2023-2024学年江苏省苏州市常熟外国语学校高二上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市常熟外国语学校高二上学期10月月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据点，，且线段为直径，可知圆心及直径，半径，进而得到圆的方程.
【详解】圆心坐标为，，，
所以以线段为直径的圆的方程为，
故选：B.
【点睛】求圆的方程，主要有两种方法：
(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．
2．已知数列中，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定的递推公式，求出数列的周期，再借助周期性计算即得.
【详解】数列中，当时，，则，
，因此当时，，即数列是以为周期的周期数列，
所以.
故选：C
3．等差数列中，，则此数列的前项和等于（ ）
A．160B．180C．200D．220
【答案】B
【解析】把已知的两式相加得到，再求得解.
【详解】由题得，
所以.
所以.
故选：B
4．两条平行直线与之间的距离（ ）
A．B．C．D．7
【答案】C
【分析】首先根据两条直线平行求出参数的值，然后利用平行线间的距离公式求解即可.
【详解】由已知两条直线平行，得，所以，
所以直线可化为，
则两平行线间的距离.
故选：C
5．已知等比数列的前项和为，，，则
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由等比数列的前项和性质可知：成等比数列，再根据计算出结果.
【详解】因为成等比数列，
所以
代入数值所以，则.
【点睛】（1）形如的式子，可表示为；
（2）等比数列中前项和为，则有成等比数列，其中公比或时且不为偶数.
6．若直线的斜率，则直线倾斜角的范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据斜率与倾斜角的关系，利用正切值所处范围得到倾斜角的范围.
【详解】，且
当时，；当时，
本题正确选项：
【点睛】本题考查直线斜率与倾斜角的关系，利用斜率的取值范围可求得倾斜角范围，需注意的是直线倾斜角范围为：.
7．的最小值为( )
A．B．C．4D．8
【答案】B
【分析】利用的几何意义可得函数的最小值.
【详解】
它表示动点到定点与到定点的距离和，
关于轴的对称点为，故
，故选B.
【点睛】求函数的最值，可以利用函数的单调性或基本不等式，也可以利用解析式对应的几何意义，把函数的最值转化为几何对象的最值来处理.
8．已知，（），则在数列｛｝的前50项中最小项和最大项分别是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数单调性确定数列｛｝的前50项中最小项和最大项.
【详解】因为在上单调减，在单调减，
所以当时，此时，当时，此时，因此数列｛｝的前50项中最小项和最大项分别为，选C.
【点睛】数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用对应函数性质，如等差数列通项与一次函数，等差数列和项与二次函数，等比数列通项、和项与指数函数.本题利用了函数性质.
二、多选题
9．（多选）若，，，，下面结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】通过点的坐标得到相应直线的斜率，通过直线斜率判断直线的位置关系即可.
【详解】，，且C不在直线AB上，∴，故A正确；
又∵，∴，∴，故B正确；
∵，，
∴，，∴，故C正确；
又∵，，∴
∴，故D错误．
故选:ABC．
10．某地年月日至年月日的新冠肺炎每日确诊病例变化曲线如下图所示．
若该地这段时间的新冠肺炎每日的确诊人数按日期先后顺序构成数列，的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是递增数列B．数列不是递增数列
C．数列的最大项为D．数列的最大项为
【答案】BC
【分析】由每日确诊病例变化曲线可判断每日病例的增减情况，可知的项的变化情况，判断A，C；由变化曲线可知月日没有确诊病例，可知，判断B；根据病例的增加情况判断D.
【详解】解：由每日确诊病例变化曲线图可知：数列一开始是先递增到，再递减至，
即数列不是递增数列，故A选项错误，
因为年月日没有确诊病例，所以，数列不是递增数列，B选项正确．
由每日确诊病例变化曲线图可知：数列的最大项是第项，即是最大项，故C选项正确．
由每日确诊病例变化曲线图可知：第天以后，每天还是有确诊病例，故数列的最大项不是．
故选：BC．
11．已知圆C：，直线l：.下列说法正确的是（ ）
A．直线l恒过定点
B．圆C被y轴截得的弦长为
C．直线l被圆C截得弦长存在最大值，此时直线l的方程为
D．直线l被圆C截得弦长存在最小值，此时直线l的方程为
【答案】BD
【分析】对A，将直线整理为，联立方程即可求出定点；对B，令即可求出；对C，根据直线不过圆心可判断；对D，根据直线垂直于圆心到定点连线可求.
【详解】将直线l的方程整理为，由，解得.则无论m为何值，直线l恒过定点，故A不正确；
令，则，解得，故圆C被y轴截得的弦长为，故B正确；
无论m为何值，直线l不过圆心，即直线l被圆C截得的弦长不存在最大值，故C错误；
当截得的弦长最短时，此时直线l垂直于圆心与定点的连线，则直线l的斜率为，此时直线l的方程为，即，故D正确.
故选：BD.
12．如图，已知正三角形的边长为3，取正三角形各边的三等分点作第二个正三角形，然后再取正三角形的各边的三等分点作正三角形，以此方法一直循环下去．设正三角形的边长为，后续各正三角形的边长依次为；设的面积为，的面积为，后续各三角形的面积依次为，则下列选项正确的是（ ）

A．数列是以3为首项，为公比的等比数列
B．从正三角形开始，连续3个正三角形面积之和为
C．使得不等式成立的最大值为3
D．数列的前项和
【答案】ABD
【分析】利用余弦定理得到，即可得到数列是以为首项，为公比的等比数列，即可判断A、B，再由，求出的通项，即可判断C，利用等比数列求和公式判断D.
【详解】设正三角形的边长为，后续各正三角形的边长依次为，，，
由题意知，，
，所以为以为首项，为公比的等比数列，
所以，故A正确；
又，，
所以从正三角形开始，连续个正三角形面积之和为，故B正确；
又，，，
所以，，，
显然数列单调递减，，
，，故C错误；
数列的前项和，故D正确；
故选：ABD
三、填空题
13．坐标平面内过点，且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为 .
【答案】或.
【解析】按照截距是否为0分两种情况讨论，可求得结果.
【详解】当直线在两坐标轴上截距相等且为0时，直线的方程为；
当直线在两坐标轴上截距相等且不为0时，设直线的方程为，
又直线过点，则，解得，所以直线的方程为；
所以直线l的方程为或.
故答案为：或.
【点睛】易错点睛：本题考查了直线方程的截距式，但要注意：截距式，只适用于不过原点或不垂直于x轴、y轴的直线，表示与x轴、y轴相交，且x轴截距为a，y轴截距为b的直线，考查学生分类讨论思想，属于基础题.
14．由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为 .
【答案】
【详解】从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理，
显然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小．
圆心到直线的距离为：,
切线长的最小值为：故本题正确答案为.
15．已知数列中，，，前n项和为.若，则数列的前15项和为 .
【答案】
【分析】首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．
【详解】解：数列中，，，前项和为．若，则，
整理得，所以数列是以1为首项，1位公差的等差数列，
则，所以．
所以．
所以．
故答案为：．
四、双空题
16．已知数列，，且，，，则 ；设，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】根据等差数列的定义得出的通项公式，由累加法得出的通项公式，进而得出，利用作商法证明数列单调性，即可得出最小值.
【详解】
数列为等差数列，即
累加得，则
即
当时，
当时，
，故
当时，数列为递增数列，
的最小值为
故答案为：；
【点睛】本题主要考查了由定义求等差数列的通项公式，累加法求通项公式，确定数列的最小项，关键是利用作商法证明数列的单调性，属于较难题.
五、解答题
17．已知在等比数列中，，且是和的等差中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用等差中项的性质列方程，由此求得，进而求得数列的通项公式；
（2）利用分组求和法求得.
【详解】（1）设等比数列的公比为，则，则，，
由于是和的等差中项，即，即，解得.
因此，数列的通项公式为；
（2），
.
【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列的通项公式，考查分组求和法，属于中档题.
18．已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上.
(1)求圆C的方程；
(2)过点的直线l与圆C交于P，Q两点，如果，求直线l的方程.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）计算的垂直平分线，计算交点得到圆心，再计算半径得到答案.
（2）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离公式结合弦长公式计算得到答案.
【详解】（1），的中点为，故的垂直平分线为，
即，，解得，故圆心为，
半径，故圆方程为.
（2）当直线斜率不存在时，此时，满足条件，直线方程为；
当直线斜率存在时，设直线方程为，即，
，故圆心到直线的距离为，解得，
故直线方程为，即.
综上所述：直线的方程为或.
19．在平面直角坐标系中，已知点坐标分别为，为线段上一点，直线与轴负半轴交于点，直线与交于点.
（1）当点坐标为时，求直线的方程；
（2）求与面积之和的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）先求出的方程，进而得点坐标，再求出直线的方程与直线的方程，进而可得点坐标，即可求直线的方程；
（2）先根据题意得的方程，并设，进而得直线的方程，故，并结合题意得，进而得，再整理用基本不等式求解即可得答案.
【详解】解：（1）当点坐标为时，的方程为：，
所以，故直线的方程为：，
又因为直线的方程为，
所以直线与直线联立得，
所以直线的方程为：.
（2）直线的方程为：，设，
所以直线的方程为：，故，
由于直线与轴负半轴交于点，
所以，故
所以

.
当且仅当时，即时等号成立，
所以与面积之和的最小值为.
【点睛】本题考查直线的方程的求解，考查运算能力，是中档题.
20．已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，
（1）求反射光线所在的方程；
（2）在直线l上求一点P，使；
（3）若点Q在直线l上运动，求的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）根据题意，求出点A关于直线l的对称点C的坐标，反射光线为直线CB，两点式写出方程，化简整理成一般式方程；
（2）点是线段AB的垂直平分线与l的交点，求出线段AB的垂直平分线，解方程组求交点坐标即可；
（3）设，整理之后为，转化为求的最小值，进而转化为AB的中点D到直线l的距离的平方求解．
【详解】（1）设线段AB中点D，点A关于直线l的对称点，直线AC与直线l交于，
因为直线AC与直线l垂直，并且过点A，
所以其方程为，即，
由，，解得，，即M坐标为．
因为A、C两点关于直线l对称，所以关于点M对称，
所以，，
所以
根据光线反射定律，反射光线经过B、C两点，
由直线的两点式方程得：
直线BC方程为，
即反射光线所在直线的方程为
设线段AB的垂直平分线为m，因为，
所以点P在直线m上，又因为点P在直线l上，
所以点P为直线l与m交点，
由，的坐标可知，
线段AB中点，直线AB斜率为，
所以其垂直平分线m斜率，
因其经过点D，由直线的点斜式方程得直线m的方程为
，即．
与直线l的方程联立

解方程组得P点坐标为
设点Q坐标为，令，
则
，
当且仅当最小时，u取得最小值.
即点Q到线段AB中点D距离最小，
因为点Q在直线l上，所以点Q是点D在直线l上的射影，
此时DQ是点D到直线l的距离，由点到直线距离公式得
．
所以．
21．已知数列为公差不为零的等差数列，是数列的前项和，且、、成等比数列，.设数列的前项和为，且满足.
（1）求数列、的通项公式；
（2）令，证明：.
【答案】（1）,
（2）证明见解析
【解析】（1）利用首项和公差构成方程组，从而求解出的通项公式；由的通项公式求解出的表达式，根据以及，求解出的通项公式；
（2）利用错位相减法求解出的前项和，根据不等关系证明即可.
【详解】（1）设首项为，公差为.
由题意，得，解得，
∴，
∴，∴
当时，
∴，.当时，满足上式.
∴
（2），令数列的前项和为.
两式相减得
∴恒成立，得证.
【点睛】本题考查等差数列、等比数列的综合应用，难度一般.（1）当用求解的通项公式时，一定要注意验证是否成立；（2）当一个数列符合等差乘以等比的形式，优先考虑采用错位相减法进行求和，同时注意对于错位的理解.
22．森林资源是全人类共有的宝贵财富，其在改善环境，保护生态可持续发展方面发挥着重要的作用.2020年12月12日，习近平主席在全球气候峰会上通过视频发表题为《继往开来，开启全球应对气候变化的新征程》的重要讲话，宣布“到2030年，我国森林蓄积量将比2005年增加60亿立方米”.为了实现这一目标，某地林业管理部门着手制定本地的森林蓄积量规划.经统计，本地2020年底的森林蓄积量为120万立方米，森林每年以25%的增长率自然生长，而为了保证森林通风和发展经济的需要，每年冬天都要砍伐掉万立方米的森林.设为自2021年开始，第年末的森林蓄积量.
（1）请写出一个递推公式，表示二间的关系；
（2）将（1）中的递推公式表示成的形式，其中，为常数；
（3）为了实现本地森林蓄积量到2030年底翻两番的目标，每年的砍伐量最大为多少万立方米？（精确到1万立方米）（可能用到的数据：，，）
【答案】（1）；（2）.；（3）19万立方米.
【解析】（1）由题意得到；
（2）若递推公式写成，则，再与递推公式比较系数；
（3）若实现翻两番的目标，则，根据递推公式，计算的最大值.
【详解】解：（1）由题意，得，
并且.①
（2）将化成，②
比较①②的系数，得解得
所以（1）中的递推公式可以化为.
（3）因为，且，所以，由（2）可知，所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列，
其通项公式为：，
所以.
到2030年底的森林蓄积量为该数列的第10项，
即.
由题意，森林蓄积量到2030年底要达到翻两番的目标，
所以，即.
即.
解得.
所以每年的砍伐量最大为19万立方米.
【点睛】方法点睛：递推公式求通项公式，有以下几种方法：
1.型如：的数列的递推公式，采用累加法求通项；
2.形如：的数列的递推公式，采用累乘法求通项；
3.形如： 的递推公式，通过构造转化为，构造数列是以为首项，为公比的等比数列，
4.形如： 的递推公式，两边同时除以，转化为的形式求通项公式；
5.形如：，可通过取倒数转化为等差数列求通项公式.