2024长沙雅礼中学高三上学期月考（三）数学试卷含答案

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命题人：黄启光审题人：李群丽
得分：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟，满分150分．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数（为虚数单位），是z的共轭复数，则的值为
A．1B．C．D．
2．设全集，，，则
A．B．C．D．
3．已知向量，满足，，，则
A．5B．3C．2D．1
4．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先成果，哥德巴赫猜想如下：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数（一个整数除了1和它本身没有其他约数的数称为素数）的和，如，，在不超过25的素数中，随机选取2个不同的数，则这2个数恰好含有这组数的中位数的概率是
A．B．C．D．
5．若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是
A．B．C．D．
6．已知，，．则a，b，c的大小关系是
A．B．C．D．
7．已知，，则
A．B．C．6D．4
8．已知函数的零点分别为，，…，，），则
A．B．C．0D．2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知随机变量X服从正态分布，则下列选项正确的是（参考数值：随机变量服从正态分布，则，，
）
A．B．
C．D．
10．下列说法正确的是
A．若不等式的解集为，则
B．若命题p：，，则p的否定为：，
C．在△ABC中，“”是“”的充要条件
D．若对恒成立，则实数x的取值范围为
11．已知函数（，，）的部分图象如图所示，若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，则下列说法正确的是
A．函数的解析式为B．函数的解析式为
C．函数图象的一条对称轴是D．函数在区间上单调递增
12．已知三棱锥P-ABC内接于球O，PA⊥平面ABC，，AB⊥AC，，点D为AB的中点，点Q在三棱锥P-ABC表面上运动，且，已知在弧度制下锐角，满足：，，则下列结论正确的是
A．过点D作球的截面，截面的面积最小为B．过点D作球的截面，截面的面积最大为
C．点Q的轨迹长为D．点Q的轨迹长为
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．数据2，4，6，8，10，12，13，15，16，18的第70百分位数为 ．
14．已知F是双曲线的左焦点，，P是双曲线右支上的一动点，则的最小值为 ．
15．若的展开式中第4项是常数项，则除以9的余数为 ．
16．已知函数的定义域为，且，函数在区间内的所有零点为（，2，3，…，n）．若，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
半径为R的圆内接△ABC，，∠ACB为锐角．
（1）求∠ACB的大小；
（2若∠ACB的平分线交AB于点D，，，求△ABC的面积．
18．（本小题满分12分）
已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
19．（本小题满分12分）
如图①，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB，CD的中点，，M为DF的中点．现将四边形BEFC沿EF折起，使平面BEFC⊥平面AEFD，得到如图②所示的多面体．在图②中，
图①图②
（1）证明：EF⊥MC；
（2）求平面MAB与平面DAB夹角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）讨论函数零点的个数；
（2）是否存在正实数k，使得恒成立．
21．（本小题满分12分）
某梯级共20级，某人上梯级（从0级梯级开始向上走）每步可跨一级或两级，每步上一级的概率为，上两级的概率为，设他上到第n级的概率为．
（1）求他上到第10级的概率（结果用指数形式表示）；
（2）若他上到第5级时，求他所用的步数X的分布列和数学期望．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆C：（）的离心率为，其左、右焦点分别为，，点P是坐标平面内一点，且（O为坐标原点）．
（1）求椭圆C的方程；
（2过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标和△MAB面积的最大值；若不存在，说明理由．
大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（三）
数学参考答案
一、二、选择题
2．D
【解析】易知，，∴，故．故选D．
3．D
【解析】由条件知，同向共线，所以，故选D．
4．C
【解析】不超过25的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23共9个，中位数为11，任取两个数含有1l的概率为，故选C．
5．C
【解析】由题意在区间上有零点，∴，，
∴，又当时，，单调，不符合，∴，∴，故选C．
6．B
【解析】∵，∴，又，∴，∴．故选B．
7．A
【解析】由条件知，，两边同除以得：，∴，从而，故选A．
8．A
【解析】由，为其中一个零点，
令，∵，∴令，
∵
∴，∴，∴，∴，所以）共有三个零点，0，，∴，故选A．
9．AC
【解析】∵随机变量X服从正态分布，
正态曲线关于直线对称，且，，从而A正确，B错误，
根据题意可得，，，
∴，故C正确；
与不关于直线对称，故D错误．故选AC．
10．AD
【解析】对于A，不等式解集为，则方程的两根为，2，故，则，，所以，故A正确；对于B，全称命题的否定是特称命题，量词任意改成存在，结论进行否定应是小于等于，故B不正确；对于C，，又，所以或，显然不是充要条件，故C错误；对于D，令，则，对恒成立，则
，解得，故D正确，故选AD．
11．ABD
【解析】由图知，，，∴，得．故．
∵点在函数图象上，∴，即．又∵，∴，∴．
故函数的解析式为，故A正确；
将的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，可得的图象，再将所得图象向右平移个单位长度，可得的图象，故B正确；
当时，，不是最值，故直线不是图象的一条对称轴，故C不正确；
当时，，则在还上单调递增，故D正确，故选ABD．
12．ABD
【解析】三棱锥P-ABC的外接球即为以AB，AC，AP为邻边的长方体的外接球，∴，∴，
取BC的中点，∴为△ABC的外接圆圆心，∴平面ABC，如图．
当OD⊥截面时，截面的面积最小，∵，此时截面圆的半径为，∴最小截面面积为，A对；当截面过球心时，截面圆的面积最大为，B对；由条件可得，，则点Q的轨迹分别是以点P为圆心，4为半径的三段弧，其中一段弧圆心角为，两段弧圆心角为，弧长为，D对．故选ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．14
【解析】因为为整数，所以第70百分位数为第7个数13和第8个数15的平均值14．
14．9
【解析】因为F是双曲线的左焦点，所以，设其右焦点为，则由双曲线定义得．
15．1
【解析】由题知，，
因第4项为常数项，所以当时，，所以，
则，而，1除9的余数为1，所以被9除余1．
16．
【解析】函数的零点转化为与的交点的横坐标，作出函数和（）的图象可知，，，，，…，若，则，所以实数a的取值范围为．
四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【解析】
（1）由正弦定理，又角C为锐角，所以．
（2）∵CD为∠ACB的平分线，，
∴，
又∵，
∴，则有，
∴，
∴．
18．【解析】
（1）设数列的公差为d，
令，得，所以．①
令，得，所以．②
解①②得，，所以．
（2）由（1）知，
所以，
所以，
两式相减，得
．
所以．
19．【解析】
（1）证明：由题意，可知在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴EF⊥CD．
∴折叠后，EF⊥DF，EF⊥CF．
∵，DF，平面DCF，
∴EF⊥平面DCF．
又平面DCF，
∴EF⊥MC．
（2）∵平面BEFC⊥平面AEFD，平面平面，且平面DF⊥EF，平面AEFD，
∴DF⊥平面BEFC，又平面BEFC，
∴DF⊥CF，
∴DF，CF，EF两两垂直．
以F为坐标原点，分别以FD，FC，EF所在直线为．x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz．
由题意知．
∴，，，．
∴，，．
设平面MAB，平面ABD的法向量分别为，，
由得，
取，则为平面MAB的一个法向量．
由得，
取，则为平面ABD的一个法向量．
∴，
平面MAB与平面DAB夹角的余弦值．
20．【解析】
（1）设，则，
可知在上单调递减，又，，
所以方程有且仅有一个根，即函数有且只有1个零点．
（2）令得（），即（）．
设，，则，
设，，则，
因为，
当时，，
当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
则恒成立，
所以函数在上单调递减，又，，
所以不可能存在正实数k，使得恒成立．
21．【解析】
（1）由条件知，，
且（）．
所以，
所以，
又，∴，∴．
∴．
（2）由（1）知此人上到第5级的概率为，
X的可能取值为3，4，5
，，
所以X的分布列为
所以．
22．【解析】
（1）设，，，则由；得，
由得，即．所以．
又因为，所以，．因此所求椭圆C的方程为．
（2）设动直线l的方程为：，由得．
设，．
则，．
假设在y上存在定点，满足题设，
则，．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
D
C
C
B
A
A
AC
AD
ABD
ABD
X
3
4
5
P