2023-2024学年江西省新余市实验中学高二上学期10月数学模拟试题含答案

这是一份2023-2024学年江西省新余市实验中学高二上学期10月数学模拟试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知空间向量且，，，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，DB．A，B，C
C．B，C，DD．A，C，D
【答案】A
【分析】A选项，计算出，A正确；B选项，设，得到方程组，无解；C选项，设，得到方程组，无解；D选项，计算出，设，得到方程组，无解.
【详解】A选项，，所以A，B，D三点共线，A正确；
B选项，设，则，即，无解，B错误；
C选项，设，则，即，无解，C错误；
D选项，，设，
即，即，无解，D错误.
故选：A
2．已知直线的方向向量，直线的方向向量，若且，则的值是（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】D
【分析】根据向量模长运算可求得，根据向量垂直关系可求得，进而得到结果.
【详解】，或，
当时，，，解得：，；
当时，，，解得：，；
综上所述：的值为或.
故选：D.
3．已知，若共面，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可知，利用向量相等，列方程组求实数的值.
【详解】若共面，则，
即，
所以，解得：.
故选：B
【点睛】本题考查空间向量共面，重点考查共面的公式，计算能力，属于基础题型.
4．如图，已知在平行六面体中，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意得，进而根据空间向量求模即可.
【详解】由题意可知，因为，
所以，所以．
故选：A．
5．在梯形中，，且和所在直线的方程分别是与，则梯形的面积为（ ）
A．9B．18C．D．
【答案】C
【分析】根据直线方程可得，从而由两平行直线间的距离得出梯形的高，根据梯形面积公式可得出答案.
【详解】由直线的方程为：，直线的方程为
可知，所以梯形的高即为直线和间的距离，所以梯形的面积为.
故选：C.
6．当直线被圆截得的弦长最短时，实数（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】根据直线方程可得直线经过定点，再由圆心到直线距离最大时弦长最短，由斜率关系即可求得.
【详解】将直线的方程变形为，
由可导，所以直线经过定点，
圆的标准方程为，圆心为，因为，所以点在圆内，
故当时，圆心到直线的距离取最大值，此时直线被圆截得的弦长最短，
因为，直线的斜率为，
所以，解得.
故选：B.
7．已知是坐标原点，若圆上有2个点到的距离为2，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出到原点的距离为2的轨迹方程，再由题意可知圆与圆有两个公共点，利用圆与圆的位置关系即可求得实数的取值范围.
【详解】将圆的方程化为标准方程得，所以.
到原点的距离为2的轨迹方程为，
因为圆上有2个点到的距离为2，所以圆与圆相交，
所以，又，
解得，即实数的取值范围为.
故选：A.
8．已知点在椭圆上，是椭圆的左､右焦点，若，且的面积为，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据题意由向量数量积和三角形面积公式可得，再利用椭圆定义和基本不等式即可求出.
【详解】如图所示：

不妨设，
则可知，，
两式相除可得，所以，
又，所以，
可得，
由椭圆的定义，得（当且仅当时等号成立），
所以.
故选：B.
二、多选题
9．已知椭圆的左焦点为，点是上任意一点，则的值可能是（ ）
A．B．3C．6D．8
【答案】BC
【分析】根据到焦点距离的范围求解即可.
【详解】由题意可知，所以，即.
故选：BC.
10．已知三条直线：直线不能围成一个封闭图形，则实数的值可以是（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】ABC
【分析】根据题意可知，三条直线中有两条相互平行或三条线过同一点的情况下满足题意，分类讨论即可求得实数的值.
【详解】若中有两条相互平行，或三条线过同一点都不可以围成封闭图形，
若，由两直线平行与斜率之间的关系可得；
若，由两直线平行与斜率之间的关系可得；
联立可得，可知的交点为，
若交于同一点，可得，
故选：ABC.
11．已知圆，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．若点在圆的内部，则
B．若，则圆的公共弦所在的直线方程是
C．若圆外切，则
D．过点作圆的切线，则的方程是或
【答案】BCD
【分析】根据点在圆的内部解不等式即可判断A错误；将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程可知B正确；利用圆与圆外切，由圆心距和两半径之和相等即可知C正确；对直线的斜率是否存在进行分类讨论，由点到直线距离公式即可得D正确.
【详解】对于A，由点在圆的内部，得，解得，故错误；
对于B，若，则圆，
将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是，故B正确；
对于C，圆的标准方程为，圆心为，半径，
圆的标准方程为，圆心为，半径，
若圆外切，则，即，解得，故C正确；
对于D，当的斜率不存在时，的方程是，圆心到的距离，满足要求，
当的斜率存在时，设的方程为，
圆心到的距离，解得，
所以的方程是，故D正确.
故选：BCD.
12．如图，正方体的棱长为1，正方形的中心为，棱，的中点分别为，，则（ ）

A．
B．
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．点到直线的距离为
【答案】ABD
【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量逐项判断；
【详解】故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

，，，，
，选项A正确；
，
所以
根据三角函数两角正余弦关系解得：
，选项B正确；
，
选项C错误；
点到直线的距离为：，
而
所以选项D正确；
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：构建空间直角坐标系，运用空间向量解题是本题的思维出发点和突破点；
三、填空题
13．椭圆的四个顶点所围成的四边形的面积是 .
【答案】40
【分析】利用椭圆方程可写出四个顶点的坐标，即可求出围成的四边形的面积.
【详解】由椭圆方程可得椭圆的四个顶点分别为，
故这四个顶点围成的四边形为菱形，
所以面积.
故答案为：40
14．以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为 .
【答案】
【分析】根据题意得出半径，即可得出圆的标准方程.
【详解】以点为圆心，且与轴相切的圆的半径为1，
故圆的标准方程是.
故答案为：
15．已知直线经过点，且，两点到直线的距离相等，则直线的方程为 .
【答案】或
【分析】根据直线与直线平行，过直线过线段的中点进行分类讨论，从而求得的方程.
【详解】直线的斜率为，
所以过且平行于直线的直线方程为.
线段的中点坐标为，
所以过与线段中点的直线的方程为.
所以直线或符合题意.
故答案为：或

四、双空题
16．已知圆C上的任意一点到两个定点，的距离之比为，则圆C的方程是 ；在直线上存在点P满足：过P作圆C的切线，切点分别为M，N，且四边形PMCN的面积为，则实数m的取值范围是 .
【答案】 ； .
【分析】根据所给条件建立方程化简即可求出轨迹方程，再由圆的切线的性质及所给四边形面积求出，由圆心到直线距离小于等于4建立不等式求解即可.
【详解】设是圆C上的任意一点，则，
化简得圆C的方程为.
圆心C的坐标为，半径为，由题意知，，
所以，
，解得.
又点P在直线上，所以不小于C到直线l的距离，
即，解得，即实数m的取值范围是.
故答案为：；.
五、解答题
17．已知直线l的方程为．
(1)若直线l的倾斜角为，求k的值；
(2)已知直线l在x轴，y轴上的截距分别为a，b，若，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由直线斜率与倾斜角的关系，求k的值．
（2）求出直线l在x轴，y轴上的截距，根据方程得到k的值，可求直线l的方程.
【详解】（1）由题意可得
（2）在直线l的方程中，令，得，即，
令，得，即，
由，得，即，解得或，
所以直线l的方程为或.
18．（1）6名同学站成一排照相，其中甲、乙两人必须相邻的站法有多少种？
（2）一台晚会有6个节目，其中有2个小品，如果2个小品不连续演出，共有多少种不同的演出顺序？
【答案】（1）种；（2）种
【分析】（1）根据捆绑法求得正确答案.
（2）根据插空法求得正确答案.
【详解】（1）将甲、乙两人捆绑，则甲、乙两人必须相邻的站法有种
（2）先安排非小品的节目，然后将个小品节目插空安排，则演出顺序共有种.
19．已知.
(1)求点到直线的距离；
(2)求的外接圆的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用直线的两点式求得直线的方程为，由点到直线距离公式即可求出结果；
（2）设的外接圆的方程为，代入坐标联立解方程组即可求得结果.
【详解】（1）直线的方程为，
化简可得，
所以点到直线的距离.
（2）设的外接圆的方程为，
将的坐标代入，得
，即
解得；
故所求圆的方程为.
20．如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，且，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，证明，即可证明平面；
（2）求出直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值，即可得出答案.
【详解】（1）证明：如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则
则，
设为平面的一条法向量，
则，可取，
因为，所以，
又平面，
所以平面；
（2）解：设直线与平面所成的角为，
，
则，
所以直线与平面所成的角的正弦值为.
21．已知三棱柱中，.
(1)求证: 平面平面.
(2)若，在线段上是否存在一点使平面和平面所成角的余弦值为 若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)在线段上存在一点，且P是靠近C的四等分点.
【分析】(1)连接，根据给定条件证明平面得即可推理作答.
(2)在平面内过C作，再以C为原点，射线CA，CB，Cz分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，利用空间向量计算判断作答.
【详解】（1）在三棱柱中，四边形是平行四边形，而，则是菱形，连接，如图，
则有，因，，平面，于是得平面，
而平面，则，由得，，平面，
从而得平面，又平面，
所以平面平面.
（2）在平面内过C作，由(1)知平面平面，平面平面，
则平面，以C为原点，射线CA，CB，Cz分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，
因，，则，
假设在线段上存在符合要求的点P，设其坐标为，
则有，设平面的一个法向量，
则有，令得，而平面的一个法向量，
依题意， ，化简整理得：
而，解得，
所以在线段上存在一点，且P是靠近C的四等分点，使平面和平面所成角的余弦值为.
22．已知是实数，圆的方程是.
(1)若过原点能作出直线与圆相切，求实数的取值范围；
(2)若，圆与轴相交于点（点在点的左侧）.过点任作一条直线与圆相交于点.问：是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在实数
【分析】（1）由题意原点在圆上或圆外，则点到圆心的距离大于等于半径，从而可得答案.
(2)若存在实数，使得，则,由此条件先求出的坐标，假设出交点的坐标，表示出，最后利用韦达定理解出.
【详解】（1）因为过原点能作出直线与圆相切，所以原点在圆上或圆外.
所以，解得，
所以所求实数的取值范围是.
（2）在中，令得，即，解得，或，
因为，点在点的左侧，所以.
假设存在实数，使得，则的斜率互为相反数.
①当直线与轴垂直时，显然，此时是大于-4的任意实数.
②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，代入，得，
设，则
，
而
，
令，解得（满足）.
所以时，.
综上所述，存在实数，使得.