边三角形是解此题的关键．
16. 如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠BAC=25°，则∠P=_________度．
【答案】50
【解析】
【分析】首先利用切线长定理可得PA=PB，再根据∠OBA=∠BAC=25°，得出∠ABP度数，再根据三角形内角和求出．
【详解】∵PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点，
∴PA=PB，∠OBP=90°，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠BAC=25°，
∴∠ABP=90°﹣25°=65°，
∵PA=PB，
∴∠BAP=∠ABP=65°，
∴∠P=180°﹣65°﹣65°=50°，
故答案为：50．
三、解答题（本大题共8小题，共56分）
17. 用适当的方法解方程：
（1）；
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．配方法解一元二次方程的步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【小问1详解】
∴
解得，；
【小问2详解】
∴或
解得，．
18. 如图，三个顶点坐标分别为，，．
（1）请画出关于原点O成中心对称的图形，并写出点，，的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使得的值最小，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）图见解析，，，；
（2）图见解析，．
【解析】
【分析】（1）根据中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可；
（2）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，点P即为所求．
【小问1详解】
解：如图，即为所求，
，，；
【小问2详解】
解：解：作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，如图，则，
P点坐标为．
【点睛】本题考查作图-旋转变换，轴对称的性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
19. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°.
（1）画出△ABC的内切圆，圆心为O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若AB=6，AC=8，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析;(2)2.
【解析】
【分析】(1)内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,只需要作出两个角的平分线, 其交点即为圆心, 再作出圆心到一条边的距离, 即得到半径;
(2)将三角形的边进行转化,即可得到关于内切圆半径的方程.
【详解】解：（1）如图所示.⊙O为所求.

（2）设△ABC内切圆的半径为r，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，AC＝6，
∴CB＝＝10，
∴S△ABC＝AC•BA＝×8×6＝24，AB+AC+BC＝24，
∵S△ABC＝（AB+AC+BC）r，
∴r＝＝＝2．
【点睛】本题主要考查作图：画三角形的内切圆及三角形内切圆半径的计算.
20. 阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．
当y=1时，x2=1，∴x=±1；
当y=4时，x2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用_______法达到_______的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程(x2+x)2﹣4(x2+x)﹣12=0．
【答案】（1）换元，降次；（2）x1=﹣3，x2=2
【解析】
【分析】（1）本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，然后再解这个一元二次方程．
（2）利用题中给出的方法先把x2+x当成一个整体y来计算，求出y的值，再解一元二次方程．
【详解】解：（1）换元，降次
（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，
解得y1=6，y2=﹣2．
由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．
由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，
b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．
所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．
【点睛】本题应用了换元法，把关于x的方程转化为关于y的方程，这样书写简便且形象直观，并且把方程化繁为简化难为易，解起来更方便．
21. 某校为贯彻落实教育部《关于全面加强中小学生劳动教育的意见》，更好地培养学生的劳动兴趣和劳动技能，计划在校园开辟一块劳动教育基地：用32m长的篱笆围成一个矩形菜地，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）当x为何值时，围成的菜地面积为60平方米？
【答案】（1）
（2）当或时，围成菜地面积为60平方米
【解析】
【分析】（1）根据矩形面积公式，求出y关于x的函数关系式即可；
（2）将代入函数关系式，求关于x的方程即可．
【小问1详解】
解：设围成的矩形一边长为x米，则另一边长为米，面积为y平方米，根据题意得：
；
【小问2详解】
解：将代入得：
，
解得：或，
答：当或时，围成的菜地面积为60平方米．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，解一元二次方程，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式，熟练掌握解一元二次方程的一般方法．
22. 小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．经过市场调研发现，每月销售的数量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其对应关系如表：
在销售过程中销售单价不低于成本价，物价局规定每件商品的利润不得高于成本价的，
（1）请求出y关于x的函数关系式．
（2）设小明每月获得利润为w（元），求售价定为多少元/件时，每月可获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）当售价定为32元/件时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元
【解析】
【分析】此题主要考查待定系数法求一次函数解析式、根据实际问题求二次函数解析式及根据二次函数的增减性求最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
【小问1详解】
设y与x的函数关系式为，
，得，
即y与x的函数关系式为；
【小问2详解】
由题意可得，
，
∵在销售过程中销售单价不低于成本价，物价局规定每件商品的利润不得高于成本价的，
∴，，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，w取得最大值，此时．
答：当售价定为32元/件时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．
23. 如图，是的直径，是的一条弦，连接
（1）求证：
（2）连接,过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线．
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）设交于点，连接，证明 ，故可得 ，于是 ，即可得到；
（2）连接AD，解出，根据为直径得到，进而得到，即可证明，故可证明直线为的切线．
【小问1详解】
证明：设交于点，连接，
由题可知，
，，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
证明：
连接，
，
，
同理可得：,，
∵点H是CD的中点，点F是AC的中点，
，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
直线为的切线．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，直线平行的判定与性质，三角形的内角和公式，证明三角形全等以及证明平行线是解题的关键．
24. k为任意实数，已知二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，．
（1）填空：___________；（用含k的代数式表示）
（2）若，求的值；
（3）求证：．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）令，得，根据即可求解；
（2）将代入得，再1对其进行变形即可求解；
（3）根据（2）思路变形结合即可求解；
【小问1详解】
令，即，
．
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
则，
又∵，
∴．
【小问3详解】
∵
，
又，
原式
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，掌握相关知识并能依照问题对式子进行变换是解题的关键．x/（元/件）
22
25
30
35
…
y/件
280
250
200
150
…