四川省雅安市雅安市联考2023-2024学年高三上学期期中考试数学（理）试题

这是一份四川省雅安市雅安市联考2023-2024学年高三上学期期中考试数学（理）试题，共12页。试卷主要包含了请将各题答案填写在答题卡上，本试卷主要考试内容，执行如图所示的程序框图，输出的，已知等比数列满足，则，在中，，，，点是的重心，则等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：小题（必修1，必修3，必修4，必修5，选修2-1第一章，选修2-2第一章），大题（高考范围）。
第I卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，若，则的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
2.已知，，则“”是“”的（ ）
A.充分必要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
3.已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ）
A.B.C.4D.10
4.某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，选取了人参与问卷调查，将他们的成绩进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，且成绩落在的人数为10，则（ ）
A.60B.80C.100D.120
5.执行如图所示的程序框图，输出的（ ）
A.3B.4C.5D.6
6.已知等比数列满足，则（ ）
A.1B.3C.4D.15
7.小明准备将新买的《孟子》《论语》《诗经》3本书立起来随机地放在书架上，则《论语》《诗经》两本书相邻的概率为（ ）
A.B.C.D.
8.已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则的极大值点为（ ）
A.B.C.D.
9.在中，，，，点是的重心，则（ ）
A.7B.8C.D.
10.某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过该设备过滤后排放，以减少对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量（单位：）与过滤时间（单位：）的关系为（，是正常数）.若经过过滤后减少了的污染物，在此之后为了使得污染物减少到原来的还需要的时长大约为（参考数据：）（ ）
A.B.C.D.
11.如图，扇形是某社区的一块空地平面图，点在弧上（异于，两点），，，垂足分别为，，，，米.该社区物业公司计划将四边形区域作为儿童娱乐设施建筑用地，其余的地方种植花卉，则儿童娱乐设施建筑用地面积的最大值为（ ）
A.50平方米B.平方米
C.平方米D.平方米
12.已知数列满足，，若对于任意正整数，都有，则的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
第II卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量，，若，则______.
14.若，满足约束条件则的最小值为______.
15.已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为______.
16.已知函数，若恒成立，则的取值范围是______.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：60分.
17.（12分）
已知数列的前项和为，且
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和
18.（12分）
如图，在三棱锥中，平面，，，分别为，的中点，且，，.
（1）证明：平面平面，
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
19.（12分）
为了促进消费，某商场针对会员客户推出会员积分兑换商品活动：每位会员客户可在价值80元，90元，100元的，，三种商品中选择一种使用积分进行兑换，每10积分可兑换1元.已知参加活动的甲、乙两位客户各有1000积分，且甲兑换，，三种商品的概率分别为，，，乙兑换，，三种商品的概率分别为，，，且他们兑换何种商品相互独立.
（1）求甲、乙两人兑换同一种商品的概率；
（2）记为两人兑换商品后的积分总余额，求的分布列与期望
20.（12分）
已知椭圆：的焦距为，且.
（1）求的方程；
（2）是的下顶点，过点的直线与相交于，两点，直线的斜率小于0，的重心为，为坐标原点，求直线斜率的最大值.
21.（12分）
已知函数.
（1）若曲线在处的切线经过坐标原点，求的值
（2）若方程恰有2个不同的实数根，求的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，圆的方程为.
（1）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；
（2）直线的参数方程是（为参数），与交于，两点，，求的斜率.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若的图象与轴围成的三角形面积为，求.
2024届高三数学试题参考答案（理科）
1.C 因为，，所以.
2.B 因为，所以.若，不一定等于1，故“”是“”的充分不必要条件.
3.A 因为是定义在上的奇函数，所以，解得，则.
4.C 由图可知，，解得，则成绩在的频率为0.1，由，得.
5.A 执行第一次循环，，，，
；
执行第二次循环，，，，
，此时输出.
6.B 设的公比为.因为，所以，且，解得，则.
7.C 不同的摆放方法有6种，其中《论语》《诗经》两本书不相邻的情况有2种，分别为{《论语》，《孟子》，《诗经》}，{《诗经》，《孟子》，《论语》}.故《论语》《诗经》两本书相邻的概率为.
8.D 由的图象知，当时，，则，当时，，则，当时，，则，故的单调递增区间为，单调递减区间为和，故的极大值点为.
9.D 取的中点（图略），
.
10.B 因为经过过滤后减少了的污染物，所以，解得.当时，，解得.故还需要大约93h.
11.C 由题意可得米，米，米，米，则儿童娱乐设施建筑用地面积.因为，所以，所以，所以，则儿童娱乐设施建筑用地面积的最大值为平方米.
12.C 因为，所以恒成立，即恒成立.因为，所以.因为恒成立，所以恒成立.因为，所以.当时，在上有解，故的取值范围是.
13. 因为，所以，解得.
14. 作出可行域（图略），当直线经过点时，取得最小值，且最小值为.
15. 由，得，由，得.因为在上有且仅有2个零点，所以，解得.
16. 解法一：由题知恒成立.函数与函数互为反函数，由反函数图象的性质，可得恒成立，即.令函数，则.当时，；当时，，所以在单调递增，在上单调递减.，.故的取值范围是.
解法二：由，可得，则.令函数，则.因为是增函数，所以，即.后续步骤同解法一.
17.解：（1）当时，由，得，
当时，因为，所以，
则，即，
故是以4为首项，2为公比的等比数列，
从而
（2）由（1）可知
则
则分
则
18.（1）证明：因为平面，平面，
所以
又，，所以平面
因为，分别为，的中点，所以，
则平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）解：以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.
由，，，得，
则，，，，
，，.
设平面的法向量为，
则即
令，得.
设平面的法向量为，
则即
令，得.
，
即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
19.解：（1）由题可知，甲、乙两人兑换同一种商品的概率为
（2）由题可知，兑换，，三种商品所需的积分分别为800，900，1000，
则的取值可能为0，100，200，300，400，
且，
，
，
，
，
则的分布列为
.
20.解：（1）由题可知
解得
故的方程为.
（2）设的方程为，，.
联立方程组整理得
则，得，
.
设，因为，所以，
所以
，当，即（满足）时，取得最大值，且最大值为.
21.解：（1）因为，所以
由，，得曲线在处的切线方程为.
因为该切线经过坐标原点，所以，解得.
（2）令，则.
令，则.
若，则恒成立，在上单调递增.
因为，所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则，
即方程有且仅有1个实数根，不符合题意.
若，则由，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则.
令，，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
则.
若，则恒成立，
则在上单调递增，不可能有两个零点，
即方程不可能有2个不同的实数根，不符合题意.
若，则，，显然当时，，故，.
又，所以当和时，，单调递增，
当时，，单调递减.
因为，当时，，所以，
则恰有2个零点，即方程恰有2个不同的实数根，符合题意.
若，则，，显然当时，，故，.
又，所以当和时，，单调递增，
当时，，单调递减.
因为，当时，，所以，，
则恰有2个零点，即方程恰有2个不同的实数根，符合题意.
综上所述，的取值范围为.
22.解：（1）由，，
可得圆的极坐标方程为
（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为
设，所对应的极径分别为，
将的极坐标方程代入的极坐标方程得，
所以，
，
解得，.
所以的斜率为或.
23.解：（1）若，则.
当时，由，解得，所以.
当时，，解得，所以.
当时，由，解得，所以.
综上，不等式的解集为.
（2）因为
所以的图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，
所以的面积为，
解得或（舍去）.故.
0
100
200
300
400