2023-2024学年河南省许昌市建安区第一高级中学高二上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河南省许昌市建安区第一高级中学高二上学期10月月考数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知平面、的法向量分别为、且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】利用两平面垂直，其法向量数量积为零列方程求解即可.
【详解】因为平面、的法向量分别为、且，
所以，即，
则，
故选：A.
2．若是平面的一个法向量，且与平面都平行，则向量等于（ ）
A．（）B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意可知，均与法向量垂直，利用空间向量垂直的坐标表示，列出方程组求解即可．
【详解】因为是平面的一个法向量，且与平面都平行，
则，即，
解得，
所以．
故选：D．
3．已知，则直线通过（ ）象限
A．第一、二、三B．第一、二、四C．第一、三、四D．第二、三、四
【答案】A
【分析】将直线化为斜截式，进而通过斜率和纵截距的范围得到直线所过的象限.
【详解】由题意，直线，因为，所以，
所以直线过第一、二、三象限.
故选：A.
4．已知直线:和:互相平行,则
A．B．C．或D．或
【答案】D
【解析】根据两条平行直线的斜率相等,且截距不等,解方程即可求得的值.
【详解】因为直线:和:互相平行
当时两条直线不平行,即
则,且
化简可得
解方程可得或
经检验或都满足题意
故选:D
【点睛】本题考查了直线平行时的斜率关系,根据平行关系求参数的值,属于基础题.
5．设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】当焦点在x轴时，
，
当焦点在y轴时，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
6．已知F1(-5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|-|PF2|=2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别为( )
A．双曲线和一条直线B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条直线D．双曲线的一支和一条射线
【答案】D
【分析】由双曲线定义结合参数a的取值分类讨论而得.
【详解】依题意得，当时，，且，点P的轨迹为双曲线的右支；当时，，故点P的轨迹为一条射线.故选D.
故选：D
7．已知为椭圆上一点，为坐标原点，，为椭圆的左右焦点，若，且，的面积为4，则该椭圆的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知条件可得为直角三角形，若设，则结合椭圆的定义和直角三角形的性质，已知条件得，，，，，从而可求出的值，进而可求出椭圆的方程
【详解】解：设，
因为，所以，所以为直角三角形，即，
因为，所以，
因为的面积为4，所以，即，
因为，所以，
由椭圆的定义可得，所以
所以解得，，所以，
所以所求椭圆方程为，
故选：A
【点睛】此题考查椭圆方程的求法，考查椭圆定义的应用，考查计算能力，属于中档题
8．若过定点且斜率为的直线与圆在第四象限有交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题可得圆交轴负半轴于，根据数形结合即得.
【详解】由圆，化简得，作出图形，
令，解得，可得圆交轴负半轴于，
则，而另一个极限位置时显然斜率为0，
所以k的取值范围是.
故选：B.
二、多选题
9．下列命题是真命题的有（ ）
A．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直
B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C．平面，的法向量分别为，，则
D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
【答案】AD
【分析】根据直线的方向向量、平面法向量的性质，结合空间向量数量积的运算性质逐一判断即可.
【详解】A：∵，，
∴，则，
∴直线与垂直，故A正确；
B：，，则，
则，∴或，故B错误；
C：∵，，∴与不共线，
∴不成立，故C错误；
D：∵点，，，
∴，.
∵向量是平面的法向量，∴，
即，解得，故D正确.
故选：AD
10．设有一组圆，则下列命题正确的是（ ）
A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上
B．所有圆均不经过点
C．存在定直线始终与圆相切
D．若，则圆上总存在两点到原点的距离为1
【答案】ABC
【分析】对于A，考查圆心的横纵坐标关系即可判断；对于B，把代入圆方程，由关于的方程根的情况作出判断；对于C，判断圆心到直线距离与半径的关系即可；对于D，圆与以原点为圆心的单位圆相交即可判断作答．
【详解】由题意可知，圆，其中圆心为，半径为；
对于A，圆心为，其圆心在直线上，故A正确；
对于B，圆，将代入圆的方程可得，化简得，，方程无解，所以圆均不经过点，故B正确；
对于C，存在直线，圆心到直线的距离为，所以存在定直线始终与圆相切，故C正确；
对于D，若圆上总存在两点到原点的距离为1，问题转化为圆与圆有两个交点，则有，解得或，所以的取值范围为，故D错误.
故选：ABC.
11．如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点A是在第一象限内的交点，若，则（ ）
A．双曲线的渐近线为B．的离心率为
C．的方程为D．的面积为
【答案】BD
【分析】设双曲线的方程为，椭圆的方程为，根据已知，结合双曲线以及椭圆的定义求出的值，即可得出A、B、C；根据余弦定理以及正余弦之间的关系求出的值，即可根据三角形的面积公式，得出答案.
【详解】设双曲线的方程为，椭圆的方程为，
则，，
所以，，，，
所以公共焦点为，，，
所以，.
由图象易知，，
根据双曲线的定义可得，，
所以，.
根据椭圆的定义可得，，
所以，，，
所以椭圆的方程为，
椭圆的离心率为，故B项正确，C项错误；
对于A项，根据双曲线的方程易知，双曲线的渐近线方程为，故A项错误；
对于D项，由余弦定理可知，.
又，所以，
所以，，故D项正确.
故选：BD.
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于的说法正确的有（ ）
A．的周长为
B．当时，中
C．当时，的面积为
D．椭圆上有且仅有6个点，使得为直角三角形
【答案】AD
【分析】根据已知求出的值，结合椭圆的定义，即可得出A项；设，根据已知列出关系式，求解得出的值，即可判断B项；根据余弦定理求出的值，即可根据面积公式得出面积；设，求出满足的点的个数，即可判断D项.
【详解】对于A项，由已知可得，，，，
所以，.
对于A项，由椭圆的定义可得，，
又，
所以，的周长为，故A项正确；
对于B项，如图1，设，由椭圆的定义可知，，
又，
所以，
即，解得，即，故B项错误；
对于C项，在中，由余弦定理可得
，
所以，，
所以，，故C项错误；
对于D项，设存在点，使得，
设，根据椭圆的定义有，
因为，所以，
即，
整理可得，解得.
如图3，当点位于短轴顶点时有，
所以，满足的点有2个；
分别过点，作轴的垂线，此时与椭圆有4个交点，
即满足以及的点有4个.
综上所述，椭圆上有且仅有6个点，使得为直角三角形，故D项正确.
故选：AD.
三、填空题
13．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为 .
【答案】
【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出平面ABC1的法向量，再由点到平面的距离公式求解即可.
【详解】以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，
所以，， ，
设平面ABC1的法向量为，则，即，
令，则，故，
所以点B1到平面ABC1的距离为.
故答案为：.
.
14．过点(1,2)可作圆的两条切线，则实数的取值范围是 ．
【答案】(3,7)
【分析】把已知圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和半径，由过点可作圆的两条切线，可得在圆外，利用到圆心的距离大于圆的半径,列出关于的不等式，同时考虑大于0 ,两不等式求出公共解集即可得到的取值范围.
【详解】把圆的方程化为标准方程得：，
∴圆心坐标为(－1,2)，半径r＝，
则点到圆心的距离d＝2，
因为点在圆外时，
过点(1,2)总可以向圆作两条切线，
∴d>r即0，解得：3