2023-2024学年黑龙江省大庆市大庆中学高二上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年黑龙江省大庆市大庆中学高二上学期10月月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，证明题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【分析】根据复数除法运算求z，然后由共轭复数的定义和减法运算可得.
【详解】因为，
所以，
可得，
则.
故选：C
2．设，向量，且，则（ ）
A．B．C．3D．
【答案】A
【分析】利用空间向量的平行、垂直以及数量积的坐标表示求解.
【详解】因为，所以，解得，所以
又因为，所以，解得，所以，
所以，则，
故选：A.
3．总体由编号为，，，，的个个体组成利用下面的随机数表选取个个体，选取方法是从随机数表第行的第列和第列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第个个体的编号为（ ）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9708 0198
3204 6234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据随机数表法的知识求得正确答案.
【详解】选取的前个个体的编号为：.
所以第个个体的编号为.
故选：A
4．我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三年级的人数比为，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级学生的人数为（ ）
A．20B．30C．40D．50
【答案】B
【分析】根据分层抽样的性质进行求解即可.
【详解】抽取的一年级学生的人数为，
故选：B
5．湘西州有甲草原：龙山县八面山空中草原，乙草原：泸溪县滨江大草原，暑假期间两草原供游客休闲旅游，记事件“只去甲草原”，事件“至少去一个草原”，事件“至多去一个草原”，事件“不去甲草原”，事件“一个草原也不去”.下列命题正确的是（ ）
A．E与G是互斥事件；B．F与I是互斥事件，且是对立事件；
C．F与G是互斥事件；D．G与I是互斥事件.
【答案】B
【分析】根据互斥事件、对立事件的定义判断即可；
【详解】依题意基本事件有“去甲草原”、“去乙草原”、 “一个草原也不去”、 “去甲、乙草原”共四个，
事件“至少去一个草原”包含“去甲草原”、“去乙草原”、 “去甲、乙草原”三个基本事件；
事件“至多去一个草原”包含“去甲草原”、“去乙草原”、 “一个草原也不去”三个基本事件；
事件“不去甲草原”包含“去乙草原”、 “一个草原也不去”两个基本事件；
对于A，事件，有可能同时发生，不是互斥事件，故A错误；
对于B，事件与不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且为对立事件，故B正确；
对于C，事件与有可能同时发生，不是互斥事件，故C错误；
对于D，事件与有可能同时发生，不是互斥事件，故D错误.
故选：B
6．已知一只口袋内装有大小相同的4只球，其中2只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球，则摸出的2只球中至少有1只是白球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】用减去没有白球的概率，求得所求概率.
【详解】依题意，摸出的2只球中至少有1只是白球的概率是.
故选：D
【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，属于基础题.
7．在东京奥运会乒乓球男子单打决赛中，中国选手马龙战胜队友樊振东，夺得冠军。乒乓球决赛采用7局4胜制.在决胜局的比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方.在平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球.若在决胜局比赛中，马龙发球时马龙得分的概率为，樊振东发球时马龙得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方平后，马龙先发球，则双方战至的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】记甲为马龙，乙为樊振东
在比分为后甲先发球的情况下，甲以赢下此局分两种情况：
①后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为：.
②后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为，，
乙以赢下此局分两种情况：
③后四球胜方依次为乙甲乙乙，概率为：
④后四球胜方依次为甲乙乙乙，概率为，
所以，所求事件概率为.
故选：A
8．某地区为了解最近11天该地区的空气质量，调查了该地区过去11天的浓度（单位：），数据依次为53，56，69，70，72，79，65，80，45，41，．已知这组数据的极差为40，则这组数据的第m百分位数为（ ）
A．71B．75.5C．79D．72
【答案】C
【分析】根据极差求得m的值，计算，根据百分位数的含义即可确定答案.
【详解】由题意得，数据的极差为40，因为数据中最小值为41，
故m应为最大值，为81，
则 ，
将数据53，56，69，70，72，79，65，80，45，41，81，
从小大大排列为：41，45， 53，56，65，69，70，72，79， 80， 81，
故这组数据的第m百分位数为79，
故选：C
二、多选题
9．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.某地8月1日到10日的PM2.5日均值（单位：）分别为36，32，38，34，32，88，42，36，30，32，则关于这10天中PM2.5日均值的说法正确的是（ ）.
A．众数为32
B．第80百分位数是38
C．平均数是40
D．前4天的方差比后4天的方差小
【答案】ACD
【分析】根据已知数据，由众数、百分数的定义判断A、B；应用均值、方差公式判断C、D.
【详解】这10天PM2.5日均值从小到大为30，32，32，32，34，36，36，38，42，88，
所以众数为32，故A正确；
由，则第80百分位数为，所以B错误；
因为平均数为，所以C正确；
因为前4天的均值为，所以前4天的方差为，
因为后4天的均值为，所以后4天的方差为，故D正确.
故选：ACD
10．已知数据的平均数为，中位数为，方差为，极差为由这数据得到新数据，其中，则所得新数据（ ）
A．平均数是3B．中位数是3C．方差是9D．极差是3
【答案】CD
【分析】根据平均数、中位数、方差和极差的定义及运算即可判断每个选项的正误．
【详解】的平均数是，中位数是，方差是，极差是．
故选：CD
11．已知不同直线a，b，不同平面α，β，γ，下列说法正确的是 （ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】BC
【分析】根据面面平行的判定以及性质可知A错误；由线面平行的判定定理可得B正确；
利用面面垂直的性质可得C正确；由面面垂直性质可得D错误．
【详解】对于A，若，此时可能相交，如下图所示：
当都与平行时，相交，故A错误；
对于B，由，利用线面平行的性质可知存在直线满足，且，
又，所以，又，所以可得，即B正确；
对于C，若，不妨设，
如下图所示：
假设不成立，
过直线上一点A作于点，作于点；
由可知，，
这与“过平面外一点有且仅有一条直线与该平面垂直”矛盾，
所以应重合为交线，所以，可得C正确；
对于D，如图所示：
若，，，此时可能斜交，不一定垂直，所以D错误；
故选：BC
12．已知正三棱锥的四个顶点在球的球面上，E，F分别是PA，AB的中点，且，与该三棱锥的四个面都相切的球记为球，则（ ）
A．三棱锥的表面积为B．球的表面积为
C．球的体积为D．球的半径为
【答案】BD
【分析】利用CE⊥EF得到正三棱锥的三条侧棱PA，PB，PC互相垂直，，根据棱锥的表面积公式计算判断A；正三棱锥的外接球的就是棱长为的正方体的外接球，求出其半径，根据球的表面积及体积公式可判断BC；利用体积法求出球的半径可判断D.
【详解】取AC的中点M，连接PM，BM，
∵PA＝PC，AB＝BC，∴AC⊥BM，AC⊥PM，
又BM∩PM＝M，BM，PM面PBM，∴AC⊥面PBM，
∵PB面PBM，∴AC⊥PB，
∵E，F分别是PA，AB的中点，∴EF∥PB，
∵EF⊥CE，∴PB⊥CE，
∵AC∩CE＝C，AC，CE面PAC，∴PB⊥面PAC，
∵PA，PC面PAC，∴PB⊥PA，PB⊥PC，
从而得到正三棱锥的三条侧棱PA，PB，PC互相垂直，
则正三棱锥中，，
三棱锥的表面积为，故A错误；
正三棱锥的外接球的就是棱长为的正方体的外接球，其半径
球的表面积为，故B正确；
球的体积，故C错误；
设球的半径为，则，
即，则，故D正确．
故选：BD．
【点睛】方法点睛：求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，外接球半径的常见求法有：
（1）若同一顶点的三条棱两两垂直，则（为三条棱的长）；
（2）若面，，则（为外接圆半径）；
（3）可以转化为长方体的外接球；
（4）特殊几何体可以直接找出球心和半径．
三、填空题
13．设复数满足，则 ．
【答案】
【分析】设，，根据复数代数形式的加法运算法则及复数相等的充要条件得到方程，求出、的值，从而求出其模.
【详解】设，，则，
所以，又，
所以，解得，所以，则.
故答案为：
14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，，则 ．
【答案】
【分析】由已知利用三角形内角和定理可求A，根据正弦定理即可求的值．
【详解】在中，因为，，，则，
由正弦定理，可得：．
故答案为：．
15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则中线AD的长为 .
【答案】
【分析】在和中利用余弦定理建立方程求解即可.
【详解】如图，由余弦定理得，
，又，
两式相加得，即，化简得，
所以.

故答案为：
16．我市某高中高一（6）班有男生36人，女生18人，男生的平均身高为，方差为41；女生的平均身高为，方差为38．则该班所有学生身高的方差为 ．
【答案】58
【分析】运用样本方差公式进行求解即可.
【详解】设所有学生身高的平均数为，方差为，
因为高中高一（6）班有男生36人，女生18人，男生的平均身高为；女生的平均身高为，
所以，
因此，
故答案为：
四、问答题
17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且
(1)求C;
(2)若c=，△ABC的面积为 求△ABC的周长.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换求得以及的值；
（2）由三角形的面积公式和余弦定理，即可求出的周长.
【详解】（1）中，，
由正弦定理可得：，
即，
又，
，求得；
（2）由的面积为，
即，
由，利用余弦定理，可得，
即，
即的周长为．
五、证明题
18．如图，在正方体中，点E，F分别是棱，的中点．

(1)求证：平面；
(2)求异面直线与AF所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）根据正方体的几何性质以及平行四边形的几何性质，可得线线平行，结合线面平行的判定定理，可得答案；
（2）根据异面直线夹角的定义，结合余弦定理，可得答案.
【详解】（1）证明：取的中点为G，连接BG，FG，

∵F为的中点，∴且，而且，
∴且，∴四边形ABGF为平行四边形，∴，
又∵且，∴四边形为平行四边形，∴，∴，
∵面，面，∴平面；
（2）取中点为O，连接，，

∵O，G分别为，的中点，∴，
由（1）知，为异面直线AF与所成的角或其补角，
设正方体的边长为，则，，，
，
∴异面直线AF与所成角的余弦值为．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD的平行四边形，∠ADC=60°，，PA⊥面ABCD，E为PD的中点.

(1)求证：AB⊥PC；
(2)若，求三棱锥P﹣AEC的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）推导出AB⊥PA，AB⊥AC，从而AB⊥平面PAC，由此能证明AB⊥PC.
（2）推导出PA⊥面ABCD，由，能求出三棱锥P﹣AEC的体积.
【详解】（1）由题意，
∵PA⊥面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴AB⊥PA，
∵∠ABC=∠ADC=60°，，
在△ABC中，由余弦定理有：
∴AB2+AC2=BC2，
即：AB⊥AC，
∵PA∩AC=A，又PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，
∴AB⊥平面PAC，
∵PC⊂平面PAC，
∴AB⊥PC.
（2）由题意及（1）得，，
所以PA=AB=2，AD=4，因为PA⊥面ABCD
且E为PD的中点，所以E点到平面ADC的距离为，
所以三棱锥P﹣AEC的体积：

六、解答题
20．某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，且是否加工出精品均互不影响．已知师傅加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为.
(1)求徒弟加工2个零件都是精品的概率；
(2)求徒弟加工该零件的精品多于师傅的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意结合独立事件概率乘法公式运算求解；
（2）分“加工两个都是精品”和“加工零件只有一个精品”两种情况，结合独立事件概率方法公式运算求解.
【详解】（1）设徒弟加工一个零件是精品的事件为A，师傅加工一个零件是精品的事件为B，则，
由题知，
可得，且，所以，
所以徒弟加工2个零件都是精品的概率为.
（2）由题意可得：①当徒弟加工两个都是精品，而师傅加工的零件精品数小于2时，概率为；
②当徒弟加工零件只有一个精品，而师傅加工的零件都不是精品时，概率为；
由①②得所求概率为.
21．年入冬以来，为进一步做好疫情防控工作，避免疫情的再度爆发，地区规定居民出行或者出席公共场合均需佩戴口罩，现将地区个居民一周的口罩使用个数统计如下表所示，其中每周的口罩使用个数在以上（含）的有人．
(1)求的值，根据表中数据，完善上面的频率分布直方图；（只画图，不要过程）
(2)根据频率分布直方图估计地区居民一周口罩使用个数的分位数和中位数；（四舍五入，精确到）
(3)根据频率分布直方图估计地区居民一周口罩使用个数的平均数以及方差．（每组数据用每组中点值代替）
【答案】(1)，；频率分布直方图见解析
(2)分位数为个，中位数为个
(3)平均数为个，方差为．
【分析】（1）根据频数与频率关系可构造方程求得，由此可补全频率分布直方图；
（2）由频率分布直方图估计百分位数和中位数的方法直接求解即可；
（3）由频率分布直方图估计平均数和方差的方法直接求解即可.
【详解】（1）由每周的口罩使用个数在以上（含）的有人得：，解得：，
，
则频率分布直方图如下：

（2），，
分位数位于，设其为，
则，解得：，即估计分位数为个；
，，
中位数位于，设其为，
则，解得：，即估计中位数为个.
（3）由频率分布直方图得一周内使用口罩的平均数为：（个），
方差为，
则所求平均数估计为个，方差估计为．
22．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门APP.某市宣传部门为了解全民利用“学习强国”了解国家动态的情况，从全市抽取4000名人员进行调查，统计他们每周利用“学习强国”的时长，绘制如图所示的频率分布直方图（每周利用“学习强国”的时长均分布在）.

(1)求实数a的值，并求所有被抽查人员利用“学习强国”的平均时长（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
(2)宣传部为了了解大家利用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从和组中抽取50人了解情况，则两组各抽取多少人？再利用分层抽样从抽取的50人中选5人参加一个座谈会，现从参加座谈会的5人中随机抽取2人发言，求组中恰好有1人发言的概率.
【答案】(1)0.075，6.8
(2)30人，20人；
【分析】（1）根据频率分布直方图性质即利用各组频率之和为1即可求得a的值；根据平均数的计算方法即可求得平均时长；
（2）根据分层抽样即按比例抽样即可求得两组各抽取多少人，继而求得从参加座谈会的5人中随机抽取2人各组抽取的人数，根据古典概型的概率公式即可求得答案.
【详解】（1）根据频率分布直方图性质可得，
解得；
根据频率分布直方图可得所有被抽查人员利用“学习强国”的平均时长为：
.
（2）由题意得组的人数为，组的人数为，
这两组的人数之比为，
故组抽取的人数为；组抽取的人数为；
利用分层抽样从抽取的50人中选5人参加一个座谈会，
则组抽取的人数为；组抽取的人数为，
从参加座谈会的5人中随机抽取2人发言，共有种抽取方法，
组中恰好有1人发言的抽取方法有,
故组中恰好有1人发言的概率为.
口罩使用数量
频率