四川省成都市青羊实验学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份四川省成都市青羊实验学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）将一元二次方程3x2﹣4＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数分别是（ ）
A．3，5B．3，﹣5C．﹣4，5D．﹣4，﹣5
2．（4分）已知＝，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）下列四组线段中，不是成比例线段的是（ ）
A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4B．a＝1，b＝，c＝，d＝2
C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10D．a＝2，b＝，c＝，d＝2
4．（4分）若一元二次方程x2+2x+a＝0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a≤1B．a≤4C．a＜1D．a≥1
5．（4分）如图，∠1＝∠2，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠D＝∠BB．∠E＝∠CC．D．
6．（4分）下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
7．（4分）如图，在正方形ABCD中，E点是对角线BD上的一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE，若∠BAE＝56°，则∠CEF的度数为（ ）更多优质滋元可 家 威杏 MXSJ663
A．30°B．79°C．22°D．81°
8．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，D为AC上一点，连接BD，且BD＝BC＝4，则DC为（ ）
A．2B．C．D．5
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）一元二次方程x2＝4x的根是 ．
10．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx﹣8＝0的一个根是2，则此方程的另一个根是 ．
11．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为2，则BC的长为 ．
12．（4分）在一个不透明的袋子里装有红球6个，黄球若干个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中黄球的个数可能是 个．
13．（4分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝ m．
三、解答题：（本大题共5个小题，共48分）
14．（12分）（1）解方程：x2﹣9＝2（x﹣3）．
（2）先化简，再求值：（﹣）÷，其中：a2+2a﹣＝0．
15．（8分）2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为 ，表中x的值为 ；
（2）该校共有500名学生，请你估计等级为B的学生人数；
（3）本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
16．（9分）如图，某小区规划在长32米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的3条小路，使其中两条与AD平行，一条与AB平行，其余部分种草，若使草坪的面积为570米2，问小路应为多宽？
17．（9分）已知四边形ABCD的一组对边AD，DC的延长线相交于点E．
（1）如图1，若∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：ED•EA＝EC•EB；
（2）如图2．若∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，CD＝5，AB＝10，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积．
18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到线段CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x轴于点E．
（1）求证：△BOC≌△CED；
（2）求直线BC的函数关系式；
（3）若点P是x轴上的一个动点，点Q是线段CB上的点（不与点B、C重合），是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的P点坐标．若不存在，请说明理由．
一、B卷填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣5x1﹣2x2的值为 ．
20．（4分）我们知道黄金比例是，利用这个比例，我们规定一种“黄金算法”即：ab＝a+b，比如12＝1+×2＝．若x （24）＝5，则x的值为 ．
21．（4分）如图，在△ABC中，AM：MD＝3：1，BD：DC＝3：4，则AE：EC＝ ．
22．（4分）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（﹣2，0），C（4，4），D（﹣2，6），点E在x轴上，满足∠BED＝∠AEC，则点E的坐标为 ．
23．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，E为BC上的一点，且BE＝2，P为AD上的一动点，过点P作PQ⊥PE，且∠PEQ＝60°，则AQ+EQ的最小值为 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
25．（10分）如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C作CH⊥BE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE，
（1）求证：CH＝BE；
（2）如图2，若点E是CD的中点，当BE＝8时，求线段GH的长；
（3）设正方形ABCD的面积为S1，四边形DEGH的面积为S2，当的值为时，求的值．
26．（12分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝6cm，BC＝8cm．动点P从点A出发，沿折线A→B→C→D以每秒2cm/s的速度向点D运动，同时动点Q从点D出发，沿折线D→O→A以每秒1cm/s的速度向点A运动，点P到达点D时，点P，Q同时停止运动．连接CP，CQ，PQ．设△CPQ的面积为y（cm2）（这里规定：线段是面积0的几何图形），点P的运动时间为x（s）．
（1）填空：OD＝ cm；
（2）当3＜x≤10时，求y与x之间的函数解析式；
（3）过D，P两点的直线把矩形ABCD的面积分成1：3两部分时，直接写出x的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．（4分）将一元二次方程3x2﹣4＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数分别是（ ）
A．3，5B．3，﹣5C．﹣4，5D．﹣4，﹣5
【分析】先把方程化为一般式为3x2﹣5x﹣4＝0，然后确定二次项系数和一次项系数．
【解答】解：方程化为一般式为3x2﹣5x﹣4＝0，
所以二次项系数、一次项系数分别是3，﹣5．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般式，要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
2．（4分）已知＝，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用合比性质解答．
【解答】解：由＝，得＝＝．
故选：D．
【点评】考查了比例的性质，此题比较简单，熟记合比性质即可解题．
3．（4分）下列四组线段中，不是成比例线段的是（ ）
A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4B．a＝1，b＝，c＝，d＝2
C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10D．a＝2，b＝，c＝，d＝2
【分析】根据各个选项中的数据可以判断哪个选项中的四条线段不成比例，本题得以解决．
【解答】解：∵，故选项A中的线段成比例；
∵，故选项B中的线段成比例；
∵，故选项C中的线段不成比例；
∵，故选项D中的线段成比例；
故选：C．
【点评】本题考查比例线段，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
4．（4分）若一元二次方程x2+2x+a＝0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a≤1B．a≤4C．a＜1D．a≥1
【分析】首先得出根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4a≥0，进一步求得不等式的解集得出答案即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2+2x+a＝0有实数根，
∴△≥0，即Δ＝4﹣4a≥0，
∴a≤1．
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
5．（4分）如图，∠1＝∠2，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠D＝∠BB．∠E＝∠CC．D．
【分析】根据∠1＝∠2，可知∠DAE＝∠BAC，因此只要再找一组角或一组对应边成比例即可．
【解答】解：A和B符合有两组角对应相等的两个三角形相似；
C、符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似；
D、对应边成比例但无法证明其夹角相等，故其不能推出两三角形相似．
故选：D．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：
①有两个对应角相等的三角形相似；
②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；
③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
6．（4分）下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；
D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题，符合题意；
故选：D．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大．
7．（4分）如图，在正方形ABCD中，E点是对角线BD上的一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE，若∠BAE＝56°，则∠CEF的度数为（ ）
A．30°B．79°C．22°D．81°
【分析】利用正方形的性质证明△ADE≌△CDE，得到∠DAE＝∠DCE，根据三角形外角定理即可解答．
【解答】解：∵正方形ABCD中，∠BAD＝∠ADF＝90°，∠BAE＝56°，
∴∠DAF＝34°，∠DFE＝56°，
∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DCE＝∠DAF＝34°，
∵∠DFE是△CEF的外角，
∴∠CEF＝∠DFE﹣∠DCE＝56°﹣34°＝22°，
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解题的关键通过证明△ADE≌△CDE得到∠DAE＝∠DCE．
8．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，D为AC上一点，连接BD，且BD＝BC＝4，则DC为（ ）
A．2B．C．D．5
【分析】如图，作BE⊥AC于E．设EC＝DE＝x，则有：BE2＝AB2﹣AE2＝BC2﹣EC2，由此构建方程求出x即可解决问题．
【解答】解：如图，作BE⊥AC于E．
∵BD＝BC，BE⊥CD，
∴EC＝DE，设EC＝DE＝x，
则有：BE2＝AB2﹣AE2＝BC2﹣EC2，
∴62﹣（6﹣x）2＝42﹣x2，
解得x＝，
∴CD＝2EC＝，
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）一元二次方程x2＝4x的根是 x1＝0，x2＝4． ．
【分析】先移项得，x2﹣4x＝0，再利用因式分解法求解．
【解答】解：移项得，x2﹣4x＝0，
∵x（x﹣4）＝0，
∴x＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝0，x2＝4．
故答案为x1＝0，x2＝4．
【点评】本题考查了利用因式分解法把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解的能力．要熟练掌握因式分解的方法．
10．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx﹣8＝0的一个根是2，则此方程的另一个根是 ﹣4 ．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：设该方程的另外一个根为x，
由根与系数的关系可知：2x＝﹣8，
∴x＝﹣4，
故答案为：﹣4
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
11．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为2，则BC的长为 2+2 ．
【分析】由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，过点D作DH⊥AB，则CD＝DH＝2，进而求解．
【解答】解：过点D作DH⊥AB，则DH＝2，
由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，
则CD＝DH＝2，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，
∴△DHB为等腰直角三角形，
∴BD＝HD＝2，
∴BC＝CD+BD＝2+2，
故答案为：2+2．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，涉及到几何作图、等腰直角三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中．
12．（4分）在一个不透明的袋子里装有红球6个，黄球若干个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中黄球的个数可能是 14 个．
【分析】设袋子中黄球的个数可能有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【解答】解：设袋子中黄球的个数可能有x个，根据题意得：
＝0.3，
解得：x＝14，
经检验x＝14是原方程的解，
答：袋子中黄球的个数可能是14个．
故答案为：14．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（4分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝ 5.5 m．
【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．
【解答】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D
∴△DEF∽△DCB
∴＝
∵DE＝40cm＝0.4m，EF＝20cm＝0.2m，AC＝1.5m，CD＝8m，
∴＝
∴BC＝4米，
∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5（米），
故答案为：5.5．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
三、解答题：（本大题共5个小题，共48分）
14．（12分）（1）解方程：x2﹣9＝2（x﹣3）．
（2）先化简，再求值：（﹣）÷，其中：a2+2a﹣＝0．
【分析】（1）先把方程化为一般式为x2﹣2x﹣3＝0，再利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可；
（2）先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再进行同分母的减法运算，则约分得到原式＝，接着把已知等式变形得到a2+2a＝，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：（1）x2﹣9＝2（x﹣3），
方程化为一般式为x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
x﹣3＝0或x+1＝0，
所以x1＝3，x2＝﹣1；
（2）原式＝[﹣]•
＝[﹣]•
＝•
＝•
＝
＝，
∵a2+2a﹣＝0，
∴a2+2a＝，
∴原式＝＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了分式的化简求值．
15．（8分）2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为 50 ，表中x的值为 8% ；
（2）该校共有500名学生，请你估计等级为B的学生人数；
（3）本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【分析】（1）用D等级人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用4除以总人数得到x的值；
（2）用500乘以B等级人数所占的百分比即可；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为8÷16%＝50（人），
所以x＝＝8%；
故答案为：50；8%；
（2）500×＝200（人），
所以估计等级为B的学生人数为200人；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了统计图．
16．（9分）如图，某小区规划在长32米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的3条小路，使其中两条与AD平行，一条与AB平行，其余部分种草，若使草坪的面积为570米2，问小路应为多宽？
【分析】设小路的宽为x米，能分别表示出三条小路的面积，从图上可以看出相加的时候重复加了2x2．可列方程求解．
【解答】解：设小路宽为x米，则小路总面积为：20x+20x+32x﹣2•x2＝32×20﹣570，
整理，得2x2﹣72x+70＝0，
x2﹣36x+35＝0，
∴（x﹣35）（x﹣1）＝0，
∴x1＝35（舍），x2＝1，
∴小路宽应为1米．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题关键是把小路的宽设出来，然后看到重复的部分再去掉得到面积．
17．（9分）已知四边形ABCD的一组对边AD，DC的延长线相交于点E．
（1）如图1，若∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：ED•EA＝EC•EB；
（2）如图2．若∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，CD＝5，AB＝10，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）只要证明△EDC∽△EBA，可得，即可证明ED•EA＝EC•EB；
（2）如图2中，过C作CF⊥AD于F，AG⊥EB于G．想办法求出EB，AG即可求出△ABE的面积，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵∠ADC＝90°，∠EDC+∠ADC＝180°，
∴∠EDC＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠EDC＝∠ABC，
∵∠E＝∠E，
∴△EDC∽△EBA，
∴＝，
∴ED•EA＝EC•EB；
（2）解：如图2中，过C作CF⊥AD于F，AG⊥EB于G．
在Rt△CDF中，∠ADC＝60°，
∴∠DCF＝30°，
∵CD＝5，
∴DF＝CD＝，
∴CF＝DF＝，
∵S△CDE＝6，
∴ED•CF＝6，
∴ED×＝6，
∴ED＝，
∴EF＝ED+DF＝+＝，
∵∠ABC＝120°，∠G＝90°，∠G+∠BAG＝∠ABC，
∴∠BAG＝30°，
在Rt△ABG中，AB＝10，
∴BG＝AB＝5，
∴AG＝BG＝5，
∵CF⊥AD，AG⊥EB，
∴∠EFC＝∠G＝90°，
∵∠E＝∠E，
∴△EFC∽△EGA，
∴＝，
∴＝
∴EG＝，
∴BE＝EG﹣BG＝﹣5＝，
∴S四边形ABCD＝S△ABE﹣S△CDE＝××5﹣6＝24﹣6＝18．
【点评】本题考查相似形综合题、相似三角形的判定和性质、直角三角形的30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到线段CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x轴于点E．
（1）求证：△BOC≌△CED；
（2）求直线BC的函数关系式；
（3）若点P是x轴上的一个动点，点Q是线段CB上的点（不与点B、C重合），是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的P点坐标．若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据旋转的性质可得CB＝CD，∠BCD＝90°，根据等角的余角相等可得，∠OBC＝∠ECD，根据AAS即可证明△BOC≌△CED；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，待定系数法即可求得解析式，设CO＝DE＝m，即可得D（m+2，m）的坐标，代入解析式即可求得m，进而求得D的坐标；
（3）设点P的坐标为（0，m），点Q的坐标为（n，﹣3n+2），分CD为边及CD为对角线两种情况考虑，利用平行四边形的对角线互相平分，根据中点坐标公式，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出点P的坐标．
【解答】（1）证明：由旋转得CB＝CD，∠BCD＝90°．
又∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC+∠OCB＝∠OCB+∠DCE＝90°．
∴∠OBC＝∠ECD，
在△OBC与△ECD中，
，
∴△BOC≌△CED（AAS），
（2）∵与x轴、y轴相交于A、B两点，
令x＝0，得y＝3，则B（0，3），
令y＝0，得x＝6，则A（6，0），
∵△BOC≌△CED，
∴CO＝DE，
设CO＝DE＝m，
∵OB＝CE＝3，
∴D（m+3，m），
∵D点在直线AB上，将D（m+3，m）代入，
即，
解得m＝1，
∴D（4，1），C（1，0），
∵B（0，3），C（1，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
将点B（0，3），C（1，0）代入得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3；
（3）设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n，﹣3n+3），分两种情况考虑：
①若CD为边时，
∵C（1，0），D（4，1），P（m，0），Q（n，﹣3n+3），
∴，解得：，
∴点P的坐标为；
②若CD为对角线，
∵C（1，0），D（4，1），P（m，0），Q（n，﹣3n+3），
∴，解得：，
∴点P的坐标为；
综上所述，或．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及平行四边形的性质，解题的关键是掌握利用全等三角形的判定定理AAS；利用一次函数图象上点的坐标特征；利用平行四边形的对角线互相平分的性质．
一、B卷填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣5x1﹣2x2的值为 ﹣7 ．
【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解，可得出﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3，再整体代入即可求出结论．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，
∴x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3，
∴x12﹣5x1﹣2x2＝x12﹣3x1﹣2（x1+x2）＝﹣1﹣2×3＝﹣7．
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，解题的关键是得到x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3．
20．（4分）我们知道黄金比例是，利用这个比例，我们规定一种“黄金算法”即：ab＝a+b，比如12＝1+×2＝．若x （24）＝5，则x的值为 ．
【分析】根据新定义得到24＝2，则x2＝x+5﹣，从而得到x+5﹣＝5，然后解一次方程即可．
【解答】解：∵24＝2+×4＝2，
∴x2＝x+×2＝x+5﹣
∴x+5﹣＝5，
∴x＝．
故答案为．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
21．（4分）如图，在△ABC中，AM：MD＝3：1，BD：DC＝3：4，则AE：EC＝ 9：7 ．
【分析】作DF∥BE交AC于F，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解：过点D作DF∥BE交AC于F，
则＝＝3，
∵BD：DC＝3：4，
∴＝，
∵DF∥BE，
∴＝＝，
∴AE：EC＝9：7，
故答案为：9：7．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
22．（4分）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（﹣2，0），C（4，4），D（﹣2，6），点E在x轴上，满足∠BED＝∠AEC，则点E的坐标为 （，0）或（16，0） ．
【分析】连接CE、DE，则DB＝6，AC＝4，AB＝6，分两种情况讨论：①当点E在线段AB上时，根据△BDE∽△CAE，即可求解，②当点E在BA延长线上时，延长CD交x轴于点E．
【解答】解：如图，连接CE、DE，
∵A （4，0），B （﹣2，0），C （4，4），D （﹣2，6），
∴DB＝6，AC＝4，AB＝6
①当点E在线段AB上时，
∵∠DBE＝∠ACE＝90°，∠BED＝∠AEC，
∴△BDE∽△CAE，
∴，
AE＝AB＝，
∴OE＝OA﹣AE＝4﹣＝；
②当点E在BA延长线上时，延长CD交x轴于点E．
此时∠BED＝∠AEC，
∵C （4，4），D （﹣2，6），
∴直线DC解析式：y＝﹣x+，
令y＝0，
则0＝﹣x+，
解得x＝16，
∴E（16，0）．
故答案为：（，0）或（16，0）．
【点评】本题考查平面直角坐标系内点的坐标特点，利用相似三角形的性质是解题的关键．
23．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，E为BC上的一点，且BE＝2，P为AD上的一动点，过点P作PQ⊥PE，且∠PEQ＝60°，则AQ+EQ的最小值为 ．
【分析】过点E作EF⊥AD于F，作∠FEM＝60°交AD的延长线于M，连接EM，QM，证明∠FMQ＝60°，推出点Q在过点M且垂直于EM的直线上运动，作点A关于直线QM的对称点N，连接EN，MN，过点E作EG⊥MN交NM的延长线于点G，此时AQ+EQ＝NE的值最小．
【解答】解：过点E作EF⊥AD于F，作∠FEM＝60°，交AD的延长线于M，连接EM，QM，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝5，∠B＝∠A＝90°，
∵EF⊥AD，
∴∠AFE＝90°，
∴四边形ABEF是矩形，
∴AB＝EF＝3，BE＝AF＝2，
∵∠FEM＝60°，∠EFD＝90°，
∴∠EMF＝30°，
∴EM＝6，
∴FM＝＝＝3，EM＝2EF，
∵∠PEQ＝60°，PQ⊥PE，
∴∠PQE＝30°，
∴EQ＝2PE，
∵＝，∠PEQ＝∠FEM＝60°，
∴∠PEF＝∠QEM，
∴△PEF∽△QEM，
∴∠PFE＝∠QME＝90°，
∵∠EMF＝30°，
∴∠FMQ＝60°，
∴点Q在过点M且垂直于EM的直线上运动，
作点A关于直线QM的对称点N，连接EN，MN，过点E作EG⊥MN交NM的延长线于点G，
∵AM＝MN＝AF+FM＝5，∠AMQ＝∠NMQ＝60°，
∴∠AMN＝120°，
∴∠AMG＝180°﹣120°＝60°，
∵∠EMF＝30°，
∴∠EMG＝30°，
∴EG＝EM＝3，MG＝＝3，
∴NG＝MG+MN＝8，
在Rt△EGN中，
EN＝＝＝，
∵AQ+EQ＝NQ+EQ≥EN，
∴当且仅当E，Q，N三点共线时AQ+EQ的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查的是矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质及最值问题，确定点Q的运动路径是解题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
【分析】设每千克降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意列出一元二次方程，解之即可得出答案．
【解答】解：设每千克降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得，
（38﹣x﹣22）（160+×120）＝3640，
整理得x2﹣12x+27＝0，
∴x＝3或x＝9．
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴x＝9，
∴售价为38﹣9＝29元/千克．
答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．（10分）如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C作CH⊥BE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE，
（1）求证：CH＝BE；
（2）如图2，若点E是CD的中点，当BE＝8时，求线段GH的长；
（3）设正方形ABCD的面积为S1，四边形DEGH的面积为S2，当的值为时，求的值．
【分析】（1）可得∠CHD＝∠BEC，根据AAS可证明△DHC≌△CEB，即可求解；
（2）由三角形全等，可得．则GC＝2GH，可求出GH的长；
（3）设S△DGH＝9a，则S△BCG＝49a，S△DCG＝21a，求出S1和S2即可得出答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝BC，∠HDC＝∠BCE＝90°，
∴∠DHC+∠DCH＝90°，
∵CH⊥BE，
∴∠EFC＝90°，
∴∠ECF+∠BEC＝90°，
∴∠CHD＝∠BEC，
∴△DHC≌△CEB（AAS），
∴CH＝BE；
（2）∵△DHC≌△CEB，
∴CH＝BE，DH＝CE，
∵CE＝DE＝CD，CD＝CB，
∴DH＝BC，
∵DH∥BC，
∴，
∴GC＝2GH，
设GH＝x，则，则CG＝2x，
∴3x＝8，
∴x＝．
即GH＝；
（3）当的值为时，则，
∵DH＝CE，DC＝BC，
∴，
∵DH∥BC，
∴，
∴，＝，
设S△DGH＝9a，则S△BCG＝49a，S△DCG＝21a，
∴S△BCD＝49a+21a＝70a，
∴S1＝2S△BCD＝140a，
∵S△DEG：S△CEG＝4：3，
∴S△DEG＝12a，
∴S2＝12a+9a＝21a．
∴．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题．
26．（12分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝6cm，BC＝8cm．动点P从点A出发，沿折线A→B→C→D以每秒2cm/s的速度向点D运动，同时动点Q从点D出发，沿折线D→O→A以每秒1cm/s的速度向点A运动，点P到达点D时，点P，Q同时停止运动．连接CP，CQ，PQ．设△CPQ的面积为y（cm2）（这里规定：线段是面积0的几何图形），点P的运动时间为x（s）．
（1）填空：OD＝ 5 cm；
（2）当3＜x≤10时，求y与x之间的函数解析式；
（3）过D，P两点的直线把矩形ABCD的面积分成1：3两部分时，直接写出x的值．
【分析】（1）由矩形的性质得OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∠ABC＝90°，再由勾股定理得BD＝AC＝10（cm），即可得出答案；
（2）①当点P在BC上，点Q在OD上，即3＜x≤5时，过Q作QH⊥BC于H，则QH∥CD，证明△BHQ∽△BCD，求出QH＝6﹣x，再由三角形面积公式即可求解；
②当点P在BC上，点Q在OA上，即5＜x≤7时，过Q作QH⊥BC于H，则QH∥AB，证△CHQ∽△CBA，求出QH＝x（cm），再由三角形面积公式即可求解；
③当点P在CD上，点Q在OA上，即7＜x≤10时，过Q作QM⊥CD于M，则QM∥AD，证明△CMQ∽△CDA，求出QM＝x（cm），再由三角形面积公式即可求解；
（3）分情况讨论：①当点P在AB上时，S△APD＝S矩形ABCD，即×8×2x＝×6×8，解得x＝；
②当点P在BC上时，S△CPD＝S矩形ABCD，即×（14﹣2x）×6＝×6×8，解得x＝5即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∠ABC＝90°，
∴BD＝AC＝＝＝10（cm），
∴OD＝BD＝5（cm），
故答案为：5；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6cm，
分情况讨论：
①当点P在BC上，点Q在OD上，即3＜x≤5时，如图1所示：
CP＝6+8﹣2x＝（14﹣2x）（cm），BQ＝（10﹣x）cm，
过Q作QH⊥BC于H，则QH∥CD，
∴△BHQ∽△BCD，
∴＝，
即＝，
解得：QH＝6﹣x，
∴△CPQ的面积为y＝CP×QH＝×（14﹣2x）×（6﹣x）＝x2﹣x+42，
即y＝x2﹣x+42；
②当点P在BC上，点Q在OA上，即5＜x≤7时，如图2所示：
CP＝6+8﹣2x＝（14﹣2x）（cm），CQ＝OC+OQ＝OD+OQ＝x（cm），
过Q作QH⊥BC于H，则QH∥AB，
∴△CHQ∽△CBA，
∴＝，
即＝，
解得：QH＝x（cm），
∴△CPQ的面积为y＝CP×QH＝×（14﹣2x）×x＝﹣x2+x，
即y＝﹣x2+x；
③当点P在CD上，点Q在OA上，即7＜x≤10时，如图3所示：
CP＝2x﹣6﹣8＝（2x﹣14）（cm），CQ＝OC+OQ＝OD+OQ＝x（cm），
过Q作QM⊥CD于M，则QM∥AD，
∴△CMQ∽△CDA，
∴＝，
即＝，
解得：QM＝x（cm），
∴△CPQ的面积为y＝CP×QM＝×（2x﹣14）×x＝x2﹣x，
即y＝x2﹣x；
综上所述，y＝x2﹣x+42（3＜x≤5）或y＝﹣x2+x（5＜x≤7）或y＝x2﹣x（7＜x≤10）；
（3）分情况讨论：
①当点P在AB上时，如图4所示：
∵过D，P两点的直线把矩形ABCD的面积分成1：3两部分，
∴S△APD＝S矩形ABCD，
即×8×2x＝×6×8，
解得：x＝；
②当点P在BC上时，如图5所示：
∵过D，P两点的直线把矩形ABCD的面积分成1：3两部分，
∴S△CPD＝S矩形ABCD，
即×（14﹣2x）×6＝×6×8，
解得：x＝5；
综上所述，x的值为或5．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、相似三角形的与性质、勾股定理、三角形面积公式以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键，注意分类讨论，属于中考常考题型．等级
时长t（单位：分钟）
人数
所占百分比
A
0≤t＜2
4
x
B
2≤t＜4
20
C
4≤t＜6
36%
D
t≥6
16%
等级
时长t（单位：分钟）
人数
所占百分比
A
0≤t＜2
4
x
B
2≤t＜4
20
C
4≤t＜6
36%
D
t≥6
16%