2023-2024学年海南省川绵中学高二上学期10月第一次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年海南省川绵中学高二上学期10月第一次月考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知，若，则的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用向量数乘运算法则直接计算即可.
【详解】∵，∴.
故选：B.
【点睛】本题主要考查空间向量数乘运算，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题.
2．如图，在直三棱柱中，E为棱的中点.设，，，则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由空间向量线性运算即可求解.
【详解】由题意可得
.
故选：A.
3．已知平行四边形ABCD中，A（4，1，3），，，则顶点D的坐标为（ ）
A．B．（2，3，1）
C．D．
【答案】D
【分析】利用，代入坐标运算，即可求解.
【详解】因为四边形是平行四边形，所以，
设点，，，
所以，解得：，，，
即定点的坐标是.
故选：D
4．已知，（其中是两两垂直的单位向量），则与的数量积等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由向量是两两垂直的单位向量，得到，，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】由题意，向量是两两垂直的单位向量，
设，，则，，
所以．
故选：A.
5．若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（ ）
A．2B．4C．D．5
【答案】C
【分析】由题设知：直线的方向向量与平面的法向量垂直，即，即可求m.
【详解】由题设知：，
∴.
故选：C
6．已知空间向量、、、、，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】利用空间向量的加法和减法法则可判断各选项的正误.
【详解】对于A选项，，A选项错误；
对于B选项，，B选项错误；
对于C选项，，C选项正确；
对于D选项，，D选项错误.
故选：C.
7．点关于平面的对称点的坐标为( )
A． B． C．D．
【答案】A
【分析】根据点关于平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，而竖坐标互为相反数可得答案.
【详解】∵点关于平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，而竖坐标互为相反数，
∴点关于平面的对称点为.
故选：A.
8．已知，，且与互相垂直，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，由空间向量的坐标计算可得， ，，，2，，进而由两个向量垂直可得，解可得的值，即可得答案．
【详解】解：根据题意，向量 .，，则， ，，，2，，
若向量.与.互相垂直，则有，
解可得：；
故选：D.
二、多选题
9．以下关于向量的说法正确的有（ ）
A．若＝，则＝
B．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆
C．若＝－且＝－，则=
D．若与共线，与共线，则与共线
【答案】AC
【分析】根据向量的基本概念和性质即可逐项判断.
【详解】若＝，则和的大小相等，方向相同，故A正确；
将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个球，故B错误；
若＝－，＝－，则＝－=，故C正确；
若与共线，与共线，则当时，无法判断与的关系，故D错误.
故选：AC.
10．若(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是（ ）
A．(，3，)B． (200，，100)
C． (，，)D． (，3，0)
【答案】ABC
【分析】因为同一个平面的法向量共线，所以可利用向量共线的判定进行求解.
【详解】因为，，,,
所以与，，均共线，与不共线，
所以，，可以作为平面α的法向量
故选：ABC.
11．下列结论正确的是（ ）
A．直线的方向向量是唯一确定的.
B．平面的单位法向量是唯一确定的.
C．若两平面的法向量平行，则两平面平行.
D．若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.
【答案】CD
【分析】利用直线的方向向量、平面的单位法向量的定义可判断A，B；利用向量判定空间线面位置关系的方法可判断C，D作答.
【详解】对于A，因与直线平行的任何非零向量都是直线的方向向量，A不正确；
对于B，因与平面垂直的直线的方向向量都是平面的法向量，法向量方向不唯一，则平面的单位法向量也不唯一，B不正确；
对于C，因两平面的法向量平行，即这二平面可以垂直于同一直线，则二平面平行，C正确；
对于D，若两直线平行，则它们的方向向量平行与已知两直线的方向向量不平行矛盾，即两直线平行是错的，则两直线不平行，D正确.
故选：CD
12．在正方体中，若，，，则下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】根据空间向量基本定理，用作为一组基底表示出空间向量，即可得到.
【详解】由已知可得，不共面，则可以作为空间向量的一组基底.
对于A项，，故A项正确；
对于B项，，故B项错误；
对于C项，，故C项错误；
对于D项，，故D项正确.
故选：AD.
三、填空题
13．直线的方向向量是，平面的法向量，若直线，则 .
【答案】1
【分析】结合已知条件可得，然后利用垂直向量的数量积为0即可求解.
【详解】由题意可知，，
因为，，
从而，解得.
故答案为：1.
14．已知向量，，且，则实数 .
【答案】
【分析】利用向量平行的条件直接解出.
【详解】因为向量，，且，
所以，解得.
故答案为： .
15．已知空间向量，则 .
【答案】
【分析】由空间向量的减法法则求得向量的坐标，然后由模的定义计算．
【详解】因为，所以.
故答案为：．
16．已知空间中三点，，，则以向量、为一组邻边的平行四边形的面积为 ．
【答案】
【分析】根据空间中两点间的距离公式，判断出三角形为等边三角形即可进一步求解.
【详解】，
，
，
所以为等边三角形，
所以，
平行四边形的面积为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知向量，，，计算下列各式的值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量模的运算即可得到答案；
（2）根据空间向量的夹角运算即可得到答案．
【详解】（1）由题意，，
则．
（2）由题意，．
五、证明题
18．在正四棱柱中，，是棱 上的中点．

(1)求证：；
(2)异面直线与所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线线垂直；
（2）在第一问的基础上，利用空间向量求解异面直角的夹角余弦值．
【详解】（1）证明：以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
因为，
所以，
，
，
所以；

（2），
设异面直线与所成角的大小为，
则，
故异面直线AM与BC所成角的余弦值为．
六、解答题
19．如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，，⊥底面，且，，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面与平面的一个法向量．

【答案】答案见解析
【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，平面的法向量可直接写出，设出平面的法向量，根据垂直关系列出方程组，求出答案.
【详解】∵⊥底面，底面是直角梯形 且，
∴两两垂直．
以A点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
则，易知向量是平面的一个法向量．
设为平面的法向量，
则即，
取，则，
所以平面的一个法向量为.
20．在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：
(1)平面的一个法向量；
(2)平面的一个法向量.
【答案】(1) (答案不唯一)
(2) (答案不唯一)
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理求解法向量；
（2）利用空间向量的坐标运算求平面的法向量.
【详解】（1）
由题意，可得,
连接AC，因为底面为正方形，所以,
又因为平面，平面，所以，
且，则AC⊥平面，
∴为平面的一个法向量. (答案不唯一).
（2）
设平面的一个法向量为，
则
令，得
∴即为平面的一个法向量.(答案不唯一).
21．如图，在正方体中，棱长为2，M，N分别为，AC的中点，证明：.
【答案】证明见解析.
【分析】连接，由中位线定理即可证明.
【详解】连接,如图，
由正方体知四边形是正方形，且M是的中点，
所以，
即是的中点，
又N是AC的中点，
所以.
七、证明题
22．在正四棱柱中，，，E在线段上，且.

求证：平面DBE.
【答案】证明见解析
【分析】建立空间直角坐标系，求出，，得到，，从而证明出线面垂直.
【详解】在正四棱柱中，两两垂直，
以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，，，
，，，
于是，，即且，
而平面DBE，
所以平面DBE.