2023-2024学年湖北省襄阳市第一中学高二上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年湖北省襄阳市第一中学高二上学期10月月考数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若两条直线与平行，则与间的距离是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据直线平行可求，再根据平行线之间的距离公式可求两直线之间的距离.
【详解】因为与平行，故，故，
所以，此时与平行，
又与之间的距离为，
故选：D.
2．是双曲线上一点，点分别是双曲线左右焦点，若，则（ ）
A．9或1B．1C．9D．9或2
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义即可求解.
【详解】是双曲线上一点，所以，所以，
由双曲线定义可知，
所以或者，又，所以，
故选：C
3．已知椭圆的离心率为，则椭圆的焦距为（ ）
A．B．或C．或D．
【答案】C
【分析】直接利用椭圆的离心率，列出方程求解a，然后求解c即可．
【详解】椭圆的离心率为，
可得或，
解得m＝2，或m，
所以m＝2时，椭圆的焦距为2c＝24，
m时，椭圆的焦距为2c＝2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基本知识的考查，是基础题．
4．下列命题不正确的是（ ）
①空间中任意三个不共面的向量都可以作为基底.
②直线的方向向量是唯一确定的.
③若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则aα.
④在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是（0，b，c）.
⑤若，则是钝角.
A．①③④B．②③⑤C．③④⑤D．①②④
【答案】B
【分析】利用基底向量的定义、空间向量的坐标特征以及向量的夹角以及直线的方向向量的定义逐一判断五个选项的正误即可求解.
【详解】对于①：空间中任意一个向量都可以用三个不共面的向量作为基底来表示，选项正确；
对于②：由直线的方向向量定义知，直线的方向向量有无数多个，故选项错误；
对于③：直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则,选项错误；
对于④：Oyz平面上的点的坐标一定是0,选项正确；
对于⑤：若，则是钝角或者夹角为，选项错误；
故选：B.
5．若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意，作图，根据直线与圆的位置关系，可得答案.
【详解】由曲线，可得，
表示以原点为圆心，半径为的右半圆，
是倾斜角为的直线与曲线有且只有一个公共点有两种情况：
①直线与半圆相切，根据，所以，结合图象可得；
②直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知.
综上可知：或.
故选：D.
6．已知在一个二面角的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，，，，则这个二面角的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设这个二面角的度数为，由题意得，从而得到，由此能求出结果.
【详解】解：设这个二面角的度数为，
由题意得，
，
，
解得，
∴，
∴这个二面角的度数为，
故选：C.
【点睛】本题考查利用向量的几何运算以及数量积研究面面角，属于中档题.
7．已知，关于直线对称的圆记为，点E，F分别为，上的动点，EF长度的最小值为4，则（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】D
【分析】画出图形，当过两圆圆心且与对称轴垂直又接近于对称轴时，长度最小，此时圆心到对称轴的距离为4，根据点到直线的的公式建立方程即可求解.
【详解】
由题易知两圆不可能相交或相切，则如图，当过两圆圆心且与对称轴垂直又接近于对称轴时，长度最小，
此时圆心到对称轴的距离为4，
所以，解得或.
故选：D
8．客机越来越普及之后，为了减少空气阻力､降低油耗以及减少乱流，飞机开始越来越往高空飞，飞机的机身也因此做了很多调整，其中一项调整是机舱必须加压，好让旅客在内部能够生存，为了更好地分散机窗压力，工程师将最开始的方形窗户改为椭圆形窗户如图1所示，使其均匀受压，飞机更为安全.一缕阳光从飞机窗户射入，在机舱地面上形成轮廓为圆的光斑，如图2所示.若光线与地面所成角为60°，则椭圆的离心率为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据条件，找出与圆的半径为间的关系，再利用离心率的定义即可求出结果.
【详解】因为椭圆形窗户在机舱地面上形成轮廓为圆的光斑，不妨设圆的半径为，
则有，，所以，
故离心率.
故选：C.
二、多选题
9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下面结论中正确的有（ ）
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥平面CB1D1
C．异面直线AC与A1B成60°角
D．AC1与底面ABCD所成角的正切值是
【答案】ABC
【分析】对于A，利用线面平行的判定定理即可判断；对于B，利用线面垂直的判定定理判断即可；对于C，由于AC∥A1C1，所以为异面直线AC与A1B所成的角，再正方体的性质可得答案；对于D，由正方体的性质可知∠C1AC为AC1与平面ABCD所成的角，从而可求出其值
【详解】解：∵BD∥B1D1，B1D1⊂平面CB1D1，BD平面CB1D1，
∴BD∥平面CB1D1，故A正确；
∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1，
又∵A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥平面AA1C1，∴B1D1⊥AC1，同理B1C⊥AC1，
∴AC1⊥平面CB1D1，故B正确；
AC∥A1C1，△A1C1B为等边三角形，则异面直线AC与A1B成60°角，故C正确；
∠C1AC为AC1与平面ABCD所成的角，，故D错误．
故选：ABC．
【点睛】此题考查线面平行的判定，线面垂直的判定，异面直线所成的角，线面角等知识，考查推理能力和计算能力，属于基础题
10．已知直线，圆为坐标原点.下列说法正确的是（ ）
A．若圆关于直线对称，则
B．点到直线的距离的最大值为
C．若直线与圆相切，则的方程为
D．若直线与圆交于两点，则当或-1时，的面积有最大值
【答案】ABD
【分析】确定直线过定点，将圆心代入直线计算A正确，距离的最大值为，计算B正确，根据相切计算或，C错误，时面积最大，计算得到D正确，得到答案.
【详解】直线过定点，
圆，圆心，半径，
对选项A：直线过圆心，则，解得，正确；
对选项B：点到直线的距离的最大值为，正确；
对选项C：直线与圆相切，则圆心到直线的距离，
解得或，故直线方程为或，错误；
对选项D：当时面积最大，此时圆心到直线的距离为，
即，解得或，正确；
故选：ABD.
11．已知圆与圆的一个交点为M，动点M的轨迹是曲线C，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线C的方程式
B．曲线C的方程式
C．过点且垂直于x轴的直线与曲线C相交所得弦长为
D．曲线C上的点到直线的最短距离为
【答案】BCD
【分析】根据椭圆的定义即可判断A,B选项，对C，求出直线与椭圆的交点，即可得到弦长，对D，设与直线平行的直线，，求出直线与椭圆相切时的方程，再利用平行线之间的距离.
【详解】对A,B，由题意知,,所以,
所以点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，且,,即,
所以,所以曲线的方程为,故A错误，B正确；
对C，过点,且垂直于轴的直线为,
它与曲线相交于两点,
所以弦长为,故C正确；
对D，设与直线平行的直线，，
由，得，
令，解得，此时直线与椭圆相切，
易得，此时切点到直线的距离距离最短，直线的方程为，
此时两平行线的距离为，
故曲线上的点到直线的最短距离为，故D正确.
故选：BCD.
12．已知点，P是圆上的动点，G为平面内一点．若直线NP上一点Q满足且，则不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】由，知G为MP的中点，由，可得，从而得点Q的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆（不包括左、右顶点），进而得方程为，在椭圆中可得，即可得答案.
【详解】解：将圆N化为标准方程为，则，半径．由，，知G为MP的中点，且，
∴，∴．
又∵，
∴，
∴点Q的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆（不包括左、右顶点），
其方程为．
当Q为椭圆的上顶点时，，
此时（O为坐标原点）．
由，得，
∴，
∴．
故选：BCD．
三、填空题
13．已知向量，，，则 ．
【答案】1
【分析】先利用空间向量的模长公式求解得，再利用数量积的坐标表示即得解
【详解】由题意，
解得
故
故答案为：1
14．已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程 ．
【答案】或
【分析】直线在两坐标轴上的截距相等，有两种情况，斜率为，或直线过原点，结合直线过点即可求解，有两种情况
【详解】因为直线与坐标轴的截距相等，则直线的斜率为，或直线过原点，当直线斜率为时，因为直线过点，根据点斜式，直线方程为：，化简得：；
当直线过原点时，，所以直线方程为
故答案为：或
四、双空题
15．若圆上恰有3个点到直线的距离为，则的值为 ;若圆C上恰有个点到直线的距离为，则的取值范围为 .
【答案】 或
【分析】根据题意，转化为圆心到直线的距离的范围问题，通过计算可得的值及范围.
【详解】解：因为圆，所以圆心为，
又因为圆上恰有3个点到直线的距离为2，
所以圆心到直线的距离，
即，所以或；
若圆C上恰有个点到直线的距离为，
则圆心到直线的距离，
即，所以.
故答案为：或；
五、填空题
16．已知直线l：与椭圆交于A、B两点，与圆交于C、D两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是 ．
【答案】
【分析】求出直线l所过的定点恰好为圆的圆心，由得到为AB的中点，利用点差法得到，结合，且，求出，从而求出离心率的取值范围.
【详解】变形为，恒过点，
即直线经过圆的圆心，
因为，所以为AB的中点，
设，则，
则有，两式相减得：，
即，
因为，且，所以，
则离心率，
故答案为：.
六、解答题
17．已知两直线，.求分别满足下列条件的，的值：
(1)直线过点，并且直线与垂直；
(2)直线与直线平行，并且直线在轴上的截距为.
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）根据直线垂直的充要条件以及点在直线上，列出方程组即可解出；
（2）根据两直线平行斜率相等，以及直线纵截距的意义，列出方程，即可解出．
【详解】（1）因为l1⊥l2，所以a(a－1)＋(－b)·1＝0，即a2－a－b＝0.①
又点(－3，－1)在l1上，所以－3a＋b＋4＝0.②
由①②得a＝2，b＝2.
（2）因为直线l2在y轴上的截距为3，所以b＝－3，
又,所以,所以,故.
18．(1)若动圆与圆内切，与圆外切.求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)若动圆与圆､圆都外切.求动圆圆心的轨迹的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合图形，找到的关系，利用椭圆的定义即可求解；
（2）结合图形，找到的关系，利用双曲线的定义即可求解.
【详解】（1）设动圆的半径为，
动圆与圆内切，与圆外切，
于是，
所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆.
从而，且焦点在轴上，
所以.
故动圆圆心的轨迹的方程为.
（2）圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
因为，则圆与圆外离，
设圆的半径为，由题意可得，所以，，
所以，圆心的轨迹是以点分别为左右焦点的双曲线的右支，
设圆心的轨迹方程为，
由题意可得，则，
因此，圆心的轨迹方程为.
19．直线与椭圆相交于不同的两点，若的中点的横坐标为，求：
(1)的值；
(2)弦长的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用点差法构造关于的方程，即可求得的值；
（2）联立直线方程与椭圆方程，得出和的值，利用弦长公式代入计算即可．
【详解】（1）设，中点为，
因为在直线上，
所以，
由，得：，
所以，即，
解得．
（2）由（1）得，直线方程为，
由，得，则，，
所以．
20．已知半径为4的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上.
(1)求圆的方程；
(2)已知直线与圆相交于两点，且的面积为8，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）根据直线与圆相切,根据点到直线距离公式求出圆心,再应用圆的标准方程即可;
（2）根据几何法求弦长,再结合面积公式计算即可.
【详解】（1）由已知可设圆心，则，解得或（舍），
所以圆的方程为.
（2）设圆心到直线的距离为，则，
即，解得，
又，所以，解得，
所以直线的方程为或
.
21．在如图所示的组合体中，是直三棱柱，延长至，使，连接，，分别是，的中点，动点在直线上，，，．

(1)试判断直线与平面的关系并证明；
(2)试确定动点的位置，使二面角的余弦值为．
【答案】(1)直线平面，证明见解析
(2)点在的延长线上且到点的距离为
【分析】（1）证明结合线面平行的判定定理即可证得结果；
（2）建立空间直角坐标系，分别计算平面的法向量与平面的法向量，结合二面角坐标公式计算即可.
【详解】（1）直线平面．证明如下：连接，如图所示，

因为是的中点，
所以是与的交点，
又因为是的中点，
所以是的中位线，则，
因为平面，平面，
所以直线平面．
（2）依题意，，，两两垂直，所以以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，．
所以，，．
设平面的法向量为，则，
即，令，则，，所以．
设平面的法向量为，则，
即，令，则，，所以，
则，
整理得，解得，．
当时，点P与点A重合，此时二面角为锐二面角，所以不合题意；
当时，满足题意，此时点位于轴的负半轴上，即点在的延长线上且到点的距离为．
22．已知P为平面上的动点，记其轨迹为Γ.
(1)请从以下两个条件中选择一个，求对应的的方程.①已知点，直线，动点到点的距离与到直线的距离之比为；②设是圆上的动点，过作直线垂直于轴，垂足为，且.
(2)在（1）的条件下，设曲线的左､右两个顶点分别为，若过点的直线的斜率存在且不为0，设直线交曲线于点，直线过点且与轴垂直，直线交直线于点，直线交直线于点，则线段的比值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)条件选择见解析，的方程为
(2)是定值，且定值为
【分析】（1）根据已知条件列方程或利用代入法求得的方程.
（2）设出直线的方程并与曲线的方程联立，化简写出根与系数关系，求得两点的纵坐标，由此化简来求得正确答案.
【详解】（1）选①，设，由，
化简得，即所求轨迹Γ的方程为.
选②，设，由，得，
代入圆O的方程，，整理得，
即所求轨迹Γ的方程为.
（2）设，
已知直线m的斜率存在且不为0，设过点K的直线m的方程为，
与方程联立得：，
∴.
且
直线AM的方程为，∴.同理，，
∴
其中，，
将代入可得，
，
∴.
【点睛】求曲线的轨迹方程的方法有很多，可以利用圆锥曲线的定义来求，也可以利用题目所给的等量关系式来求，还可以利用相关点代入法来求.在求曲线方程的过程中，要注意验证方程上的点是否都在曲线上，也要验证曲线上的点是否都符合方程.