2023-2024学年广东省肇庆鼎湖中学高二上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省肇庆鼎湖中学高二上学期10月月考数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知向量，，则（ ）
A．B．9C．1D．3
【答案】A
【分析】先由向量的坐标运算的减法公式求，再由向量的模的公式求.
【详解】因为，，所以，
所以，
故选：A.
2．直线的倾斜角（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】确定直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系，即可求得答案.
【详解】由题意可得直线的斜率为，
直线倾斜角为，则，
故，
故选：B
3．如图：在平行六面体中，M为，的交点．若，，，则向量（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据空间向量基本定理结合平行六面体的性质求解
【详解】因为在平行六面体中，M为，的交点，，，，
所以
,
故选：B
4．下列几组空间向量中，不能作为空间向量基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可．
【详解】对于A，设，无解，即不共面，故可以作为空间向量一个基底，故A错误；
对于B，设，无解，即不共面，故可以作为空间向量一个基底，故B错误；
对于C，设，无解，即不共面，故可以作为空间向量一个基底，故C错误；
对于D，设，即，解得，
所以共面，故不可以作为空间向量一个基底，故D正确．
故选：D．
5．已知平面α内两向量，且.若为平面α的法向量，则m，n的值分别为（ ）
A．-1，2B．1，-2
C．1，2D．-1，-2
【答案】A
【分析】求出向量的坐标后，利用向量是平面的法向量，得，利用坐标运算列出方程组，求解即可.
【详解】
，
由为平面α的法向量，得,即
解得
故选：A.
6．已知长方体中，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，求出的坐标，利用得坐标，然后利用可得．
【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，
则．，

，解得，
，
，
，解得．
故选：C．
7．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点A到平面的距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，用点到平面的距离公式计算即可.
【详解】建立空间直角坐标系如图所示：
则，，，，，，设平面的法向量为，则，即，则平面的一个法向量为，
则点A到平面的距离.
故选：C
8．已知在正方体中，E，F分别为，的中点，点P在上运动，若异面直线，所成的角为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，表达出，换元后求出的最大值.
【详解】以D为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
设，则，，，
设，则，
所以．
令，则，因为，所以．
当时，；
当时，，
因为，所以当，即时，取得最大值，最大值为．
故选：B
二、多选题
9．已知，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据空间向量共线的坐标表示，以及空间向量垂直的坐标表示，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由向量，可得，
所以向量与不共线，所以A不正确；
对于B中，由向量，可得，
所以向量与不共线，所以B不正确；
对于C中，由向量，可得，
所以，所以C正确；
对于D中，由，可得，
所以向量与不垂直，所以D不正确.
故选：ABD.
10．已知分别为直线的方向向量（不重合），分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根据直线方向向量、平面法向量定义，结合向量间的位置关系判断线线、线面、面面关系即可.
【详解】A：由题设，对；
B：由题设，或，错；
C：由题设，对；
D：由题设，对.
故选：ACD
11．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）

A．B．向量与的夹角是60°
C．AC1⊥DBD．BD1与AC所成角的余弦值为
【答案】AC
【分析】选择{、、}作为一组基底，分别表示各选项中的向量，运用向量的模、向量夹角、数量积、异面直线所成角公式计算即可判断.
【详解】对于A选项，由题意可知，
则
，
∴，所以选项A正确；
对于B选项，，
所以，
，
则，
∴向量与的夹角是，所以选项B不正确；
对于C选项，，
又因为，
所以
，
∴，所以选项C正确；
对于D选项，设与所成角的平面角为，
因为，，
所以
，
，
，
∴，所以选项D不正确.
故选：AC.
12．在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ）
A．当时，的周长为定值
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
【答案】BD
【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；
对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；
对于C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数；
对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数．
【详解】
易知，点在矩形内部（含边界）．
对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误；
对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．
对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误；
对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确．
故选：BD．
【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．
三、填空题
13．已知，，则 .
【答案】24
【分析】利用向量的数量积直接求解.
【详解】因为，，
所以.
所以.
故答案为：24
14．已知，在直线l上，写出直线l的一个方向向量： ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据直线方向向量的求法求得.
【详解】由于，，
所以直线的一个方向向量.
故答案为：（答案不唯一）
15．如图，为矩形所在平面外一点，平面，若已知，则到直线的距离为 ．

【答案】/
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得到直线的距离.
【详解】由于平面，平面，
所以，而四边形是矩形，所以，
由此以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
，
所以到直线的距离为.
故答案为：

16．如图，二面角等于，A、是棱l上两点，BD、AC分别在半平面、内，，，且，则CD的长等于 .
【答案】4
【分析】根据二面角的定义，结合空间向量加法运算性质、空间向量数量积的运算性质进行求解即可.
【详解】由二面角的平面角的定义知，
∴，
由，，得，，又，
∴
，
所以，即.
故答案为：4.
四、解答题
17．已知点求：
(1)求过两点的直线的斜率；
(2)边上的高所在直线方程；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两点斜率公式求解斜率即可；
（2）根据斜率公式以及垂直关系得高所在直线斜率，即可求解.
【详解】（1）由可得；
（2）由可得，
所以边上的高所在直线的斜率为，
由点，所以边上的高所在直线方程为.
18．已知空间三点，设．
(1)求与的夹角的余弦值；
(2)若向量与互相垂直，求k的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)先求出向量，再利用空间向量的夹角公式求解即可；
(2)利用向量垂直的充要条件列出方程，解方程求出的值.
【详解】（1）因为，，
所以空间向量的夹角公式，可得，
所以与的夹角的余弦值为.
（2）由（1）可知，.
因为向量与互相垂直，所以，
所以，所以，
所以，解得.
19．如图，在直三棱柱中，，棱，点分别是的中点.

(1)求
的模；
(2)求
；
(3)求证：
.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析；
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法计算出；
（2）求出向量和的坐标，然后利用空间向量法求出的值；
（3）计算出和的坐标，利用坐标运算得出，可证明出；
【详解】（1）如图，建立以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系.

依题意得、，；
（2）依题意得、、、，
，，，，，
所以，；
（3）依题意，得、，
，，
，，即；
20．如图，在正方体中，为的中点.
(1)求直线到平面的距离；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后利用空间向量求解即可；
（2）求出平面与平面的法向量，然后利用空间向量求解即可.
【详解】（1）以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
因为∥，平面，平面，
所以∥平面，
所以直线到平面的距离等于点到平面的距离，
设正方体的棱长为2，则，
所以，
设平面的法向量为，则
，令，则，
所以直线到平面的距离为
；
（2）平面的一个法向量为，
由（1）可知平面的法向量为，
设平面与平面夹角为，则
，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
21．如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

(1)证明：；
(2)点在棱上，当二面角为时，求．
【答案】(1)证明见解析；
(2)1
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；
（2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.
【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，
，
，
又不在同一条直线上，
.
（2）设，
则，
设平面的法向量，
则，
令 ，得，
，
设平面的法向量，
则，
令 ，得，
，
，
化简可得，，
解得或，
或，
.
22．如图，在四棱锥中，四边形为菱形，且，平面为的中点，为棱上一点.
(1)求证：平面；
(2)若为的中点，，是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见详解
(2)存在，或
【分析】（1）根据底面菱形的特点得到，再由线面垂直得到，可得证；
（2）由题，建立空间直角坐标系，用向量法求解即可.
【详解】（1）如图连接，因为底面是菱形，且，
所以是等边三角形，又是的中点，
，又，，
又因为平面，面，
所以，而平面，平面，，
所以平面.
（2）由（1）知，，，两两互相垂直，如图，以点为坐标原点，
以，，分别为，，轴正半轴建立空间直角坐标，
则，，，，，
设，则，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，
可得，设直线与平面所成角为，
则，
解得或，
即存在点F，使得直线与平面所成角的正弦值为，且或．