福建省厦门市同安区2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（解析版）

这是一份福建省厦门市同安区2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（解析版），共25页。试卷主要包含了可以直接使用2B铅笔作图等内容，欢迎下载使用。

（满分150分；时长120分钟）
注意事项：1．全卷三大题，25小题，试卷共6页，另有答题卡．
2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分．
3．可以直接使用2B铅笔作图．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项符合题目要求．）
1. 第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，下列历届亚运会会徽是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 点关于轴的对称点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A更多优质滋元可 家 威杏 MXSJ663 【解析】
【分析】此题主要考查了关于轴对称点的坐标，掌握“点关于轴的对称点的坐标是”是解决问题的关键．
【详解】解：∵点关于轴的对称点的坐标是，
∴点关于轴的对称点的坐标是，
故选：A．
3. 小明用长度分别为5，，9的三根木棒首尾相接组成一个三角形，则可能的值是（ ）
A. 4B. 5C. 14D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查三角形三边关系，理解并掌握三角形三边关系：“任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边”是解决问题的关键．
【详解】解：∵5，，9的三根木棒首尾相接组成一个三角形，
∴，即，
故选：B．
4. 如图．是的中线，的面积等于2，则的面积等于（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三角形的面积、三角形的中线等知识，理解三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解决问题的关键．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
5. 一个多边形的每个外角都等于，则此多边形是（ ）
A. 五边形B. 六边形C. 七边形D. 八边形
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，掌握“多边形的外角和等于”是解决问题的关键．
【详解】解：∵多边形外角和等于，
∴，
则此多边形为八边形，
故选：D．
6. 如图，直线m∥n，∠1=70°，∠2=30°，则∠A等于（ ）
A. 30°B. 35°C. 40°D. 50°
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：已知m∥n，根据平行线的性质可得∠3＝∠1＝70°.又因∠3是△ABD的一个外角，可得∠3＝∠2＋∠A.即∠A＝∠3－∠2＝70°－30°＝40°.故答案选C.
考点：平行线的性质.
7. 如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画出射线，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】点为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，可知，，以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，可知，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
根据作图可知，，
∴是等边三角形，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查尺规作图等边三角形，理解作图过程中线段的数量关系，等边三角形的性质是解题的关键．
8. 若是轴对称图形，中线AD所在直线为其唯一一条对称轴，则下列说法正确的是（ ）
A. 的周长B. 的周长
C. 的周长D. 的周长
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，轴对称图形，解题的关键是根据题意判断出是等腰三角形．
【详解】解：由题意可得：是以和为腰的等腰三角形，且不是等边三角形，
∴，
∴的周长．
故选：B．
9. 如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，若∠BAD＝100°，则∠ACB的度数为（ ）
A. 40°B. 45°C. 60°D. 80°
【答案】A
【解析】
【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，得到AD＝AB'，依据∠BAC＝∠B'AC，∠DAE＝∠B'AE，即可得出∠CAE＝∠BAD，再根据直角三角形两锐角互余，即可得到∠ACB＝∠ACB'＝40°．
【详解】解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB'，
∴AB＝AB'，
∴∠BAC＝∠B'AC，
∵AB＝AD，
∴AD＝AB'，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE＝∠B'AE，
∴∠CAE＝∠BAD＝50°，
又∵∠AEC＝90°，
∴∠ACB＝∠ACB'＝40°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
10. 如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（ ）

A. 8.4B. 9.6C. 10D. 10.8
【答案】B
【解析】
【分析】如图所示，作点A关于的对称点，连接，，，则，,故，由此推出当、D、E三点共线时，，最小值即为的长，当最小时，即满足，故根据三角形的面积即可求得的最小值．
【详解】解：作点A关于的对称点，作点，交于点D，连接，如图：

则，
∴．
即的最小值为．
∵，，，，
∴，
∵，
∴，
即的最小值为9.6．
故选：B．
【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 如图，在建筑工地上，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是________________．
【答案】三角形的稳定性
【解析】
【分析】用木条固定长方形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
【详解】解：加上后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
12. 六边形的内角和为______．
【答案】720
【解析】
【分析】本题考查多边形的内角和，熟练掌握“多边形内角和公式：”是解决问题的关键．
【详解】解：由多边形内角和公式得：，
即该六边形的内角和是720度，
故答案为：720．
13. 如图，已知∠CAB=∠DBA，要使△ABC≌△BAD,只要增加的一个条件是_______________（只写一个）．
【答案】AC=BD(答案不唯一)
【解析】
【分析】由∠CAB=∠DBA，且AB=BA，可知需要再加一组对应边相等，或加一组对应角相等，可得出答案．
【详解】∵∠CAB=∠DBA，且AB=BA，∴可再加条件：AC=BD．
在△ABC和△BAD中，∵，∴△ABC≌△BAD（SAS）．
故答案为AC=BD（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，注意AAA和SAA是不能判定两个三角形全等的．
14. 如图，在中，，，平分线交于点D．若，则BD的长为______．

【答案】10
【解析】
【分析】本题考查含角的直角三角形，等角对等边，及角平分线的定义，根据“等角对等边”得，根据“角所对直角边是斜边的一半”得到是解决问题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故答案为：10．
15. 如图，，点B，C是射线，上的动点，的平分线和的平分线所在直线相交于点D，则的大小为______．（用含有x的式子表示）

【答案】
【解析】
【分析】本题考查三角形的外角性质、角平分线的定义，根据角平分线的定义和三角形的外角性质得到是解决问题的关键．
【详解】解：∵平分，平分，
∴，，
∵，，，
∴，
故答案为：．
16. 如图，等腰中，，于点，的平分线分别交于点，于点，为的中点，连接并延长交于点，连接，下列结论：①；②；③；④和的面积相等．其中正确的结论是______．
【答案】②③④
【解析】
【分析】利用角平分线的性质及等腰直角三角形的性质可得，进而可得，则可判断①；利用等腰三角形的判定及性质和全等三角形的判定及性质可判断②；利用全等三角形的性质及等量代换可判断③；利用等腰三角形的判定及性质可得，进而可判断④．
【详解】解：，
，
又是的角平分线，
，
又是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，故①错误；
是等腰三角形，
又为的中点，
，
又是等腰直角三角形，且，
，，
在和中，
，
，
，故②正确；
，，
，
，故③正确；
，
，且，
，
，
又是的角平分线，
，
和的面积相等，故④正确；
则正确的结论为：②③④，
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定及性质和全等三角形的判定及性质是解题的关键．
三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17. 如图，已知AC＝AD，BC＝BD，求证：∠C＝∠D．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由已知条件且AB为公共边，根据全等三角形的判定方法SSS易证得△ABC≌△ABD，即可得∠C=∠D．
【详解】证明：∵AC＝AD，BC＝BD，AB为公共边，
∴△ABC≌△ABD（SSS），
∴∠C＝∠D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定（SSS）与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定（SSS）与性质.
18. 如图，在中，是边上的高，平分，若，，求和的度数．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查与角平分线有关的三角形内角和定理问题等知识，解题的关键是由角平分线的定义求得，由高线求得．
【详解】解：∵是边上的高，
∴，
又∵，
∴
∵平分，，
∴，
∴．
19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，的三个顶点的坐标分别是，，．
（1）在图中作出关于y轴对称的．
（2）如果要使以B，C，D为顶点的三角形与全等，写出所有符合条件的点D坐标．
【答案】（1）见解析；
（2）、、．
【解析】
【分析】（1）由关于y轴对称的点的坐标的特征先确定A1，B1，C1三点的坐标，再描点，连线即可；
（2）根据全等三角形的判定可画出图形，根据图形可直接写出符合条件的点D坐标．
【小问1详解】
解：如图1，即为所求；
【小问2详解】
解：如图2所示，点D的坐标为或或；
【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定等，解题关键是牢固掌握关于坐标轴对称的点的坐标的特征并能灵活运用．
20. 如图，在四边形中，，连接．
（1）尺规作图：作的平分线交于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的基础上，若，，．求的长度．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】（1）利用基本作图的平分线即可；
（2）由等腰三角形的性质可得，，进而可得，再利用证明，由全等三角形的性质可得．
【小问1详解】
解：以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点之间距离的一半为半径画弧，交于一点，在连接点与该点所在直线，交于点，
如图，射线即为所求；
【小问2详解】
∵，平分，，
∴，，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查尺规作图——作角平分线，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，掌握基本作图的步骤作出的平分线，利用等腰三角形的性质得，是解决问题的关键．
21. 如图，在中，，，平分．
（1）求证：点D在的垂直平分线上；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】（1）根据题意和角平分线的定义，可以得到，即可得到，再根据线段垂直平分线判定，即可证明结论成立；
（2）由题意可得，再根据角所对的直角边和斜边的关系，可以得到的长，进而可得的长．
【小问1详解】
证明：∵，， 平分，
∴，，
∴，
∴，
∴点在的垂直平分线上；
【小问2详解】
解：∵，，平分，
∴，
∵，
∴，
由（1）知：，
∴．
【点睛】本题考查角平分线的定义、线段垂直平分线的判定、角所对的直角边与斜边的关系、等角对等边等知识，熟练掌握角所对的直角边等于斜边一半是解题的关键．
22. 如图，中，点D在边上，，，，．
（1）求证：；
（2）判断，，三条线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2），理由见解析
【解析】
【分析】（1）先证，再由三角形外角及角的和差关系证，再利用即可证明；
（2）利用全等三角形的性质可得，，再利用线段和差关系即可证明．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，，
∵，
∴
∴，
在与中，，
∴；
【小问2详解】
，理由如下：
∵，
∴，，
∴，
故：．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，利用三角形外角及角的和差关系证，是解本题的关键．
23. 在数学兴趣小组活动中，小艾和小凯展开了如下数学探究活动：他们将一块足够大的，含角的直角三角尺（）的顶点放置在底角为的等腰直角三角形斜边上的中点O上，其中．现将三角板绕着点O进行旋转（此时点F，G分别在，上运动）．

问题提出
探究直角三角板与三角形重叠部分的面积变化情况．
操作发现
（1）如图，在旋转过程中，当与重合时，重叠部分的面积是______；
当与垂直时，重叠部分的面积是______；
问题解决
（2）在旋转过程中，点C始终保持在直角三角板的内部，直角三角板与三角形重叠部分的面积是否保持不变？请说明理由．
【答案】（1），；（2）重叠部分的面积保持不变，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求解即可；
（2）连接，根据等腰直角三角形的性质，可证，再利用证明，可得，此时，重叠部分为四边形，可得，由此可得重叠部分的面积保持不变．
【详解】解：（1）∵为等腰直角三角形，点为的中点，
∴，平分，
则，
即：，为等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴当与重合时，此时在上，

即：重叠部分为，
∴重叠部分的面积为；
∵为等腰直角三角形，
∴当与垂直时，平分，
则，
∴，为等腰直角三角形，
则，
又∵，
∴，则
则，为等腰直角三角形，
则，
∴，则，
此时，重叠部分为四边形，
∴；
故答案为：，；
（2）重叠部分的面积保持不变，理由如下：
连接，

∵为等腰直角三角形，点为的中点，
∴，平分，
则，，
即：，等腰直角三角形，
∴
∵，则，
∴，
在与中，，
∴，
∴，
此时，重叠部分为四边形，
∴，
即：直角三角板与三角形重叠部分的面积始终保持不变．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
24. 规定：从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形的三个角分别相等，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．

示例：如图1，在中，，，，
把分割成和两个小三角形，
其中，，，．
∵，
∴，即为等腰三角形；
又∵，，，
∴与三个角分别相等；
∴为的“等角分割线”
（1）如图2，在中，为角平分线，，，求证：为的等角分割线；
（2）在中，，是的等角分割线，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）或或或
【解析】
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据“等角三角形”的定义证明即可；
（2）由题意可知为等腰三角形或者为等腰三角形，当是等腰三角形时，分为，，，三种情形；当是等腰三角形时，分为，，，三种情形，分别利用等腰三角形的性质及三角形的内角和求解即可．
【小问1详解】
证明：∵在中，，，
∴，
∵为角平分线，
∴，
∴，，
∴，
∴为等腰三角形，
又∵，，
∴，
∴，，，
∴与三个角分别相等，
∴为的等角分割线；
【小问2详解】
解：∵，是的等角分割线，
∴为等腰三角形或者为等腰三角形，
当是等腰三角形时，
①当，时，如图，

则，
∴，
；
②当，时，如图，

则，
∴，
；
③当，时，
则，
∴，故此情况不存在；
当是等腰三角形时，
④当，时，如图，

则，
由得，，
∴，
∴；
⑤当，时，如图，

则，
设，
则，
由得，
，
∴，
∴；
⑥当，时，
则，
∴，故此情况不存在；
综上所述：或或或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的分类等知识，解决问题的关键是根据等腰三角形的顶点正确分类讨论，画出图形．
25. 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点，动点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿线段向终点O运动，同时动点Q从点O出发以相同速度沿y轴正半轴运动，点P到达点O时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．

（1）当_______时，；
（2）如图2，当时，以为斜边在第一象限作等腰，求M点坐标；
（3）如图3，当时，点R是x轴负半轴上一点，且，坐标系内有一点，求t为何值时，为等腰直角三角形．
【答案】（1）2 （2）
（3）为或时，为等腰直角三角形
【解析】
【分析】（1）先由运动知，，，根据等腰直角三角形的性质即可结论；
（2）如图，过点作轴于，作轴于，先证明出，得出，，即可得出点的纵横坐标相等，用建立方程即可得出结论；
（3）利用点坐标，分三种情况讨论：①当，时，②当，时，③当，时，根据坐标列方程计算即可得出结论．
【小问1详解】
解：由运动知，，
∵，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2；
【小问2详解】
如图，过点作轴于，作轴于，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，，则，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴设，，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，则：，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
∵点，点轴负半轴上一点，且，，
则，
∴，
∵为等腰直角三角形，
①当，时，

∴点，的横坐标相等，
∴，
∴，
②当，时，
∴点在轴上，
∴，，
∴，，相互矛盾，此种情况不存在；
③当，时，则，

过点作，则，均为等腰直角三角形，
∴，即为的中点，
则，解得：，
即：为或时，为等腰直角三角形．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，图形与坐标，解本题关键是根据点的坐标及线段之间的关系建立方程，利用方程的思想和分类讨论的思想解决问题．