2023-2024学年江苏省淮安市淮阴中学高二上学期10月阶段练习数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省淮安市淮阴中学高二上学期10月阶段练习数学试题含答案，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若圆与圆有公共点，则满足的条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据圆与圆的位置关系求得正确答案.
【详解】由得，圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为.
两圆圆心距为，
由于两圆有公共点，所以，解得，
所以.
故选：D
2．若方程有两个实数解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】题目转化为函数与有两个公共点，画出函数图像，根据图像计算得到答案.
【详解】方程有两个实数解即函数与有两个公共点，
曲线表示以为圆心，半径为2的圆的上半部分（包括端点），
如图所示．
由图形知，当直线经过点时，直线与曲线有2个公共点，此时有；
当直线与圆相切时，可得，解得或（舍去）.
结合图形可得实数b的取值范围是．
故选：D
3．已知P为椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若使为直角三角形的点P有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先考虑通径上有四个点满足题意，然后根据以为直径的圆与椭圆无交点得到关于，，的不等式，通过不等式求解椭圆离心率即可.
【详解】方法一：当轴时，有两个点满足为直角三角形；
同理当轴时，有两个点满足为直角三角形．
∵使为直角三角形的点有且只有4个，
∴以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点，∴，
∴，∴，又，解得.
方法二：由题意为直角三角形的点有且只有4个，根据椭圆的几何性质可知，当点落在椭圆的短轴端点时，取得最大值，可得此时,
又，故.
故选：A．
4．若点在椭圆上，则的最小值为（ ）
A．1B．
C．D．以上都不对
【答案】C
【分析】的几何意义是椭圆上的点与定点连线的斜率，求出过点与椭圆相切时的直线的斜率即可.
【详解】的几何意义是椭圆上的点与定点连线的斜率，
椭圆化为标准方程为，
由图可知，直线与椭圆相切时取得最值，
设直线，
代入椭圆方程消去得，
令，解得，
所以，即的最小值为.

故选：C.
5．已知圆上两动点A，B满足为正三角形，O为坐标原点，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由条件可得，由此确定点的轨迹方程，再求的最大值可得结论.
【详解】由题可知是边长为1的正三角形，
设的中点为，则，
又，所以点的轨迹方程为，且．
因为，所以，
因为，
当且仅当点在线段上时等号成立，
所以的最大值为，
所以的最大值为．
故选：D．
6．已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则PQ＋PF的最大值为（ ）
A．3B．6
C．D．
【答案】D
【分析】由椭圆的定义结合题意可得，即可求出PQ＋PF的最大值.
【详解】圆M：的圆心为，
设椭圆的左焦点为，如下图，由椭圆的定义知，，
所以，所以
，
当且仅当三点在一条直线上时取等，
，，，.
故选：D．
7．已知椭圆的上顶点为A，离心率为e，若在C上存在点P，使得，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设出，利用得到在区间上有解，结合端点值的符号得到，求出的最小值.
【详解】易知，设，则，
所以，
即，
即方程在区间上有解，
令，
因为，，
所以只需，
即
解得：.
故选：C.
8．已知椭圆，直线l过坐标原点并交椭圆于 两点（P在第一象限），点A是x轴正半轴上一点，其横坐标是点P横坐标的2倍，直线交椭圆于点B，若直线恰好是以为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设,则由直线恰好是以为直径的圆的切线,可得，再利用点差的方法可得，即得，从而可得的关系，即可求得椭圆离心率.
【详解】依题意，设，
直线的斜率一定存在,分别为，
直线恰好是以为直径的圆的切线,则,则,
则，∴，
∵，两式相减得，
∴，即，
∴，∴，∴，
∴椭圆的离心率，
故选:D．
二、多选题
9．加斯帕尔•蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中心,这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．已知长方形R的四边均与椭圆相切,则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为B．椭圆C的蒙日圆方程为
C．椭圆C的蒙日圆方程为D．长方形R的面积最大值为18
【答案】ACD
【分析】根据椭圆方程,求出离心率即可得选项A正误;根据蒙日圆的定义可判断,该圆过点,根据圆心坐标,即可求得半径的值,进而求得圆的方程;设出长方形的长和宽,根据长方形是蒙日圆的内接四边形,可得对角线为直径,求得长和宽的等量关系,再利用基本不等式即可判断选项D正误.
【详解】解:由题知椭圆方程为:,
所以,
故选项A正确;
因为长方形R的四边均与椭圆相切,
所以点,即在蒙日圆上,
故半径为,
可得椭圆C的蒙日圆方程为;
故选项B错误,选项C正确;
设长方形R的边长为m,n,
则有,
所以长方形R的面积等于,
当且仅当时取等,
故选项D正确.
故选:ACD
10．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆内部，点在椭圆上，栯圆的离心率为，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率的取值范围为
B．存在点，使得
C．当时，的最大值为
D．的最小值为1
【答案】ACD
【分析】根据点与椭圆的位置关系，可得，即可求出离心率的范围，判断A项；易知，只有原点满足条件，即可判断B项；根据椭圆的定义，可得，根据三角形的三边关系结合图象，即可判断C项；根据椭圆的定义结合“1”的代换，根据基本不等式即可求解，判断D项.
【详解】对于A，由已知可得，，所以，
则，故A正确；
对于B，由可知，点为原点，显然原点不在椭圆上，故B错误；
对于C，由已知时，，所以，.
又，则.
根据椭圆的定义可得，
所以，
如图，当且仅当三点共线时，取得等号.
的最大值为，故C正确；
对于D，因为.
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
所以，的最小值为1，故D正确.
故选：ACD.
11．如图，已知椭圆：的左、右焦点分别为，，是上异于顶点的一动点，圆（圆心为）与的三边，，分别切于点A，B，C，延长交x轴于点D，作交于点，则（ ）.
A．为定值B．为定值
C．为定值D．为定值
【答案】BCD
【分析】由余弦定理可知，从而可知不是定值；由椭圆定义可判断B，由切线长定理和椭圆的定义可判断C，由等面积法可判断D.
【详解】对于A，设，，，
由余弦定理可知：
即，解得
由于在上运动，所以的值也在随之变化，
从而不是定值，则A错误；
对于B，根据椭圆的定义，，是定值，B正确；
对于C，根据切线长定理和椭圆的定义，
得，
且，则，
所以为定值，C正确；
对于D，连接,则，
由，
解得，由，
得为定值，则D正确.
故选：BCD
12．设，过定点M的直线：与过定点N的直线：相交于点P，线段是圆C：的一条动弦，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．一定垂直B．的最大值为
C．点P的轨迹方程为D．的最小值为
【答案】AD
【分析】对于A：分m=0和讨论，判断 与是否垂直；
对于B：在Rt△PMN中，设∠PMN=，利用直角三角形边长关系表示出，利用三角函数求最值；
对于C：用定义法求出轨迹方程；
对于D：把转化为 ，求的最小值即可.
【详解】对于A：m=0时，直线：与： 垂直；
时直线：的斜率 ，：的斜率为 ，因为，所以 与垂直，综上，一定垂直.故A正确；
对于B：过定点，过定点 ，在Rt△PMN中，设，则 .故B错误；
对于C：由可得点 P轨迹方程为( ). 故C错误；
对于D：作，则，∴点D轨迹方程为 .
∵= ，且的最小值为 ，∴ 的最小值为 .故D正确.
故选：AD
【点睛】解析几何问题解题的基本思路：
（1）坐标法是解析几何的基本方法.
（2）解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．
三、填空题
13．圆与圆的公共弦长为 .
【答案】6
【分析】两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程，计算出到此直线的距离，然后可得答案.
【详解】因为圆与圆
所以两式相减得
圆到直线的距离为1
所以公共弦长为
故答案为：6
14．如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为，液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为 ．
【答案】/
【分析】根据题意求出的值，然后利用离心率公式即可求得该椭圆的离心率的值.
【详解】设圆柱的底面半径为，
因为一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为，液面呈椭圆形状，
则，，即，
因此，该椭圆的离心率为.
故答案为：.
15．如图，、分别是椭圆的左、右焦点，点是为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为 .
【答案】/
【分析】连接，设，则，则，，，分析可知，利用勾股定理可得出关于、的等式，可求得的值，即为所求.
【详解】连接，设，则，则，，

所以，，
由圆的几何性质可知，由勾股定理可得，
即，解得，
所以，，所以，直线的斜率为.
故答案为：.
16．已知，点A为直线上的动点，过点A作直线与相切于点P，若，则的最小值为 .
【答案】
【分析】设，连接，求出、，求的最小值可转化为求到两点和距离和的最小值，连接可得答案.
【详解】
设，，连接，所以，且，
所以，
，
所以求的最小值可转化为求到两点和距离和的最小值，如图，连接即可，所以，
故答案为：.
四、解答题
17．已知直线l过定点，且交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B．点O为坐标原点．
(1)若的面积为4，求直线l的方程；
(2)求的最小值，并求此时直线l的方程．
【答案】(1)
(2)；
【分析】（1）根据题意设直线方程为，分别令，，得到，，再由求解；
（2）由，利用基本不等式求解.
【详解】（1）解：由题意得：直线l的斜率存在，设为 ，
则直线方程为，
令，得；令，得，
所以，
解得，
此时直线方程为，即；
（2），
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，此时直线方程为，
即.
18．设椭圆的上顶点为，左焦点为，已知椭圆的离心率，．
(1)求椭圆方程；
(2)设过点且斜率为的直线与椭圆交于点（异于点），与直线交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，若的面积为，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据，，由，可求得的值，从而得到椭圆方程：
（2）设，与椭圆方程联立可得点的坐标，进而可得点的坐标，求出点的坐标，由点的坐标求出直线的方程，求出点的坐标，由可构造方程求得的值，由此可得直线方程.
【详解】（1）由可得：，，，
又，，，
椭圆方程为：.
（2）
由（1）知：，设直线，
由得：，则，
，即，，
即，；
在直线的方程中，令可得，，
，则直线，
令可得：，，
，
即，整理可得：，解得：，
直线或．
19．已知圆M与直线相切于点，圆心M在x轴上.
（1）求圆M的标准方程；
（2）过点M且不与x轴重合的直线与圆M相交于A，B两点，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于C，D两点，记，的面积为，，求的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设圆的方程为，再由直线与圆相切于点，可得关于a与r的方程组，求得a与r的值，则圆M的方程可求；
（2）由题意知，，设直线的方程为，与圆的方程联立求得A的坐标，同理求得B的坐标，进一步求出C与D的坐标，写出，利用基本不等式求最值.
【详解】（1）由题可知，设圆的方程为，
由直线与圆相切于点，
得，解得，，
∴圆的方程为；
（2）由题意知，，设直线的斜率为，则直线的方程为，
由，得，解得或，
则点A的坐标为，
又直线的斜率为，
同理可得：点B的坐标为
由题可知：，，
∴，
又∵，同理，
∴.
当且仅当时等号成立.
∴的最大值为.
【点睛】本题注意两个三角形有一个公共角，由三角形面积公式，可以转化为夹角边乘积之比.
20．已知，如图，曲线由曲线和曲线组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点，为曲线所在圆锥曲线的焦点
（1）若，求曲线的方程；
（2）如图，作斜率为正数的直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求弦的中点的轨迹方程；
（3）对于（1）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求面积的最大值
【答案】（1）和；（2）；（3）．
【分析】（1）由题意可得，解方程组求出的值，从而可求出曲线的方程；
（2）设直线，与曲线的方程联立成方程组，消去，利用根与系的关系结合中点坐标公式可得答案；
（3）由题意设直线为，与的方程联立方程组，消去，利用根与系的关系，设，从而可求出，然后表示出面积，利用基本不等式可求得结果
【详解】解：（1）因为，所以，解得
所以曲线的方程为和；
（2）曲线的渐近线为，如图，设直线
则
又有数形结合知
设点，
则
所以，，
所以，即点在线段上；
（3）由（1）可知，和点
设直线为
，化为，
，设，所以
所以
，令
所以，当且仅当，即时等号成立
所以.
五、证明题
21．已知椭圆的离心率为，焦距为，过的左焦点的直线与相交于、两点，与直线相交于点．
(1)若，求证：；
(2)过点作直线的垂线与相交于、两点，与直线相交于点．求的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据已知条件求出直线的方程，将直线的方程与椭圆的方程联立，求出点、的横坐标，再利用弦长公式可证得成立；
（2）分析可知直线的斜率存在且不为零，设直线方程为，则直线方程为，其中，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可得出的表达式，同理可得出的表达式，利用基本不等式可求得的最大值.
【详解】（1）证明：设、，因为椭圆的焦距为，所以，解得．
又因为椭圆的离心率，所以，所以，
所以椭圆的方程为.
因为直线经过、，，
所以，直线的方程为，
设点、，联立可得，
由，得，.
所以，
，
因此，.
（2）证明：若直线、中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线平行，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在且不为零，设直线方程为，
则直线方程为，其中．
联立可得，
设、，则，
由韦达定理可得，，
易知且，将代入直线的方程可得，即点，
所以
，
同理可得，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最大值为.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
六、解答题
22．已知椭圆E：，椭圆上有四个动点A，B，C，D，，AD与BC相交于P点.如图所示.

(1)当A，B恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线AD与BC的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由；
(2)若点P的坐标为，求直线AB的斜率.
【答案】(1)是定值，定值为
(2)
【分析】（1） 由题意求出直线的斜率，再求可设直线CD的方程为，设，，将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，然后求解即可；
（2）设，，，记，表示出点的坐标，将A，D两点的坐标代入椭圆方程，化简得，再由可得，从而可得，进而可得直线的方程，则可求出其斜率.
【详解】（1）由题意知，，，所以，，所以，
设直线CD的方程为，设，，
联立直线CD与椭圆的方程，整理得，
由，解得，且，
则，，
所以
，
故直线AD与BC的斜率之积是定值，且定值为.
（2）设，，，记()，
得.所以.
又A，D均在椭圆上，所以，
化简得，
因为，所以，
同理可得，
即直线AB：，
所以AB的斜率为.
【点睛】关键点睛：此题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，解题的关键是设出直线CD的方程，代入椭圆方程中消元化简，再利用根与系数的关系，再利用直线的斜率公式表示出，结合前面的式子化简计算可得结果，考查计算能力和数形结合的思想，属于较难题.