2024年新高考数学名校重难点练习：九种方法求圆的切点弦方程

这是一份2024年新高考数学名校重难点练习：九种方法求圆的切点弦方程，共7页。试卷主要包含了预备知识，解法等内容，欢迎下载使用。

一、预备知识
1、在标准方程下过圆上一点的切线方程为：

在一般方程 （） 下过圆上一点的切线方程为：

两相交圆 （）与 （） 的公共弦所在的直线方程为：

过圆 （）外一点作圆的切线，其切线长公式为：
过圆 （）外一点作圆的切线，切点弦AB所在直线的方程为：（在圆的标准方程下的形式） （在圆的一般方程下的形式）.
题目
已知圆外一点P（-4，-1），过点P作圆的切线PA、PB，求过切点A、B的直线方程.
三、解法
解法一：用判别式法求切线的斜率
如图示1，设要求的切线的斜率为（当切线的斜率存在时），那么过点P（-4，-1）的切线方程为：
即
由 消去并整理得
①
令 ②
解②得 或
将或分别代入①解得 、
从而可得 A(,)、B(1,-1)，
再根据两点式方程得直线AB的方程为：.
解法二：用圆心到切线的距离等于圆的半径求切线的斜率
如图示1，设要求的切线的斜率为（当切线的斜率存在时），那么过点P（-4，-1）的切线方程为：
即
由圆心C(1,2)到切线的距离等于圆的半径3，得
③
解③得 或
所以切线PA、PB的方程分别为：和
从而可得切点 A(,)、B(1,-1)，
再根据两点式方程得直线AB的方程为：.
解法三：用夹角公式求切线的斜率
如图示1，设要求的切线的斜率为，根据已知条件可得
|PC|= ，，
在中，|PA|=5，
由夹角公式，得 ④
解④得 或
所以切线PA、PB的方程分别为：和
从而可得切点 A(,)、B(1,-1)，
再根据两点式方程得直线AB的方程为：.
解法四：用定比分点坐标公式求切点弦与连心线的交点
如图示1，根据已知条件可得
|PC|= ，，
在中，|PA|=5，AHPC，从而可得
由定比分点公式，得 H(,)
又因为
再根据点斜式方程得直线AB的方程为：.
解法五：将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题之一
如图示2，因为|PA|=|PB|，所以直线AB就是经过以P为圆心|PA|为半径的圆C`与圆的交点的直线，由切线长公式得
|PA|=
所以圆C`的方程为
根据两圆的公共弦所在的直线方程，得
即 直线AB的方程为：.
解法六：将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题之二
如图示3，因为PACA，PBCB，所以P、A、C、B四点共圆，根据圆的直径式方程，以P（-4，-1）、C（1，2）为直径端点的圆的方程为
即
根据两圆的公共弦所在的直线方程，得
即 直线AB的方程为：.
解法七：运用圆的切线公式及直线方程的意义
设切点A、B的坐标分别为、，根据过圆上一点的切线方程，得切线PA、PB的方程分别为
和
因为P（-4，-1）是以上两条切线的交点，将点P的坐标代入并整理，得
⑤
由式⑤知，直线 经过两点A、B，
所以，直线AB的方程为：.
解法八：直接运用圆的切点弦方程
因为P（-4，-1）是圆外一点，根据切点弦所在直线的方程 得
整理得，直线AB的方程为：.
解法九：运用参数方程的有关知识
如图4，将圆的普通方程 化为参数方程：
（其中为参数）
设切点A的坐标为（，），由PACA得
化简，整理得
⑥
又因为

可设直线AB的方程为，将点A（，）代入并整理，得
⑦
由式⑥和⑦知，，从而得
所以，直线AB的方程为：