安徽省合肥市包河区2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（解析版）

这是一份安徽省合肥市包河区2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（解析版），共26页。

第Ⅰ卷（本卷满分100分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑．
1. 已知三角形的两边分别为5和8，则此三角形的第三边可能是（ ）
A. 2B. 3C. 5D. 13
【答案】C
【解析】
【分析】先根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再求出符合条件的x的值即可．
【详解】此三角形第三边的长为x，则
8-5＜x＜8+5，即3＜x＜13，
只有选项C符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
2. 如图，在人字梯的中间一般会设计一拉杆，这样做的原理是（ ）
A. 两点之间，线段最短B. 垂线段最短
C. 两点确定一条直线D. 三角形的稳定性
【答案】D
【解析】
【分析】根据设计拉杆得到三角形，利用三角形的稳定性解答．
【详解】解：在人字梯的中间一般会设计一拉杆，得到一个三角形，这样做的原理是三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
【点睛】此题考查了三角形的稳定性，在多边形中只有三角形具有稳定性，其他图形都不具备此特点．
3. 在平面直角坐标系中，点P（2，-3）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A. （2，3）B. （2，-3）C. （-2，3）D. （-2，-3）更多优质滋元可 家 威杏 MXSJ663 【答案】A
【解析】
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质分析得出答案．
【详解】解：点P（2，-3）关于x轴对称的点的坐标是：（2，3）．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
4. 五边形的对角线的条数是（ ）
A. 2B. 3C. 5D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】利用多边形对角线条数，计算即可．
【详解】解：多边形对角线条数，
故选C．
【点睛】本题考查了多边形的对角线，关键是掌握多边形对角线条数的公式．
5. 在的正方形网格中，把3个小正方形涂上阴影，下列各图中，这三个小正方形组成的图案不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，故A不符合题意；
B．不是轴对称图形，故B符合题意；
C．是轴对称图形，故C不符合题意；
D．是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
6. 等腰三角形有一个角为，则其底角是（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】根据等边对等角，三角形内角和定理计算即可．
【详解】∵等腰三角形有一个角为，
∴底角为，
故选A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握定理和性质是解题的关键．
7. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全等三角形对应角相等可知是a、b边的夹角，可得是对应角，则，从而可得答案．
【详解】解：∵如图，两个三角形全等，
∴是对应角，则，
∵，
∴的度数是．
故选：D．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握“全等三角形的对应角相等”是解本题的关键．
8. 如图，线段与相交于点，，添加以下的一个条件仍不能判定的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定逐个判断即可．
【详解】解：A、根据，，，由可判定，故此选项不符合题意；
B、根据，，，由可判定，故此选项不符合题意；
C、由可得，根据，由可判定，故此选项不符合题意；
D、根据，，不能判定，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．注意：两个三角形只有两边及一边的对角相等不能判定两个三角形全等．
9. 尺规作图是起源于古希腊的数学课题，尺规作图中往往蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知作图得到，，，，由此根据证明．
【详解】解：由题意得，，，
在和中
∴
故选：A．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定定理：三边对应相等的两个三角形全等，以及作一个角等于已知角，正确理解题中的作图是解题的关键．
10. 如图，有三条公路两两相交，现要修建一个货栈，使它到三条公路的距离相等，则满足修建货栈条件的地点有（ ）

A. 一处B. 三处C. 四处D. 无数处
【答案】C
【解析】
【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点，把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．
【详解】解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处，
则共有四处，
故选C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质；这是一道生活联系实际的问题，解答此类题目时最直接的判断就是三角形的角平分线，很容易漏掉外角平分线，解答时一定要注意，不要漏解．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答卷指定的位置．
11. 等边三角形是一个轴对称图形，它有___________条对称轴．
【答案】3
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念识别和等边三角性质的性质回答即可．
【详解】解：∵等边三角形三条边上的高线所在直线均为对称轴，
∴等边三角形有3条对称轴．
故答案为3．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质及轴对称图形的判断，熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键．
12. 如图，在中，，是的外角，若，则的度数是______．
【答案】##60度
【解析】
【分析】根据三角形外角和定理，得到，代入计算即可．
【详解】∵，是的外角，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键．
13. 若n边形的每个内角都等于150°，则n＝_____．
【答案】12
【解析】
【分析】根据多边形的内角和定理：求解即可．
【详解】解：由题意可得：，
解得．
故多边形12边形．
故答案为12．
【点睛】主要考查了多边形的内角和定理．边形的内角和为：．此类题型直接根据内角和公式计算可得．
14. 如图，在中，，，于点D，若，则的长度为______．

【答案】6
【解析】
【分析】利用含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：6．
【点睛】本题考查含30度角的直角三角形．熟练掌握30度所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键．
15. 如图，在中，，点在上，且．则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据等边对等角及三角形外角的性质，三角形内角和列式求解即可．
【详解】设，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中：，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，根据三角形的边的关系，转化为角之间的关系，从而得出最后结论．
16. 如图，为四边形外角的平分线，平分，若，，则的度数是______．

【答案】
【解析】
【分析】由角平分线定义可得，由四边形内角和可得设，可得，，再由平角定义列式求解即可
【详解】解：四边形中，
∵，，
∴,
∵平分，平分，
∴
设，则有：
∵
∴
解得，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了多边形内角和、角平分线的定义以及三角形的定义与性质，正确理解相关性质是解题的关键．
三、解答题（共5小题，共52分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形．
17. 如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BC=BD．
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】由∠3=∠4可以得出∠ABD=∠ABC，再利用ASA就可以得出△ADB≌△ACB，就可以得出结论．
【详解】证明：∵∠ABC+∠3=180°∠ABD+∠4=180°，且∠3=∠4，
∴∠ABD=∠ABC
在△ADB和△ACB中，
，
∴△ADB≌△ACB（ASA），
∴BD=BC．
【点睛】本题考查了等角的补角相等的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
18.
（1）五边形的内角和为 ；
（2）在五边形中，五个角的度数表示如图，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据多边形的内角和公式即可求解．
（2）根据多边形的内角和为可得，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：五边形的内角和为：，
故答案为：．
【小问2详解】
依题意：
，
解得：．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
19. 已知点在线段上，且和都是等边三角形，连接，，分别交，于点，．

（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）由等边三角形的性质得，则，再由证明即可；
（2）依据证，即可得出结论．
【小问1详解】
∵和都是等边三角形
∴，，
∴
即
在和中
∴；
【小问2详解】
由（1）知
∴
又∵
∴
在和中
∴
∴
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．
20. 如图，在中，，垂直平分线交于点，交于点．

（1）若，则的度数是________；
（2）连接，若，的周长是14．
①求的周长；
②若是直线上一个动点，则的最小值是________．
【答案】（1）
（2）①22；②8
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和求出，根据，求出；
（2）①根据垂直平分线的性质得出，得出，根据，求出，根据求出结果即可；
②根据垂直平分线的性质得出，求出，根据当、A、C在同一直线上时，最小，且最小值为，求出结果即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴．
故答案为：．
【小问2详解】
解：①∵的周长是，
∴，
∵为的垂直平分线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；

②∵为的垂直平分线，
∴，
∴，
∴当、A、C在同一直线上时，最小，且最小值为，
∴的最小值为8．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质．
21. 如图在由正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点，，都是格点，用无刻度直尺，在给定的网格中完成画图．

（1）在图（1）中，另画出三角形，使（为的对应点）；
（2）在图（1）中，画出的中线；
（3）在图（2）中，画出的高，再在高上画点，使得．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析； （3）见解析．
【解析】
【分析】（1）利用轴对称作出即可；
（2）作的中点D，连接，即为所作；
（3）取格点M，连接，交于点E，则即为高，取格点N，然后连接和，则是等腰直角三角形，即．
【小问1详解】
如图，即为所作；
【小问2详解】
如上图，即为所作；
【小问3详解】
如图，和点即为所作．
【点睛】本题考查限制工具作图——轴对称，三角形的中线，高线，等腰三角形，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．
第Ⅱ卷（本卷满分50分）
四、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答卷指定的位置．
22. 如图，在中，，，，，则的度数是______．

【答案】##度
【解析】
【分析】由条件可证明，再利用外角的性质可求得，在中利用三角形内角和定理可求得．
【详解】解：，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质以及三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
23. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则底角的度数为______．
【答案】21°或59°
【解析】
【分析】分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可．
【详解】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+48°＝138°
则底角为21°；
②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，
故顶角是90°﹣48°＝42°，
底角为59°．
故答案为：21°或59°．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况．同时考查了：直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
24. 如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再沿折叠，使点落在上的点处．下列结论：①；②；②；④．其中正确结论是_______．（填序号）

【答案】①②④
【解析】
【分析】①根据正方形性质得出，，根据折叠得出垂直平分，，即可证明判定①正确；
②证明为等边三角形，得出，根据等腰三角形得出，求出，即可判断②正确；
③根据折叠得出，，根据直角三角形性质得出，即可判断③错误；
④先求出，根据直角三角形性质得出，即可判断④正确．
【详解】解：①∵四边形为正方形，
∴，，
根据折叠可知，垂直平分，，
∴，
∴，故①正确；
②∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
③根据折叠可知，，
∵，
∴为直角三角形，
∴，
∴，故③错误；
④∵，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，折叠性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
25. 如图，在中，平分交于点，平分的外角交的延长线于点，，，，则________，________．

【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】①延长线段到，使，证，进而得到结果；
②在射线上找一点，使，证，再利用三角形内角和定理的推论证出，从而得到结果．
【详解】①延长线段到，使，

，
平分，
，，
故答案为：；
②在射线上找一点，使，

平分，
，
，，
，，
，
平分，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理的应用，构造合适的全等三角形是解本题的关键．
五、解答题（共3小题，共34分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形．
26. 已知的三边长分别为，，．
（1）化简式子________．
（2）若，，．
①的取值范围是________；
②当为等腰三角形时，求，，的值．
【答案】（1）；
（2）①；②，．
【解析】
【分析】（1）利用三角形三边关系可得，，利用绝对值定义可得，，化简即可；
（2）①利用三角形的三边关系列出不等式组，求不等式组解集即可；
②根据为等腰三角形时进行分类讨论，可以得出，，三种情况，其中及两种情况不成立舍去，利用建立等量关系求解即可；
【小问1详解】
解：∵，，
∴，，
；
故答案为：
【小问2详解】
①由三边关系可知：
，解得：
∴不等式组的解集为：；
∴的取值范围是；
②∵为等腰三角形，
∴当时，即：
解得：，
此时，；
当时，即：
不成立；
当时，即：
解得：
∵
∴不成立；
∴当为等腰三角形时，，．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，绝对值化简及等腰三角形的分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系及分类讨论的数学思想是解决本题的关键．
27. 如图，在中，，，为上一点，连接．
（1）若，
①如图（1），求的度数；
②如图（2），为上一点，，交于点，交的延长线于点，求证：；
（2）如图（3），，过作于点，若，，直接用含，的式子写出的面积．
【答案】（1）①；②见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）①利用三角形内角和定理计算即可求解；
②延长到，使，连，利用证明，推出，，再证明，推出，据此计算即可得解；
（2）过点分别作的垂线，垂足分别为，求得，证明，求得，由，推出，得到，根据列式计算即可求解．
【小问1详解】
①解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
；
②证明：延长到，使，连，
与中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴
小问2详解】
解：过点分别作的垂线，垂足分别为，如图，
则，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
28. 如图，，分别为轴，轴的正半轴上的点，作关于坐标轴的对称线段和．

（1）如图（1），若，，直接写出点，的坐标；
（2）如图，是上一点，直线交于点，．
①如图（2），求证：；
②如图（3），平分交于点，交于点，若四边形的面积等于面积的一半，判断的形状，并证明你的结论．
【答案】（1），
（2）①见解析；②为等边三角形，证明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据关于坐标轴对称的点的特点求解即可；
（2）①作交轴于，首先证明出，得到，，然后根据等角对等边得到，进而求解即可；
②连接，，首先根据对称的性质和题意得到，，然后利用等腰三角形三线合一性质得到，然后证明出，得到，进而可证明出为等边三角形．
【小问1详解】
∵作关于坐标轴的对称线段和，，，
∴，，
∴，；
【小问2详解】
①作交轴于

∴
又∵，
∴
∴
∴
∵
∴，
∵
∴
∴
∴
∵
∴；
②为等边三角形，理由如下：
连接，，

由对称可知
又，
∴，
∴
又∵，
∴，
又∵，
∴
∴
又平分，
∴
又为公共边，
∴
∴
由对称知，
∴
∴为等边三角形．
【点睛】此题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．