2023-2024学年广东省惠州市实验中学高二上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省惠州市实验中学高二上学期10月月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据复数的除法运算求得复数z，可得其共轭复数，根据模的计算可得答案.
【详解】复数，故，
所以，
故选：C
2．毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活.如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合，圆锥的高为3米，圆柱的高为2.5米，底面直径为8米，则建造该毡帐需要毛毡（ ）平方米.
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据圆柱和圆锥的侧面积求得正确答案.
【详解】圆柱的侧面积为平方米；
圆锥的母线长为，侧面积为平方米.
所以建造该毡帐需要毛毡平方米.
故选：B
3．在中，已知，D为BC中点，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】根据边长和角先求出，根据D为BC中点，可知，两边同时平方，将数带入计算结果即可.
【详解】解：因为，所以，
因为D为BC中点，所以,两边同时平方可得：
，
所以.
故选:D
4．已知组数据，，…，的平均数为2,方差为5,则数据2+1，2+1，…，2+1的平均数与方差分别为
A．=4,=10B．=5,=11
C．=5,=20D．=5,=21
【答案】C
【分析】根据题意，利用数据的平均数和方差的性质分析可得答案．
【详解】根据题意，数据，，，的平均数为2，方差为5，
则数据，，，的平均数，
其方差；
故选．
【点睛】本题考查数据的平均数、方差的计算，关键是掌握数据的平均数、方差的计算公式，属于基础题．
5．2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为，那么三人中恰有两人通过的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据积事件与和事件的概率公式可求解得到结果.
【详解】记甲、乙、丙三人通过强基计划分别为事件，显然为相互独立事件，
则“三人中恰有两人通过”相当于事件，且互斥，
所求概率.
故选：C.
6．设，向量，，，且，，则（ ）
A．B．C．4D．3
【答案】D
【分析】先根据求出，再根据求出，故可求.
【详解】因为，故，故，
因为，故，故，故，，
故，故，
故选：D.
7．在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先计算出平面的法向量，再计算出与平面所成角的正弦值，然后根据四棱锥的高为即可计算结果.
【详解】设平面的法向量为，
则，即，
令，可得，，则.
.
设与平面所成的角为：则.
故到平面的距离为，即四棱锥的高为.
故选：D.
8．为了普及党史知识，某校举行了党史知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.则甲、乙两人共答对至少3道题的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用相互独立事件、互斥事件概率公式求出，再利用利用相互独立事件、互斥事件求解作答.
【详解】依题意，，而，解得，，
设“甲同学答对了i题”，“乙同学答对了i题”，（），
则，，，，
甲、乙两人共答对至少3道题的事件，
因此，
所以甲、乙两人共答对至少3道题的概率是．
故选：C
【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.
二、多选题
9．某长方体的长、宽、高分别为4，2，1，则（ ）
A．该长方体的体积为8B．该长方体的体对角线长为
C．该长方体的表面积为24D．该长方体外接球的表面积为21π
【答案】ABD
【分析】根据长方体的结构特征，由表面积以及体积公式即可结合选项逐一求解.
【详解】该长方体的体积为4×2×1=8，体对角线长为，表面积为，
由于长方体的体对角线为其外接球的直径，所以外接球的表面积为．
故ABD正确，C错误，
故选：ABD
10．为提高生产效率，某汽车零件加工厂的甲乙两个车间进行比赛，下表是对甲乙两个车间某天生产零件个数的统计，根据表中数据分析得出的结论正确的是（ ）
A．甲、乙两车间这一天生产零件个数的平均数相同
B．甲车间这一天生产零件个数的波动比乙车间大
C．乙车间优秀的人数多于甲车间优秀的人数（这一天生产零件个数个为优秀）
D．甲车间这一天生产零件个数的众数小于乙车间零件个数的众数
【答案】ABC
【分析】根据表中的数据，对各选项依次判断即可.
【详解】对于A，甲、乙两车间这一天生产零件个数的平均数都是135，故A正确；
对于B，甲车间的方差191大于乙车间的方差110，甲车间这一天生产零件个数的波动比乙车间大，故B正确；
对于C，在平均数相同的情况下，乙的中位数大于甲的中位数，所以乙车间优秀的人数多于甲车间优秀的人数，故C正确；
对于D，根据表中数据无法判断甲乙两车间的众数的大小，故D不正确.
故选：ABC
11．不透明的袋中装有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球、2个白球，从袋中一次性取出2个球，记事件 “两球同色”，事件“两球异色”，事件 “至少有一红球”，则（ ）
A．B．
C．事件A与事件B是对立事件D．事件A与事件B是相互独立事件
【答案】BC
【分析】根据古典概型概率公式求事件和事件的概率，判断AB，根据对立事件和独立事件的定义判断CD.
【详解】随机试验从袋中一次性取出2个球的样本空间含个样本点，
随机事件包含的样本点的个数为，
所以，A错误；
随机事件包含的样本点的个数为，
所以，B正确，
事件与事件不可能同时发生，所以事件与事件为互斥事件，
又，即事件为必然事件，
所以事件A与事件B是对立事件，C正确；
随机事件包含的样本点的个数为，
所以，
随机事件为不可能事件，所以，
所以，
所以事件A与事件B不是相互独立事件，D错误，
故选：BC.
12．如图，已知正方体的棱长为1，则下列结论中正确的是（ ）

A．若E是直线AC上的动点，则平面
B．若E是直线上的动点，F是直线BD上的动点，则
C．若E是内（包括边界）的动点，则直线与平面ABC所成角的正切值的取值范围是
D．若E是平面内的动点，则三棱锥的体积为定值
【答案】ABD
【分析】对于A：连接，证明出平面平面，利用面面平行的性质即可证明；对于B：连接，证明出面，利用线面垂直的性质即可证明；对于C：判断出即为直线与平面ABC所成角，得到，求出的范围，即可求出的范围，即可判断；对于D：利用等体积法转化得到，即可求得.
【详解】对于A：连接.
在正方体中，，，
所以四边形为平行四边形，所以.
又平面,平面，所以平面.
同理可证：平面.
因为，平面,平面,
所以平面平面.
因为E是直线AC上的动点，所以平面，所以平面，故A正确；

对于B：连接.
因为为正方体，所以，
又 面面ABCD，所以.
因为面,面,，所以面.
因为E是直线上的动点，F是直线BD上的动点，所以面.
所以，故B正确；

对于C：在正方体中，面.
对于平面，为垂线，为斜线，为射影，
所以即为直线与平面ABC所成角，所以.
设，则.
因为E是内（包括边界）的动点，所以当E与O重合时，最小，
当E与B重合时，最大，
所以，故C错误；

对于D：三棱锥的体积.
由A的证明过程可知：平面平面，
所以平面内任一点到平面的距离都相等.
因为E是平面内的动点，
所以.
即三棱锥的体积为定值，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．已知正四棱台的下底面边长为4，上底面边长和侧棱长均为2，则该四棱台的体积为 ．
【答案】
【分析】根据题意先求出棱台的高，然后利用棱台体积公式可求解.
【详解】由题意作出正四棱台图像，如下图所示：
为正四棱台，
连接，得，
过作，过作，
得：，，
在直角三角形中，得，
得正四棱台的高，正四棱台上下底面积为，
所以体积
故答案为：.
14．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响，则该选手被淘汰的概率为 ．
【答案】
【分析】设事件表示“该选手能正确回答第轮的问题”，选手被淘汰，考虑对立事件，代入的值，可得结果；
【详解】记“该选手能正确回答第轮的问题”为事件，则.
该选手被淘汰的概率：

故答案为：
【点睛】求复杂互斥事件概率的两种方法：
(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；
(2)间接法：先求该事件的对立事件的概率，再由求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法．
15．如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则的长为

【答案】
【分析】由向量的线性表示，根据向量模长根式即可代入求解.
【详解】解：由条件，知，,
所以
，
所以,
故答案为：
16．某同学高考后参加国内3所名牌大学A，B，C的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3所大学A，B，C招生考试的概率分别为x，y，，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为，则该同学至少通过1所大学招生考试的概率为 ．
【答案】/
【分析】根据独立性乘法公式可得，再结合对立事件即可求解.
【详解】该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，
该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率
该同学至少通过1所大学招生考试的概率为
.
故答案为：
四、解答题
17．在中，、、分别是内角、、的对边，.
(1)求角的大小；
(2)若，，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求得，再结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用余弦定理可得出关于的等式，解出的值，再利用正弦定理可求得的值.
【详解】（1）解：，由正弦定理可知，，
，，.
（2）解：，，则由余弦定理知，
即，化简得，解得或（舍去）.
由正弦定理知，则.
五、证明题
18．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.
(1)求证：PA⊥BD；
(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；
(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【详解】试题分析：（Ⅰ）要证明线线垂直，一般转化为证明线面垂直；（Ⅱ）要证明面面垂直，一般转化为证明线面垂直、线线垂直；（Ⅲ）由即可求解.
试题解析:（I）因为，，所以平面，
又因为平面，所以.
（II）因为，为中点，所以，
由（I）知，，所以平面.
所以平面平面.
（III）因为平面，平面平面，
所以.
因为为的中点，所以，.
由（I）知，平面，所以平面.
所以三棱锥的体积.
【名师点睛】线线、线面的位置关系以及证明是高考的重点内容，而其中证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判定定理可转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，也可根据性质定理转化为证明面面垂直.
六、解答题
19．某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分布在，，，，（单位：克）中，经统计频率分布直方图如图所示．
(1)估计这组数据的平均数；
(2)某经销商来收购芒果，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该种植园中共有芒果大约10000个，经销商提出以下两种收购方案：
方案①：所有芒果以10元/千克收购；
方案②：对质量低于350克的芒果以3元/个收购，对质量高于或等于350克的芒果以5元/个收购．
请通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？
【答案】(1)387（克）
(2)方案②获利更多
【分析】（1）由频率分布直方图分析数据，直接求平均数；
（2）分别求出方案①和方案②的收入，进行比较，下结论.
【详解】（1）由频率分布直方图可得这组数据的平均数为：
（克）；
（2）方案①收入：（元）；
方案②收入：由题意得低于350克的收入：（元）；
高于或等于350克的收入：（元）．
故总计（元），由于，
故种植园选择方案②获利更多．
20．第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障．某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
(1)求的值；
(2)估计这100名候选者面试成绩的众数和第60%分位数（分位数精确到0.1）；
(3)在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．
【答案】(1)
(2)众数为，分位数为
(3)
【分析】（1）根据已知中的“频率和”求得.
（2）根据众数、百分位数的知识求得正确答案.
（3）利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案.
【详解】（1）依题意，解得.
（2）由图可知，众数为，
前两组的频率和为，前三组的频率和为，
所以分位数为.
（3）第四、第五两组的频率比为，
所以第四组抽人，记为，第五组抽人，记为.
从中抽取人，基本事件为，共10种，
选出的两人来自不同组的是，共4种，
所以选出的两人来自不同组的概率为.
21．某社区举行宪法宣传答题活动，该活动共设置三关，参加活动的选手从第一关开始依次闯关，若闯关失败或闯完三关，则闯关结束，规定每位选手只能参加一次活动．已知每位选手闯第一关成功的概率为，闯第二关成功的概率为，闯第三关成功的概率为．若闯关结束时，恰好通过两关可获得奖金300元，三关全部通过可获得奖金800元．假设选手是否通过每一关相互独立．
(1)求参加活动的选手没有获得奖金的概率；
(2)现有甲、乙两位选手参加本次活动，求两人最后所得奖金总和为1100元的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据独立事件的乘法公式，分第一关没有通过和第一关通过第二关没有通过两种情况求解即可；
（2）甲、乙两位选手有一人获得一等奖，一人获得二等奖，进而根据独立事件概率的乘法公式求解即可.
【详解】（1）解：设选手闯第一关成功为事件，闯第二关成功为事件，闯第三关成功为事件，
所以，，
设参加活动的选手没有获得奖金为事件，
所以.
（2）解：设选手闯关获得奖金300元为事件，选手闯关获得奖金800元为事件，
所以，，，
设两人最后所得奖金总和为1100元为事件，
所以，甲、乙两位选手有一人获得一等奖，一人获得二等奖，
所以
22．如图，在正三棱柱中，.
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）在线段上是否存在点？使得二面角的大小为60°，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【分析】建立空间直角坐标系，
（1）利用直线的方向向量和平面的法向量，计算出直线与平面所成角的正弦值.
（2）设出的长，得到点的坐标，通过平面与平面的法向量，结合二面角的大小为60°列方程，解方程求得的长.
【详解】如图，以中点为原点建立空间直角坐标系，
可得.
（1）所以，平面的一个法向量
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（2）假设存在满足条件的点，设，
则，设平面的法向量，
因为，，
且
所以 所以平面的一个法向量
又因为平面的一个法向量
所以，
解得，因为，此时，
所以存在点，使得二面角的大小为60°.
【点睛】本小题主要考查线面角的求法，考查根据二面角的大小求长度，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
车间
参加人数
中位数
方差
平均数
甲
55
149
191
135
乙
55
151
110
135