江西省南昌市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（解析版）

这是一份江西省南昌市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 日常生活中，我们会看到很多标志，在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念进行求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，本选项符合题意；
、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 下列计算中，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法法则、单项式乘以单项式的法则、合并同类项法则分别计算即可得到答案．
【详解】∵，
∴A式计算错误；
∵，
∴B式计算错误；
∵，
∴C式计算错误；
∵，更多优质滋元可 家 威杏 MXSJ663 ∴D式计算正确；
故选D．
3. 如图，小敏做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线，就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由“”证明，可得，可证是的角平分线，即可求解．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，
∴是角平分线，
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
4. 如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A. 1.8B. 2.2C. 3.5D. 3.8
【答案】A
【解析】
【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再根据垂线段最短求出AP的最小值，然后得到AP的取值范围，从而得解．
【详解】解：∵∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，
∴AC＝AB＝×4＝2，
∵点P是BC边上的动点，
∴2≤AP≤4，
∴AP的值不可能是1.8．
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，垂线段最短，熟记性质并求出AP的取值范围是解题的关键．
5. 如图，直线是中边的垂直平分线，点是直线上的一动点．若，，，则周长的最小值是（ ）
A. 9B. 10C. 10.5D. 11
【答案】A
【解析】
【分析】根据垂直平分线的性质，所以周长.
【详解】∵直线m是中边的垂直平分线,
∴
∴周长
∵两点之间线段最短
∴
∴的周长
∵，
∴周长最小为
故选：A
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理，以及两点之间线段最短.做本题的关键是能得出，做此类题的关键在于能根据题设中的已知条件，联系相关定理得出结论，再根据结论进行推论．
6. 如图，在等边中，点A为上一动点（不与P，Q重合），再以为边作等边，连接．有以下结论：①平分；②；③；④；⑤当时，的周长最小．其中一定正确的有（ ）
A. ①②③B. ②③④C. ③④⑤D. ②③④⑤
【答案】D
【解析】
【分析】根据点A为上一动点（不与P，Q重合），，可知与不一定相等，可判断①；证明出，可得，，即可判断出②③④，根据垂线段最短可知，当时，最小，即可判断⑤．
【详解】解：∵点A为上一动点（不与P，Q重合），，
∴与不一定相等，故①不正确；
∵和都为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴②③④都正确，
根据垂线段最短可知，当时，最小，
∴当时，的周长最小，故⑤正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质和最短路线问题，判断出是解本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 如果点P（2，b）和点Q（a, -3）关于x轴对称，则a+b的值是____.
【答案】5．
【解析】
【分析】利用关于x轴对称点的坐标特点得出a，b的值，进而得出答案．
【详解】解：∵点P（2，b）和点Q（a，-3）关于x轴对称，
∴a=2，b=3，
则a+b的值是：2+3=5．
故答案为5．
【点睛】本题考查关于x轴对称点的坐标特点，解题的关键在于熟练掌握：关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y）．
8. ______．
【答案】9
【解析】
【分析】先计算零次幂、有理数的乘方，再计算减法．
【详解】解：，
故答案为：9．
【点睛】本题考查实数的混合运算，解题的关键是掌握任何一个不等于0的数的零次幂等于1．
9. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是______．
【答案】##度
【解析】
【分析】根据等腰三角形等边对等角、三角形外角的性质以及三角形内角和定理进行求解即可．
【详解】解：设，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理等知识点，熟练掌握等腰三角形等边对等角以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解本题的关键．
10. 如图，在中，，垂直平分，垂足为，交于点，若的周长为，则的长为_________________．
【答案】
【解析】
【分析】由垂直平分，根据线段垂直平分线的性质，即可求得，又由的周长为，易得，继而求得长．
【详解】解：垂直平分，
，
的周长为，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等量代换思想的应用．
11. 如图，已知的周长是18，OB，OC分别平分和，于D，且，则的面积是__．
【答案】18
【解析】
【分析】作于E，于F，连接OA，根据角平分线的性质分别求出OE，OF，根据三角形的面积公式计算．
【详解】
解：作于E，于F，连接OA，
∵OB平分∠ABC，，，
∴ OE=OD=2，
同理，OF=OD=2，
∴


=18.
故答案为18．
【点睛】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
12. 已知点、，以点A.B.P（点P不与点O重合）为顶点的三角形与全等，则符合要求的点P坐标可以是_____________.
【答案】（0，4）或（4，0）或（4，4）．
【解析】
【分析】作出图形，根据全等三角形对应边相等解答即可．
【详解】解：如图所示，P1、P2、P3可使以A、B、P为顶点的三角形与△ABO全等，
则点P的坐标为（0，4）或（4，0）或（4，4）．
故答案为（0，4）或（4，0）或（4，4）．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质以及坐标与图形的知识，作出图形利用全等三角形的性质和数形结合的思想求解是解题的关键．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （）化简：
（）先化简，后求值：，其中．
【答案】（）；（），．
【解析】
【分析】（）去括号，合并同类项即可得到结果；
（）去括号，合并同类项，再代入求值，即可得到结果．
【详解】（）解：原式，
，
；
（）解：原式，
，
，
∵，
∴，
∴原式．
【点睛】此题考查了整式的化简及化简求值运算，熟练掌握运算法则及整体代入思想是解题的关键．
14. 如图，，，，求证．

【答案】见解析
【解析】
分析】由，推导出，而，，即可证明，得．
【详解】证明：∵，
∴．
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
【点睛】此题重点考查全等三角形判定与性质等知识，证明是解题的关键．
15. 将如图所示的长为，宽为，高为的大理石运往某地用以建设革命历史博物馆．

（1）求每块大理石的体积；（结果用科学记数法表示）
（2）如果一列火车总共运送了块大理石，共约重千克，求每块大理石约重多少千克？（结果用科学记数法表示）
【答案】（1）每块大理石的体积为
（2）每块大理石约重千克
【解析】
【分析】（1）根据长方体的体积公式列式计算即可；
（2）用总质量除以块数求出结果即可．
【小问1详解】
解：根据题意，得：
，
答：每块大理石的体积为；
小问2详解】
解：
（千克）．
答：每块大理石约重千克．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法和同底数幂除法的应用、科学记数法，解题的关键是熟练掌握同底数幂乘法和除法法则准确计算．
16. 在3×3的正方形格点图中，有格点和，且和关于某直线成轴对称，请在图中画出符合条件的．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查作图－轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质．
【详解】解：如图所示，即为所作的三角形．
17. 老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，如下所示：
（1）求所捂住的多项式；
（2）若，求所捂住多项式的值．
【答案】（1）；（2）-4
【解析】
【分析】（1）利用一个因式等于积除以另一个因式列整式除法算式，然后按照多项式除以单项式的法则进行计算；
（2）将x，y的值代入多项式求值即可．
【详解】解：（1）由题意，所捂多项式为：
当时
原式．
【点睛】本题考查单项式乘多项式、多项式除以单项式的法则，解题的关键是利用乘法与除法是互为逆运算，把乘法转化为除法解决问题，属于基础题．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．
（1）判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．
【答案】（1）△DEF是等边三角形，见解析；（2）CF=4
【解析】
【分析】（1）证明△ABD是等边三角形，可得∠ADB=60°，再由平行线的性质可得∠CED=∠EDF=∠DFE=60°，则结论得证；
（2）连接AC交BD于点O，由题意可证AC垂直平分BD，由△ABD是等边三角形，可得∠BAO=∠DAO=30°，AB=AD=12，由（1）中△EDF是等边三角形，可得EF=DE=4，可得CF的长．
【详解】解：（1）△DEF是等边三角形．
理由是：∵AB=AD，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形．
∴∠ABD=∠ADB=60°．
∵CE∥AB，
∴∠CED=∠A=60°，∠DFE=∠ABD=60°，
∴∠CED=∠ADB=∠DFE，
∴△DEF是等边三角形；
（2）连接AC交BD于点O，
∵AB=AD，CB=CD，
∴AC是BD的垂直平分线，
即AC⊥BD．
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴∠BAC=∠DAC=30°．
∵CE∥AB，
∴∠BAC=∠ACE=∠CAD=30°，
∴AE=CE=8，
∴DE=AD-AE=12-8=4．
∵△DEF是等边三角形，
∴EF=DE=4，
∴CF=CE-EF=8-4=4．
【点睛】本题考查了平行线的性质，线段垂直平分线的逆定理，等边三角形的性质和判定等知识，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．
19. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、．
（1）在平面直角坐标系中画出
，则
的面积是______；
（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为______；
（3）已知P为x轴上一点，若
的面积为1，求点P的坐标．
【答案】（1）图见解析，4
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）先在坐标系内描点A，B，C，再顺次连接即可得到三角形，再利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标关系：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案；
（3）由P为x轴正半轴上一点，面积为1，可得，从而可得答案．
【小问1详解】
解：∵、、．
∴在平面直角坐标系中画出如下；
；
故答案为：4；
【小问2详解】
解：点D与点关于y轴对称，则点D的坐标为；
故答案为：；
【小问3详解】
解：∵P为x轴上一点，的面积为1，
即，
∴，
∴，
∵，所以点的横坐标为：或，
故P点坐标为：或．
【点睛】本题考查的是坐标系内描点，网格三角形的面积计算，坐标与图形，轴对称的性质，掌握“平面直角坐标系的知识”是解本题的关键．
20. 如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，点D是BC的中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于点F．
（1）求证：△ACD≌△CBF；
（2）连结DF，求证：AB垂直平分DF；
（3）连结AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）△ACF是等腰三角形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由AAS证明△ACD≌△CBF即可；
（2）由全等三角形的性质得CD＝BF，由CD＝BD，得BF＝BD，证出∠ABC＝∠ABF，由等腰三角形的性质即可得出结论；
（3）由全等三角形的性质得AD＝CF，由垂直平分线的性质得AD＝AF，得出AF＝CF即可．
【详解】（1）证明：∵CE⊥AD，
∠BCF+∠ADC＝90°，
∵∠BCA＝90°，BF∥AC，
∴∠CBF＝180°﹣∠BCA＝90°，
∴∠BCF+∠CFB＝90°，
∴∠CFB＝∠ADC，
在△ACD和△CBF中，
，
∴△ACD≌△CBF（AAS）；
（2）证明：由（1）得：△ACD≌△CBF，
∴CD＝BF，
∵D为BC的中点，
∴CD＝BD，
∴BF＝BD，
∵∠BCA＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABF＝90°﹣∠ABC＝45°，
∴∠ABC＝∠ABF，
∵BF＝BD，
∴AB垂直平分DF；
（3）解：△ACF是等腰三角形，理由如下，如图：连接AF
由（1）得：△ACD≌△CBF，
∴AD＝CF，
由（2）得：AB垂直平分DF，
∴AD＝AF，
∴AF＝CF，
∴△ACF是等腰三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定定理是解题关键．
五、（本大题2小题，共18分）
21. 如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题：
（1）根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．
方法1：______，
方法2：______；
（2）从中你得到什么等式？______；
（3）运用你发现的结论，解决下列问题：
①已知，，求的值；
②已知，求的值．
【答案】（1），
（2）
（3）①；②－20.
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，用不同方法表示同一部分的面积是得出关系式的关键.
（1）方法1可采用两个正方形的面积和，方法2可以用大正方形的面积减去两个长方形的面积；
（2）由（1）中两种方法表示的面积是相等的，从而得出结论；
（3）①由（2）的结论，代入计算即可；
②设，，则，，求即可．
【小问1详解】
解：
方法1，阴影部分的面积是两个正方形的面积和，即，
方法2，从边长为的大正方形面积减去两个长为a，宽为b的长方形面积，即，
故答案为：，；
【小问2详解】
在（1）两种方法表示面积相等可得，，
故答案为：；
【小问3详解】
①∵，∴，
又∵，
∴；
②设，，则，，
∴原式
答：的值为．
22. 如图，中，，，点D在线段上运动（点D不与点B、C重合），连接，作，交线段于点E．

（1）当时， ， ；
（2）线段的长度为何值时，，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求的度数；若不可以，请说明理由．
【答案】（1）25，65
（2）2，理由见解析 （3）可以，或
【解析】
【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算，得到答案；
（2）当时，利用，，得到，根据，证明；
（3）分、、三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：25；65．
【小问2详解】
解：当时，，
理由：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
【小问3详解】
解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形，
①当时，，
∴；
②当时，，
∴，
此时，点D与点B重合，不合题意；
③当时，，
∴；
综上所述，当的度数为或时，的形状是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等判定方法，证明．
六、（本大题12分）
23. 对于平面直角坐标系中的线段及点Q，给出如下定义：
若点Q满足，则称点Q为线段的“中垂点”；当时，称点Q为线段的“完美中垂点”．
（1）如图1，，下列各点中，线段的中垂点是______；
，，
（2）如图2，点A为x轴正半轴上一点，若为线段的“完美中垂点”，写出线段的两个“完美中垂点”是______和______，两者的距离是______；
（3）若点A为x轴正半轴上一点，点Q为线段的“完美中垂点”，点在y轴上，在线段上方画出线段的“完美中垂点”M，请求出的长（用含m的式子表示），并求出的度数．
【答案】（1）
（2），，
（3），
【解析】
【分析】（1）由“中垂点”定义可求解；
（2）如图，当，是等边三角形时，点A和点Q是线段的“完美中垂点”；
（3）如图3中，以为边，向上作等边三角形，连接．利用全等三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
∵若点Q满足，则称点Q为线段的“中垂点”；
∴Q在的垂直平分线上，
∵线段的中垂点在的垂直平分线上，且，，
∴线段的中垂点横坐标为2，
∴符合题意，
故答案为：．
【小问2详解】
如图2，当，是等边三角形时，点A和点Q是线段的“完美中垂点”，

∴，，
，
故答案为：，，．
【小问3详解】
如图3中，以为边，向上作等边三角形，连接．

∵点Q为线段的“完美中垂点”，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．