2024长沙一中高三上学期月考（四）数学试题含解析

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一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则集合等于（ ）
A. ；B. ；C. ；D. ．
2. 已知平面向量，则与方向相同的单位向量是（ ）
A. B.
C. D.
3. 第19届亚运会正在杭州举行，运动员甲就近选择A餐厅或者B餐厅就餐，第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.5，运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（ ）
A. 0.75B. 0.6C. 0.55D. 0.45
4. 函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）

A. 函数图象关于点对称
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在单调递减
D. 该图象向右平移个单位可得的图象
5. 若与轴相切的圆与直线也相切，且圆经过点，则圆的半径为（ ）
A. 1B. C. 或D. 1或
6. 若函数是偶函数，则的最小值为（ ）
A. 4B. 2C. D.
7. 已知函数，，，若，图像上分别存在点M，N关于直线对称，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，，侧棱底面，是的中点，是内的动点，，则的轨迹长为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩 上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ）
A. 由“在相邻两行中，除1以外的每个数都等于它肩上的两个数字之和”猜想
B. 由“第行所有数之和为”猜想：
C. 第20行中，第10个数最大
D. 第15行中，第7个数与第8个数的比为7：9
10. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 的最大值为D. 的最大值为
11. 如图，等边三角形的边长为4，为边的中点，于.将沿翻折至的位置，连接.那么在翻折过程中，下列说法当中正确的是（ ）
A.
B. 四棱锥的体积的最大值是
C. 存某个位置，使
D. 在线段上，存在点满足，使为定值
12. 已知双曲线：，点为双曲线右支上一个动点，过点分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为，两点，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线的离心率为
B. 存在点，使得四边形为正方形
C. 直线，的斜率之积为2
D. 存在点，使得
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 已知角的终边过点，且，则___________.
14. 已知圆台上、下底面直径分别为2和4，高为1，则该圆台外接球的表面积为__________.
15. 设为抛物线的焦点，，，为该抛物线上不同的三点，若，为坐标原点，则___________.
16. 函数的值域为__________.
四、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 在平面四边形ABCD中，，，．
（1）若的面积为，求AC；
（2）若，，求．
18. 某电视台为了解不同性别的观众对同一档电视节目的评价情况，随机选取了100名观看该档节目的观众对这档电视节目进行评价，已知被选取的观众中“男性”与“女性”的人数之比为，评价结果分为“喜欢”和“不喜欢”，并将部分评价结果整理如下表所示.
（1）根据所给数据，完成上面的列联表；
（2）依据的独立性检验，能否认为性别因素与评价结果有关系？
（3）电视台计划拓展男性观众市场，现从参与评价的男性中，按比例分层抽样的方法选取3人，进行节目“建言”征集奖励活动，其中评价结果为“不喜欢”的观众“建言”被采用的概率为，评价结果为“喜欢”的观众“建言”被采用的概率为，“建言”被采用奖励100元，“建言”不被采用奖励50元，记3人获得的总奖金为X，求X的分布列及数学期望.
附：
19. 已知等差数列的前项和为，，为整数，且.
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，且数列前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围.
20. 如图，已知正方体的棱长为2. ，分别为与上的点，且，.

（1）求证：；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
21. 已知经过点的椭圆的上焦点与抛物线焦点重合，过椭圆上一动点作抛物线的两条切线，切点分别为．
（1）求和的方程；
（2）当在椭圆位于轴下方的曲线上运动时，试求面积的最大值．
22. 已知函数.
（1）若，判断函数单调性，并说明理由；
（2）若时，恒成立.
（i）求实数的取值范围；评价
性别
喜欢
不喜欢
合计
男性
15
女性
合计
50
100
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828