2023-2024学年黑龙江省牡丹江市第二高级中学高二上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年黑龙江省牡丹江市第二高级中学高二上学期10月月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由直线的斜率与倾斜角的关系即可求出倾斜角.
【详解】由得斜率，
故选：B.
2．若两条直线与平行，则与间的距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】通过平行的条件求出 , 然后利用平行线直接的距离公式求解即可.
【详解】两条直线 与 : 平行, 可得 , 则 与 间的距离是: .
故选: C.
3．设椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于两点，则的值是
A．2B．C．4D．
【答案】C
【详解】分析：设椭圆的右焦点为连接则四边形是平行四边形，根据椭圆的定义得到=2a得解.
详解：设椭圆的右焦点为连接
因为OA=OB,OF=O,所以四边形是平行四边形.
所以,
所以=|AF|+=2a=4,
故答案为:C
点睛：（1）本题主要考查椭圆的几何性质，意在考查学生对椭圆基础知识的掌握能力. (2)解答本题的关键是能观察到对称性，得到四边形是平行四边形，这一点观察到了，后面就迎刃而解了.
4．已知平行于轴的一条直线与椭圆相交于，两点，，，（为坐标原点），则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设点位于第一象限，根据求出点坐标，进而可得，再根据可得为等边三角形，可得，再由离心率公式即可求解.
【详解】因为直线平行于轴，且，
设点位于第一象限，将代入可得，
所以点坐标为，
因为，根据对称性可得为等边三角形，
所以即，整理可得：，
所以，
故选：D.
5．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】6．圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求圆心关于直线对称得到的圆心，列方程组可求解，从而可确定对称圆的方程.
【详解】设圆的圆心
关于直线对称的点为，
则有整理得解得，
因为关于直线对称的两个圆半径相等，所以所求圆的半径为2，
所以所求圆方程为，
故选:C.
7．椭圆中，以点为中点的弦所在直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用点差法计算即可求得结果.
【详解】设弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2)，
代入椭圆得，
两式相减得，
即，
即，又
即，
即，
∴弦所在的直线的斜率为，
故选：C.
8．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.
【详解】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为.
由题意可得，
可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线的距离均为；
圆心到直线的距离均为
圆心到直线的距离均为；
所以，圆心到直线的距离为.
故选：B.
【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
二、多选题
9．已知直线的方向向量，为直线上一点，若点P(1，0，2)为直线外一点，则P到直线上任意一点Q的距离可能为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】AB
【解析】首先求得，再求得的值，设出与的夹角为，利用向量数量积求得的值，进而求得的值，利用求得点到直线的距离，利用P到直线上任意一点Q的距离要大于等于，从而求得结果.
【详解】由题设条件可知，，
所以，
设与的夹角为，
则，
所以，
所以点到直线的距离为，
P到直线上任意一点Q的距离要大于等于，
故选：AB.
【点睛】该题考查的是有关空间距离问题，涉及到的知识点有利用向量解决点到直线的距离问题，属于简单题目.
10．已知圆：和圆：相交于A，B两点，下列说法正确的是（ ）
A．圆M的圆心为，半径为1B．直线AB的方程为
C．线段AB的长为D．线段AB的长为
【答案】ABD
【分析】化圆M的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径判断A；联立两圆的方程求得AB的方程判断B；由点到直线的距离公式及垂径定理求得AB的长判断CD．
【详解】由圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0，得(x－1)2+(y+2)2＝1，
A：则圆M的圆心为（1，－2），半径为1，故A正确；
B：联立圆O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0，消去二次项，
可得直线AB的方程为x－2y－4＝0，故B正确；
C：圆心O到直线x－2y－4＝0的距离d，圆O的半径为2，
则线段AB的长为2，故C错误，D正确.
故选：ABD
11．已知椭圆的中心为坐标原点，焦点、在轴上，短轴长等于，焦距为，过焦点作轴的垂线交椭圆于、两点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的方程为B．椭圆的离心率为
C．D．
【答案】AD
【分析】求出、、的值，可判断AB选项的正误；设点为椭圆的左焦点，将代入椭圆方程，可求得的长，可判断C选项的正误；利用椭圆的定义可判断D选项的正误.
【详解】对于椭圆，由已知可得，则，，.
对于A选项，因为椭圆的焦点在轴上，故椭圆的方程为，A对；
对于B选项，椭圆的离心率为，B错；
对于C选项，设点为椭圆的左焦点，易知点，
将代入椭圆方程可得，故，C错；
对于D选项，，故，D对.
故选：AD.
12．设圆：的圆心为，为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则（ ）
A．
B．四点共圆
C．
D．直线的方程为：
【答案】ABD
【分析】首先将圆的方程配成标准式，即可求出圆心坐标与半径，再利用勾股定理求出切线上，利用锐角三角函数的性质求出，以及点的横坐标，即可判断CD；依题意可得到四点的距离相等，即可判断B；
【详解】如图所示，因为，即，
可知圆心，半径，
对于选项A：因为，
所以，故A正确；
对于选项C、D：在Rt中，因为，，则，即，
则，，
可知点在直线上的投影长为，则点的横坐标为2，
所以直线的方程为，故C错误、D正确；
对于选项B：直线与圆相交于点，
显然，故四点共圆，故B正确．
故选：ABD．
三、填空题
13．若异面直线的方向向量的夹角为，则异面直线与所成的角等于 ．
【答案】
【分析】根据题意结合向量夹角与异面直线夹角的定义分析求解.
【详解】因为直线的方向向量与的方向向量的夹角是，
所以与这两条异面直线所成角的大小为．
故答案为：.
14．过点，且与直线垂直的直线方程为 .
【答案】
【分析】先由垂直关系求出所求直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程
【详解】解：因为所求直线与直线垂直，
所以所求直线的斜率为，
因为所求直线过点，
所以所求直线方程为，即，
故答案为：
【点睛】此题考查两直线的位置关系，考查直线方程的求法，属于基础题
15．已知椭圆的离心率为e，，分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点使得是钝角，则满足条件的范围
【答案】
【分析】当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值，由此可得结论．
【详解】
如图，当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，
当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值．
椭圆上存在点使得是钝角，
中，，
中，，
，即，
，可得，
，
，
，
故答案为：.
16．已知为坐标原点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】设出中点坐标，圆上的点，由中点坐标公式把P的坐标用M的坐标表示，代入圆的方程得答案.
【详解】设点，点，
则所以
因为点在圆上，
所以，
所以，
所以点M的轨迹方程为
即，
故答案为：.
四、解答题
17．已知直线经过点.
(1)当原点到直线的距离最大时，求直线的方程；
(2)设直线与坐标轴交于两点，且为的中点，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件，结合直线垂直的性质，求出直线的斜率，再结合直线经过点，即可求解；
（2）根据已知条件，先求出点，，再结合直线的截距式方程，即可求解．
【详解】（1）解：当原点到直线的距离最大时，
则当直线与直线垂直时，原点到直线的距离最大，
，，
，
，
直线经过点，
，即，
故直线的方程为．
（2）解：直线与坐标轴交于，两点，且为的中点，
不妨设，，
故直线的方程为，即．
18．圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上.
(1)求圆的标准方程；
(2)已知直线l：与圆相交于两点，求弦长的值；
(3)过点引圆的切线，求切线的方程.
【答案】(1)
(2)
(3)和
【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程；
（2）求出圆心到直线距离，进而求出弦长.
（3）当斜率不存在时，符合题意，当斜率存在时，设出直线方程，根据，求出斜率，写出方程.
【详解】（1）由题意可得，圆心为，半径为2，
则圆的方程为；
（2）由（1）可知：圆的半径，
设圆心到的距离为，则，
所以.
（3）当斜率不存在时，为过点的圆C的切线.
当斜率存在时，设切线方程为，即
，解得
综上所述：切线的方程为和.
19．已知直线与直线的交点为P.
（1）若直线l过点P，且点A(1,3)和点B(3,2)到直线l的距离相等，求直线l的方程；
（2）若直线l1过点P且与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点，△ABO的面积为，求直线l1的方程．
【答案】（1）或；（2）.
【分析】（1）由题可求，由题知直线l与直线AB平行或过AB的中点，即求；
（2）可设直线方程的截距式，由题可得即求.
【详解】（1）由得，即，
因为直线l过点P，且点A(1,3)和点B(3,2)到直线l的距离相等，
∴直线l与直线AB平行或过AB的中点，
当直线l与直线AB平行时，直线l的方程为即，
当直线l过AB的中点时，直线l的方程为，
故直线l的方程为或.
（2）由题可设直线l1方程为，
则，解得，
故直线l1的方程为即.
20．已知圆C的圆心为原点，且与直线相切，直线过点．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线与圆C相切，求直线的方程．
(3)若直线被圆C所截得的弦长为，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)，或
(3)或
【分析】（1）利用点到直线的距离求出半径，即可得到圆C的标准方程；
（2）分类讨论直线斜率不存在与存在的情况，当斜率存在时，设出直线，利用点到直线距离等于半径求出斜率，即可求解；
（3）分类讨论直线斜率不存在与存在的情况，利用圆的垂径定理，列出弦长公式进行求解.
【详解】（1）圆心到直线的距离，
所以圆的半径为，
所以；
（2）当直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为，不相切．
直线斜率存在，设直线，
由，得所以切线方程为，或．
（3）当直线斜率不存在时，，直线被圆所截得的弦长为，符合题意；
当直线斜率存在时，设直线，
由，解得：，
故的方程是，即，
综上所述，直线的方程为或
21．已知椭圆以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两个不同的点，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】(1)由给定条件求出椭圆C1的半焦距，短半轴长即可得解；
(2)设出直线的方程，联立直线与椭圆的方程组，消去x得关于y的一元二次方程，借助韦达定理表示出面积的关系式，再利用对勾函数的性质即可作答.
【详解】（1）直线过定点，即椭圆的一个焦点为，
依题意：椭圆的半焦距，短半轴长，长半轴长a有，
所以椭圆的标准方程为；
（2）显然点在椭圆内部，即直线与椭圆必有两个不同的交点，
由题意得直线不垂直于y轴，设直线的方程为，
由消去整理得,
设，，则，,
从而有
，
令，函数在单调递增，
则，即时，，
于是有，当且仅当时等号成立，
所以面积的最大值为．
22．已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的弦长为6.
(1)求椭圆的方程；
(2)为第一象限内椭圆上一点，直线与直线分别交于两点，记和的面积分别为，若，求的坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用离心率和弦长公式即可联立求解；(2)利用的坐标，根据三点共线求出两点的坐标，根据面积公式即可求出点的坐标.
【详解】（1）因为离心率为,所以，即，
又因为，所以，
联立，解得，
所以过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的弦长为，
所以由 解得，所以椭圆的方程为.
（2）设
由（1）可知，,
因为共线，所以,即，解得，
又因为共线，所以,即，解得，
所以，
，
所以，
整理得，解得或（舍），
将代入椭圆方程得或（舍），
所以的坐标为.