2023-2024学年江西省上饶市广丰中学高二上学期10月月考数学试题含答案

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一、单选题
1．点到直线距离的最大值为（ ）
A．5B．C．D．3
【答案】A
【分析】首先确定直线所过的定点，再利用数形结合求点到直线的距离的最大值.
【详解】直线：，

令，，得直线过定点，
所以直线表示过定点的直线，如图，当时，表示点到直线的距离，
当不垂直于时，表示点到直线的距离，显然，
所以点到直线距离的最大值为,
所以点到直线距离的最大值为.
故选：A
2．两条直线：，：互相垂直，则a的值是（ ）
A．0B．－1C．－1或3D．0或－1
【答案】C
【分析】根据两线垂直求解即可；
【详解】解：因为直线与互相垂直，
所以，
即：，
解得：或 .
故选:C.
3．直线和圆的位置关系为（ ）
A．相交B．相切
C．相离D．无法确定
【答案】A
【分析】根据直线与圆的位置关系列式判断即可.
【详解】由，得，
所以圆心为，半径为，
而直线可化为，
所以圆心到直线的距离为，
则直线和圆相交.
故选：A
4．已知a、，圆：与圆交于不同的两点、，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】可转化为，将两点，分别代入两圆方程，点差法化简，联立即得解.
【详解】设圆与圆交于不同的两点、，
则，．
将，分别代入，
得①，②，
①-②得，
，．
将，分别代入，
得③，④，
③-④得，
，即，
将代入得，解得.
故选：C.
5．椭圆：的左顶点为，点，是上的任意两点，且关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再结合可求出离心率.
【详解】由题意得，设，
因为点，是上的任意两点，且关于轴对称，
所以，，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以离心率，
故选：C

6．已知双曲线：，是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得双曲线的一条渐近线与直线，利用平行线间的距离公式求出它们之间的距离d，则由题意可得，从而可求出离心率的范围
【详解】双曲线的一条渐近线方程为，即，
则直线与直线的距离为
，
因为点是直线上任意一点，
且圆与双曲线的右支没有公共点，
所以，即，得离心率，
因为，所以双曲线的离心率的取值范围为，
故选：A.
7．已知抛物线：的焦点为，是抛物线在第一象限的一点，过作的准线的垂线，垂足为，的中点为，若直线经过点，则直线的斜率为（ ）
A．1B．2C．D．3
【答案】C
【分析】设，进而可得，再根据抛物线定义可得，结合列式可得，进而求得.
【详解】由题意，设，则，又的中点为，故.
由抛物线定义可得， 故.
则，因为直线经过点，即，
故，又是抛物线在第一象限的一点，故，解得.
故，直线的斜率为.

故选：C
8．中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的数字“8”对应着数学曲线中的双纽线．在平面上，把与定点距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线．曲线是当时的双纽线，是曲线上的一个动点，则下列是关于曲线的四个结论，正确的是（ ）
A．曲线不可能关于原点对称
B．曲线上满足的点有多个
C．曲线上任意一点到坐标原点O的距离都大于4
D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为
【答案】D
【分析】根据双纽线的定义求出曲线的方程，逐一判断各选项的真假即可.
【详解】设是曲线上任意一点，根据双纽线的定义可得：
，
时，曲线的方程为，
整理可得：，则，
可得，解得.
对于A，用替换方程中的，原方程不变，
所以曲线关于原点中心对称，故A错误；
对于B，曲线上点满足，则点在轴上，即在直线上，
代入曲线的方程，可得，解得，
所以这样的点有且仅有一个，即为原点，故B错误；
对于C，，
因为，所以，所以，
所以，
即曲线上任意一点到坐标原点O的距离都不大于4，故C错误；
对于D，直线与曲线一定有公共点，
将代入曲线的方程中，得，
若直线与曲线只有一个交点，则此方程无非零解，
当时，得方程无解，
因为，所以时无解，解得或，故D正确.
故选：D
二、多选题
9．已知直线，圆的圆心坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过点
B．
C．直线被圆截得的最短弦长为
D．当时，圆上存在无数对点关于直线对称
【答案】ABD
【分析】求解直线系结果的定点判断A；圆的圆心求解、判断B；求解直线被圆截的弦长判断C，利用圆的圆心到直线的距离判断D．
【详解】直线，恒过点，所以A正确；
圆的圆心坐标为，，，所以B正确；
圆的圆心坐标为，圆的半径为2．
直线，恒过点，圆的圆心到定点的距离为：，
直线被圆截得的最短弦长为，所以C不正确；
当时，直线方程为：，经过圆的圆心，所以圆上存在无数对点关于直线对称，所以D正确．
故选：ABD．
10．已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆C上的一点，且在第一象限，点为的内心，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．的最大值为
【答案】BCD
【分析】对A，根据椭圆基本量的关系与三角形面积公式可表达的面积，再化简判断即可；对B，设的内切圆Q与的分别切于点A，B，D，再根据内切圆的性质化简分析即可；对C，由B结合椭圆定义可得，再根据点到点的距离公式与椭圆的方程化简可得即可判断；对D，设，再根据三角恒等变换结合三角函数最值判断即可.
【详解】对A，已知椭圆的实半轴长，虚半轴长，半焦距长，
的面积，所以，
所以，故选项A错误;
对B，设的内切圆Q与的分别切于点A，B，D，则
．故选项B正确：
对C，∵，联立，可得，
又∵，
∴，∴，故选项C正确：
对D，设，
则，
∴当时取得最大值，故选项D正确．

故选：BCD．
11．已知点P在双曲线C：上，分别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则（ ）
A．B．
C．点P到x轴的距离为4D．
【答案】BC
【分析】利用双曲线的定义可判断选项，取点P的坐标为即可判断选项，利用三角形面积公式即可判断选项，利用余弦定理即可判断选项.
【详解】由已知得双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，
则右焦点的横坐标为，
由双曲线的定义可知，，故错误；
设点，则，
所以，故C正确；
由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，
得，
由双曲线的定义，得，
所以，故B正确；
由余弦定理,得 ，
所以，故D错误．
故选：BC．
12．已知抛物线：的焦点到准线的距离为2，过点的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．此抛物线上与焦点的距离等于3的点的坐标是
B．若，则点到轴的距离为3
C．是准线上一点，是直线与的一个交点，若，则
D．
【答案】BCD
【分析】首先根据抛物线的几何意义，求出抛物线方程，根据焦半径公式判断A，设、，由焦点弦的性质判断B，根据三角形相似判断C，首先证明，再利用基本不等式判断D.
【详解】因为抛物线：的焦点到准线的距离为2，所以，
则抛物线：，所以焦点，准线为，
对于A：设该点为，则，解得，所以，解得，
所以此抛物线上与焦点的距离等于3的点的坐标是或，故A错误；
对于B：设、，则，解得，
又为线段的中点，则，所以点到轴的距离为，故B正确；
对于C：过点作准线的垂线段，垂足为，则，
设准线与轴交于点，则，因为，所以，
则，则，所以，
即，所以，则，故C正确；
对于D：依题意过点的直线的斜率不为，设过点的直线为，
由，消去得，
显然，所以，，则，
，
所以，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，故D正确；
故选：BCD
三、填空题
13．若直线：与直线：平行，则实数 .
【答案】
【分析】根据平行关系得到方程，求出答案.
【详解】由题意得，解得，检验符合.
故答案为：
14．已知，是圆：上的两个不同的点，若，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】为和到直线距离之和的倍，是的中点到直线距离的倍，利用点轨迹，求取值范围.
【详解】由题知，圆的圆心坐标，半径为2，因为，所以．
设为的中点，所以，所以点的轨迹方程为．
点的轨迹是以为圆心半径为的圆.
设点，，到直线的距离分别为，，，
所以，，，
所以．
因为点到直线的距离为，所以，
即，所以．
所以的取值范围为．
故答案为：
【点睛】思路点睛：
利用的几何意义，问题转化为为和到直线距离之和，再转化为的中点到直线距离，由点轨迹是圆，可求取值范围.
15．经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，交椭圆于两点，则 ．
【答案】/
【分析】将直线方程与椭圆方程联立后可得韦达定理的结论，结合韦达定理可求得结果.
【详解】由椭圆方程得：右焦点，则直线方程为：，
由得：，则，
，，
.
故答案为：.
16．已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，圆与直线相交于两点，与线段相交于点，且．若是线段上靠近的四等分点，则抛物线的方程为 ．
【答案】
【分析】设，表示出，利用抛物线定义、点在抛物线上以及圆的弦长的几何性质列出关于的方程，即可求得p，即得答案.
【详解】由可知，
设，则，
则，故，即①；
又点在抛物线上，
故②，且，即③，
②联立得，得或，
由于，故，结合③，
解得，故抛物线方程为，
故答案为：
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要结合抛物线的定义以及圆的弦长的几何性质，找出参数间的等量关系，从而列出方程组，即可求解.
四、解答题
17．已知直线l经过两条直线和的交点.
(1)若直线l与直线平行，求直线l的方程；
(2)若直线l与夹角为，求直线l的方程.
【答案】(1)；
(2)，另一个是.
【分析】（1）联立直线的方程可得交点为，再设直线l的方程为，代入求解即可；
（2）设l的点法式方程为，再根据夹角的余弦公式化简求解即可.
【详解】（1）由，可得，即直线和的交点为，
因为直线l平行于直线，可设直线l的方程为，
把点代入方程得，
解得，所以直线l的方程为；
（2）设l的点法式方程为（a和b不同时为零），
根据夹角的余弦公式得，化简为.
所以或，此时.
所以直线l的方程有两个，一个是，另一个是.
18．已知圆，点与为圆上两点.
(1)若直线过点，且被圆截得的弦长为2，求直线的方程；
(2)对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围．
【答案】(1)或；
(2)
【分析】（1）根据题意，求得圆心到的距离，分当直线的斜率不存在和直线的斜率存在，两种情况讨论，即可求解；
（2）设，得到，再设，得到，设圆：，得到，得到方程组有解，结合，进而得出不等式组在时恒成立，
设，求得，解得，进而求得的取值范围.
【详解】（1）解：由圆，可得圆心，半径，
因为过点的直线被圆截得的弦长为，则圆心到的距离，
当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足题意．
当直线的斜率存在时，设，即，
则，可得，所以的方程为，
综上，直线的方程是或.
（2）解：因为，，所以直线的方程为，即，
设，因为点在线段上，所以且，所以，
设，因为为的中点，所以.
设圆：，
由，在圆上得，
整理得，若，存在，则方程组有解，
即圆心为，半径为的圆与圆心为，半径为的圆有公共点，
根据两圆位置关系可知，
即在时恒成立，
所以，
整理得在时恒成立，所以，
设，，所以，
所以，即，解得
若为的中点，则点在圆外，所以，
即在上恒成立，
所以，解得，
综上所述，实数的取值范围为.
19．已知椭圆方程为，过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)对于，是否存在实数k，使得直线分别交椭圆于点P，Q，且，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)满足条件的k不存在，理由见解析
【分析】（1）根据斜率定义得到，求出过点，的直线方程，由点到直线距离公式得到方程，求出，进而得到，得到椭圆方程；
（2）联立直线与椭圆方程，得到两根之和，两根之积，设PQ的中点为M，由得到，由斜率关系得到方程，求出或，经过检验，均不合要求.
【详解】（1）因为过点，的直线倾斜角为，
所以，即，
过点，的直线方程为，
故原点到该直线的距离为，解得，
故，所以椭圆的方程是．
（2）记，．将代入得，
，
则，解得或，
设PQ的中点为M，则，．
由，得，
∴，
∴，得或，
由于或，
故，均使方程没有两相异实根，
∴满足条件的k不存在．
20．已知双曲线的两条渐近线分别为，.
(1)求双曲线的离心率；
(2)为坐标原点，过双曲线上一点作直线分别交直线，于，两点（，分别在第一、第四象限），且，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据渐近线方程可得，再通过离心率公式求得离心率；
（2）根据双曲线过点可得双曲线方程，由已知可设点，，再由，可得，，进而可得，设直线的倾斜角为，则，即可得，即可得的面积.
【详解】（1）因为双曲线的渐近线分别为，，
所以，，
所以双曲线的离心率为；
（2）由（1）得，
则可设双曲线，
因为在双曲线上，
所以，则双曲线的方程为，
又点，分别在与上，
设，，
因为，
所以，
则，，
又，同理得，
设的倾斜角为，且，则，
所以.
【点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.
21．已知椭圆：的离心率为，的左右焦点分别为，，是椭圆上任意一点，满足.抛物线：的焦点与椭圆的右焦点重合，点是抛物线的准线上任意一点，直线，分别与抛物线相切于点.
(1)若直线与椭圆相交于，两点，且的中点为，求直线的方程；
(2)设直线，的斜率分别为，，证明：为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）已知条件待定，得到椭圆方程.已知弦中点，结合点差法求出直线的斜率，进而得到直线方程；
（2）根据焦点求出抛物线的方程为，设过点的直线方程为，与抛物线方程联立，利用相切得出，可得，再利用韦达定理可得答案.
【详解】（1）由，得，则.
又椭圆：的离心率为，设椭圆的焦半径为，
则，解得，则，
所以椭圆：.
由直线与椭圆相交于，两点，设，，
∴，，
两式作差得：，
即：，
由的中点为，
可得：，，代入上式得，
当时，，，两点重合，不合题意；
当时，直线的斜率，
∴直线的方程为：，即.

（2）由（1）知，则抛物线的焦点为，
所以，抛物线的标准方程为，准线方程为，
由于点是抛物线的准线上任意一点，故可设，
由直线，分别与抛物线相切于点可知，
直线，的斜率存在且都不为，
设过点的直线方程为，
联立消去,
得关于的方程，
若过点的直线与抛物线相切，
则其判别式，
化简得到关于的二次方程，
由题意知，直线，的斜率即该关于的二次方程的两根，即为、，
则由韦达定理知，，
故为定值，且定值为.

22．已知抛物线T的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过，，，四点中的两点.
(1)求抛物线T的方程：
(2)已知圆，过点作圆的两条切线，分别交抛物线T于，和，四个点，试判断是否是定值?若是定值，求出定值，若不是定值，请说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值16．
【分析】（1）由题意，根据对称性可知点和点不可能同时在抛物线T上，点和点也不可能同时在抛物线T上，分别设抛物线的方程为和，再进行检验即可求解；
（2）设出直线AB的方程，根据点到直线的距离公式求出的表达式，同理得到的表达式，易知是方程的两个根，利用韦达定理得到和，将直线AB与抛物线联立，利用结合韦达定理得到关于的表达式，同理得到关于的表达式，再代入式子进行求解即可．
【详解】（1）抛物线T的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过，，，四点中的两点，
由对称性，点和点不可能同时在抛物线T上，点和点也不可能同时在抛物线T上，
则抛物线只可能开口向上或开口向右，
设，若过点，则，得，
∴，抛物线过点，∴符合题意；
设，若过点，则，得，
∴，但抛物线不过点，不合题意．
综上，抛物线T的方程为．
（2），设直线，即，
由AB与圆相切得，∴，

设，同理可得，
∴是方程的两根，．
联立，消y得，∴，
同理，
∴
所以为定值16．
【点睛】方法点睛：
解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．