2023-2024学年辽宁省丹东市凤城市第一中学高二上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年辽宁省丹东市凤城市第一中学高二上学期10月月考数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．椭圆的焦点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由椭圆的标准方程求解即可.
【详解】由于椭圆标准方程为：.
，，所以，则.
又，所以焦点在轴上，故焦点坐标为：.
故选：C.
2．空间直角坐标系中，已知，，点关于平面对称的点为，则两点间的距离为（ ）
A．6B．C．D．
【答案】A
【分析】由对称关系可知，即可得，再由空间向量模长的坐标表示可求得.
【详解】根据题意可知，点关于平面对称的点的坐标为；
又，可得
所以两点间的距离为.
故选：A
3．已知直线l经过点，而且是直线l的一个法向量，则直线l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据直线法向量利用待定系数法即可得到答案.
【详解】设为平面直角坐标系中任意一点，
则P在直线l上的充要条件是与垂直．
又因为，所以，
整理可得一般式方程为．
故选：D.
4．如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，用向量，，表示，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案.
【详解】
.
故选：A
5．若点是直线：外一点，则方程表示（ ）
A．过点且与平行的直线
B．过点且与垂直的直线
C．不过点且与平行的直线
D．不过点且与垂直的直线
【答案】C
【解析】易知点的坐标不在直线上，根据两直线方程的一般形式中的系数相同，但不同，可得直线平行；
【详解】∵点不在直线：上，∴，
∴直线不过点，
又直线与直线：平行，
故选：C.
6．如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ）

A．B．C．4D．2
【答案】C
【分析】根据题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由二面角的平面角的定义知，
∴，
由，得，又，
∴
，
所以，即.
故选：C.
7．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】转化为点与连线的斜率，数形结合后由直线与圆的位置关系求解，
【详解】记，则为直线的斜率，
故当直线与半圆相切时，得k最小，
此时设，故，解得或（舍去），
即．
故选：C
8．设点，若在圆上存在点N，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据动点在圆的切线上可知为满足条件的最大角，据此列出三角不等式即可得解.
【详解】如图，

易知点在直线上，
设圆与直线相切于点，
当过的直线与圆交于点N且不相切时，O到直线MN的距离，
此时，，
所以，
假设存在点N，使得，
则只需，
在中，，
解得，且，
当时，显然存在满足要求的角，故.
故选：B
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是
B．直线在轴上的截距为1
C．如果，那么直线不经过第三象限
D．经过平面内任意相异两点，的直线都可以用方程表示.
【答案】CD
【分析】对A，利用直线方程互化及斜率公式，结合三角函数的性质即可，对B，利用截距的定义即可求解；对C，直线方程互化及已知条件即可求解；对D，利用直线的两点式方程即可求解.
【详解】对A：直线的方程为，
当时直线方程为，倾斜角，
当时，直线方程化为，斜率，
因为，所以，即，
又因为，所以，综上可得，故A错误；
对于B，将代入直线方程，可得，解得，故B错误；
对于C，因为，所以，
所以可化为，所以直线的斜率，纵截距，
所以该直线经过一、二、四象限，故C正确；
对对D：经过任意两个不同的点，的直线：
当斜率等于0时，，，方程为，能用方程表示；
当斜率不存在时，，，方程为，能用方程表示；
当斜率不为0且斜率存在时，直线方程为也能用此方程表示，故D正确.
故选：CD.
10．已知圆，直线，下列选项正确的是（ ）．
A．直线l与圆O一定相交
B．当时，圆O上有且仅有三个点到直线l的距离为
C．若圆O与圆恰有三条公切线，则
D．圆O上一点到直线l的距离的最大值为
【答案】BCD
【分析】根据直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】直线，即，
由解得，所以直线过定点.
A选项，由于所以，点在圆外，所以A选项错误.
B选项，当时，直线，
到直线的距离为，圆的半径为，
，所以此时圆O上有且仅有三个点到直线l的距离为，B选项正确.
C选项，圆，即，
若圆O与圆恰有三条公切线，所以两圆外切，，
所以，解得，所以C选项正确.
D选项，到直线的距离的最大值为，此时，
所以圆O上一点到直线l的距离的最大值为，所以D选项正确.
故选：BCD
【点睛】求解直线所过定点，方法是将题目所给直线重新化简，使得含参数的在一起，其它的在一起，然后由此列方程组来求得参数的值.求解直线和圆位置关系有关题目，关键点是圆心到直线的距离与半径的关系.
11．椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，则以下说法正确的是（ ）
A．过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为8
B．椭圆上存在点，使得
C．椭圆的离心率为
D．为椭圆上一点，为圆上一点，则点，的最大距离为3
【答案】ABD
【分析】结合椭圆定义判断A选项的正确性，结合向量数量积的坐标运算判断B选项的正确性，直接法求得椭圆的离心率，由此判断C选项的正确性，结合两点间距离公式判断D选项的正确性.
【详解】对于选项：由椭圆定义可得：，因此的周长为，所以选项正确；
对于选项：设，则，且，又，，
所以，，
因此，
解得，，故选项正确；
对于选项：因为，，所以，即，所以离心率，所以选项错误；
对于选项：设，，则点到圆的圆心的距离为，
因为，所以，
所以选项正确，
故选：ABD．
12．在棱长为2的正方体中，P，Q分别是棱BC，的中点，点M满足，，下列结论不正确的是（ ）
A．若，则平面MPQ
B．若，则过点M，P，Q的截面面积是
C．若，则点到平面MPQ的距离是
D．若，则AB与平面MPQ所成角的正切值为
【答案】AC
【分析】时有M与A重合，对于A选项，可以利用反证法判定；对于B选项，根据平面的性质计算即可；时，M为AB中点，对于CD选项，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量处理即可.
【详解】如图所示，时有M与A重合，
对于A，延长PQ交BB1于L，连接AL，易得平面平面MPQ=AL，
若平面MPQ，则，显然，且B、L不重合，矛盾，故A错误；
对于B，连接AD1、D1Q，易知平面APQD1即该截面，显然该截面为等腰梯形，
易得，，故B正确；
如图所示，时，M为AB中点，以D为中心建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面MPQ的法向量为，则，
令，则，故；
对于C，设点到平面MPQ的距离为，则，即C错误；
对于D，设AB与平面MPQ所成角为，则，
所以，即D正确.
故选：AC
三、填空题
13．若方程表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为 .
【答案】
【分析】由椭圆方程的标准形式可知方程表示椭圆方程的充要条件为，结合已知条件即可求解.
【详解】由椭圆方程的标准形式可知方程表示椭圆方程的充要条件为，
又由题意方程表示的曲线为椭圆，
所以，解不等式组得且，
因此m的取值范围为.
故答案为：.
14．直线与直线是圆C的两条切线，则圆C的面积是 .
【答案】
【分析】把两直线中未知数的系数化为相同，然后由平行间距离公式计算出距离，这个距离就是圆的直径，由此可得圆面积．
【详解】易知直线与直线平行，若两条直线是圆C的两条切线，则两直线之间的距离为圆的直径.直线，即与直线间的距离，则圆的半径，则圆C的面积.
故答案为：．
【点睛】本题考查两平行线间距离公式，求两平行间距离时，两直线方程中的系数，的系数必须相同．
15．已知在中，顶点，点在直线：上，点在轴上，则的周长的最小值 .
【答案】
【分析】设点关于直线：的对称点，点关于轴的对称点为，
连接交于，交轴于，则此时的周长取最小值，且最小值为，利用对称知识求出和，再利用两点间距离公式即可求解.
【详解】如图：
设点关于直线：的对称点，点关于轴的对称点为，
连接交于，交轴于，
则此时的周长取最小值，且最小值为，
与关于直线：对称，
，解得：，
，易求得：，
的周长的最小值.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，体现了数形结合的数学思想，综合性较强.
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，圆，点P为椭圆C上一点，若的最小值为6，则椭圆的离心率为 .
【答案】/
【分析】利用椭圆的定义和三点一线得，则，解出值，则得到值，则得到离心率.
【详解】由题可知，所以，，
则，
当点在的延长线上时，等号成立，所以，
所以，因为，所以椭圆的离心率为.
故答案为：.

四、解答题
17．在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点Q．
(1)求交点Q的坐标；
(2)若直线l经过点Q，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）联立直线方程，求出交点坐标；
（2）分截距为0和截距不为0两种情况，设出方程，代入点Q坐标，求出直线方程.
【详解】（1）联立直线与直线，
得到，解得：，则；
（2）①当截距为0时，直线l过原点，设，
将代入，则，这时直线l为x－2y = 0；
②当直线l截距都不为0时，设，
将代入，则m = 3，故直线为．
综上，直线l的方程为：或.
五、证明题
18．如图所示，在四棱锥中，平面ABCD，∥，且，
(1)求证：平面PAC．
(2)若E为PC的中点，求PD与平面AED所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证，，由此即可证得平面；
（2）建立空间直角坐标系，求出,平面的一个法向量为，然后利用公式，即可求得本题答案.
【详解】（1）作，垂足为，
由题意可知：∥，，且，则四边形为正方形，
所以，，
又因为，
可知，即，
因为平面，平面，所以.
且，平面，平面，所以平面，
（2）以点A为坐标原点，以所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，.
则，，.
设平面的法向量为，则，
令，则，
可得平面的一个法向量为，
设与平面所成角为，
则，
所以PD与平面AED所成角的余弦值.
六、解答题
19．已知圆C经过点A（2，-1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=-2x上.
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程
【答案】(1)；
(2)x=0 或 3x+4y=0.
【分析】（1）由条件可知圆心的坐标为，再根据条件转化为关于的方程，根据圆的圆心和半径写出圆的标准方程；
（2）分斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，利用弦长公式可知圆心到直线的距离是1，求直线方程.
【详解】（1）设圆心的坐标为C(a，－2a)，
则＝.
化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.
所以C点坐标为(1，－2)，
半径r＝|AC|＝＝.
故圆C的方程为.
（2）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件.
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 y=kx，
由题意得，解得，
∴直线l的方程为，即3x+4y=0.
综上所述，直线l的方程为 x=0 或 3x+4y = 0.
20．已知椭圆与椭圆有共同的焦点，且椭圆经过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为椭圆的左焦点，为原点，为椭圆上任意一点，求的最大值．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）设椭圆的方程为，将点的坐标代入，求解即可；
（2）设点，则，且，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得的最大值.
【详解】（1）椭圆的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为．
可设椭圆的标准方程为．
由椭圆经过点，可得，解得或（舍）．
椭圆的标准方程为．
（2）由（1）可得，设，
，得，且，
，
，
，当时，取最大值6．
七、证明题
21．如图，在三棱台中，若平面，为中点，为棱上一动点（不包含端点）.

(1)若为的中点，求证：平面.
(2)是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出长度；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可；
（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】（1）连接，
因为为中点，为的中点，
所以，
因为是正三棱台，，
所以，
于是有，
因此四边形是平行四边形，
所以平面，平面，
所以平面

（2）假设存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为，
因为平面平面，
所以，而，
所以建立如图所示的空间直角坐标系，

，
设，
设平面的法向量为，
，
所以有，
因为，，，
所以平面，所以平面的法向量为，
所以，
解得，舍去，即，
，即长度为.
八、解答题
22．已知圆：，点.
(1)若，求以为圆心且与圆相切的圆的方程；
(2)若过点的两条直线被圆截得的弦长均为，且与轴分别交于点、，，求的值.
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）由题意，可设圆的方程为，判断出点在圆外，则圆与圆外切或内切，分类讨论两圆内切与外切两种情况，列方程求解，从而可得圆的方程；
（2）先排除过点与轴垂直的情况，从而设过点的直线方程为，再根据圆的弦长公式建立方程并化简可得，结合根与系数的关系以及，从而可得的方程，解方程即可得解.
【详解】（1）当时，，设圆的方程为，
因为，所以点在圆外，
所以圆与圆外切或内切，又，圆的半径为，
当两圆外切时：，可得；
当两圆内切时：，可得；
所以以为圆心且与圆相切的圆的方程为或.
（2）若过点的直线与轴垂直时，直线方程为，
圆心到直线的距离为，直线与圆相离，不满意题意；
设过点的直线方程为，即，
由题意得，，
化简得，设直线、的斜率分别为，
则，且，
对过点的直线，令，得，
，
，解得，
所以.
【点睛】方法点睛：解决直线与圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、圆的条件；
（2）强化利用几何法求解圆的弦长，代入公式化简得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率等问题．