2023-2024学年山西省大同市第一中学校高二上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山西省大同市第一中学校高二上学期10月月考数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，将直线方程化为斜截式，求出直线的斜率，由斜率与倾斜角的关系，及可求解．
【详解】由，得，故斜率为，因，所以倾斜角．
故选：D．
2．已知，，，则过点且与线段平行的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先求得线段的斜率，由点斜式求得正确答案.
【详解】因为，，，
所以，
则所求直线的斜率为，
所以过点且与线段平行的直线方程为，即．
故选：B
3．两平行直线：，：之间的距离为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】A
【分析】利用两平行直线之间的距离公式求解即可．
【详解】由题意得：
直线，，
，，两直线为平行直线，
直线，
两平行直线之间的距离为．
故选：A
4．如果，那么直线与圆的位置关系是
A．相交B．相切C．相离D．相交或相切
【答案】C
【解析】计算圆心到直线的距离，结合已知条件，即可容易求得.
【详解】因为，故可得；
又圆心到直线的距离，
故直线与圆相离.
故选：C.
【点睛】本题考查直线与圆位置关系的判定，属基础题.
5．已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据题意，存在实数值得，列出方程组，即可求解.
【详解】由向量，，，
因为，，三向量共面，则存在实数值得，
即，
可得，解得，则.
故选：A.
6．已知圆C：，直线l的横纵截距相等且与圆C相切﹐则满足条件的直线l有（ ）条.
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，讨论直线是否为0，结合相切关系及点线距离公式分别求出对应切线方程即可.
【详解】由圆，则圆心，半径，
若截距为0，设，则，此时；
若截距不为0，设，则，此时；

综上，共有3条件满足条件的直线l.
故选：C
7．实数满足,则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先对化简,令,则与圆有交点，根据点到直线的距离小于等于半径解不等式即可.
【详解】,
,
令,化简得,
所以与圆有交点,
即,
解得,
所以.
故选:C.
8．在平面直角坐标系中，设、，沿y轴把平面直角坐标系折成大小为的二面角后，，则的弧度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】为沿y轴把平面直角坐标系折成的平面角，结合线面垂直可得为直角三角形，根据余弦定理求角即可.
【详解】过作轴，连接，则，则，
,,则为沿y轴把平面直角坐标系折成的平面角，
,平面，, 平面， 平面，
因为是平行四边形，,故平面，又平面，故
，
故选：C.
二、多选题
9．下列选项正确的是（ ）
A．若直线的一个方向向量是，则直线的倾斜角是
B．“”是“直线与直线垂直”的充要条件
C．“”是“直线与直线平行”的充要条件
D．直线的倾斜角的取值范围是
【答案】ACD
【分析】A项，通过求直线的斜率，即可得出直线的倾斜角；B项，讨论时直线与直线是否垂直，以及直线与直线垂直时的值，即可得出结论；C项，讨论时直线与直线是否平行，以及直线与直线平行时的值，即可得出结论；D项，通过求出直线的斜率，即可求出倾斜角的取值范围.
【详解】对于A项，在直线中，一个方向向量是，则直线的斜率为
∴直线的倾斜角是，A正确；
对于B项，当时，直线与直线变为：与
显然垂直，充分性成立.
当直线与直线垂直时，
解得：或，必要性不成立，故B错误；
对于C项，当时，直线与直线化为：与
即与，两直线平行，充分性满足要求.
若直线与直线平行
，解得：，必要性成立，故C正确；
对于D项，在直线中，该直线的斜率为
故倾斜角范围为.故D正确.
故选：ACD.
10．已知直线及圆，则（ ）
A．直线过定点
B．直线截圆所得弦长最小值为2
C．存在，使得直线与圆相切
D．存在，使得圆关于直线对称
【答案】ABD
【分析】A选项，整理后得到方程组，求出直线所过定点；B选项，求出圆心和半径，得到当时，直线截圆所得弦长最短，由垂径定理求出弦长最小值；C选项，求出点在圆内，故C错误；D选项，当直线过圆心时，满足题意，代入计算即可.
【详解】A选项，由，
得，解得，所以直线过定点为，故A正确；
B选项，由圆的标准方程可得圆心为，半径，直线过的定点为，
当时，直线截圆所得弦长最短，因为，
则最短弦长为，故B正确；
C选项，，故点在圆内，所以直线与圆一定相交，故C错误；
D选项，当直线过圆心时，满足题意，此时，解得，
故D正确.
故选：ABD.
11．已知圆和圆，分别是圆，圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．圆与圆有四条公切线
B．的取值范围是
C．是圆与圆的一条公切线
D．过点作圆的两条切线，切点分别为，则存在点，使得
【答案】ABD
【分析】对于A，根据两圆心之间的距离与半径和的比较，确定两圆的位置关系，可得答案；
对于B，根据圆外离的基本性质，可得答案；
对于C，根据公切线与圆心连线的位置关系以及距离，建立方程，可得答案；
对于D，根据直线与圆相切的性质，可得答案.
【详解】对于选项A，由题意可得，圆的圆心为，半径，圆的圆心，半径，
因为两圆圆心距，所以两圆外离，有四条公切线，A正确；
对于B选项，的最大值等于，最小值为，B正确；
对于C选项，显然直线与直线平行，
因为两圆的半径相等，则外公切线与圆心连线平行，由直线，
设直线为，则两平行线间的距离为2，即，故，故C不正确；
对于D选项，易知当时，四边形为正方形，故当时，，故D正确，
故选：ABD.
12．在正方体中，，，分别为，，的中点，则（ ）

A．直线与所成的角为
B．直线与平面平行
C．若正方体棱长为1，三棱锥的体积是
D．点和到平面的距离之比是
【答案】BCD
【分析】对于A项，通过找平行线来求异面直线所成角即可；对于B项，通过面面平行的判定定理可证得平面平面AEF，再结合面面平行的性质可证得平面AEF；对于C项，由平面AEF可得和G到平面AEF的距离相等，运用等体积法即可求得三棱锥的体积；对于D项，由C与B到平面AEF的距离相等及即可求得结果.
【详解】对于选项A，由图可知与显然平行，所以即为所求，故选项A不正确；
对于选项B，取的中点M，连接、，如图所示，

易知，且平面AEF，平面AEF，所以平面AEF．
又易知，平面AEF，平面AEF，所以平面AEF．
又，、面，所以平面平面AEF．
又平面，所以平面AEF，故选项B正确；
对于选项C，由选项B知，平面AEF，所以和G到平面AEF的距离相等，
所以．故选项C正确；
对于选项D，平面AEF过BC的中点E，即平面AEF将线段BC平分，
所以C与B到平面AEF的距离相等，
连接交于点，如图所示，

显然，
所以与B到平面AEF的距离之比为，故选项D正确.
故选：BCD．
三、填空题
13．已知椭圆的一个焦点为，则的离心率为 .
【答案】
【分析】根据椭圆的标准方程及几何性质，求得，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】由题意，椭圆的一个焦点为，可得，
又由，可得，解得，
所以椭圆的离心率为.
故答案为：.
14．圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是 .
【答案】-4
【分析】将圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标与半径，利用点到直线的距离公式，算出圆心到直线的距离，再根据截得弦的长度为，得到关于的方程，解出即可
【详解】由圆可得
圆心为，半径
直线方程为
圆心到直线的距离
截得弦的长度为
，解得
故答案为
【点睛】结合弦长的长度求出圆的标准方程，只需将圆化为标准方程，然后运用弦长公式的求法求出参量即可
15．已知圆：关于直线l对称的圆为圆：，则直线l的方程为 .
【答案】
【分析】分别求出两圆的圆心坐标与半径，由半径相等求得，再求出两圆心的中点坐标，由直线方程的点斜式求解．
【详解】解：圆：的圆心坐标为，半径为，
圆：，即，其圆心坐标为，半径为，
由题意，，解得．
∴圆的圆心为，则与的中点为，
直线的斜率为，
∴直线的方程为，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查圆关于直线的对称圆的求法，考查计算能力，是基础题．
16．在空间直角坐标系O-xyz中，四面体ABCD各顶点坐标分别为，，，.则该四面体外接球的表面积是 .
【答案】/
【分析】根据题意，画出图形，作出辅助线，找到球心，利用半径列出方程，求出半径，进而去除四面体外接球的表面积.
【详解】如图所示，设长方体底面四边形为正方形，边长为2，高为3，
根据图形得到为直角三角形，AC⊥CD，
所以四面体外接球的球心在平面ADC上的投影为斜边AD的中点M，
其中，
设外接球球心为N，则MN⊥平面ADC，
过点B作BH⊥平面ADC，垂足为H，则HMx轴，且HM=1
过点N作NFHM，交BH于点F，则NF=HM=1，
设外接球半径为r，连接NB，NA，则NB=NA=r，
设MN=x，则HF=x，所以BF=3-x，
由勾股定理得：，，
所以，解得：，
所以，
所以该四面体外接球的表面积为

故答案为：
【点睛】对于立体几何的外接球问题，通常处理方法为，找到球心在某个特殊平面上的投影，进而找到球心的位置，设出未知数，根据半径相等列出方程，求出半径，从而求出表面积或体积.
四、解答题
17．已知的顶点为，，，
（Ⅰ）求AB边上的中线CM所在直线的方程;
（Ⅱ）AB边上的高线CH所在直线的方程
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）求出中点坐标，再求得直线斜率，由点斜式写出直线方程，并整理成一般式即可．
（Ⅱ）由垂直求出直线的斜率，写出点斜式方程，整理成一般式．
【详解】（Ⅰ）AB中点M的坐标是，
∴，
∴中线CM所在直线的方程是，
即中线CM所在直线的方程是，
（Ⅱ）∵，
，
∴高线CH所在直线方程为，
即．
18．已知圆C过点，，，直线l过点.
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线l与圆C相切，求直线l的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）设圆C的方程为，将点的坐标代入方程，解方程组即可求出结果；
（2）分直线l的斜率不存在与直线l的斜率存在两种情况，设出直线的方程，结合点到直线的距离等于半径，求出参数即可得到结果.
【详解】（1）（1）设圆C的方程为，
则，解得，
则圆C的一般方程为，
所以圆C的标准方程为.
（2）因为，所以点在圆C外.
①直线l的斜率不存在，则切线方程为；
②直线l的斜率存在，设直线，即，
由题知圆心C到的距离，
解得，即直线；
综上，直线l的方程为或.
19．已知椭圆C：，左，右焦点分别为，，椭圆C经过，．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C上的点P使得，求的面积．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）由题意可知 ， ，代入椭圆的标准方程进行求解即可；
（2）假设椭圆C上存在点，使得，则 ，可求出 ，根据 计算可得结果.
【详解】（1）因为椭圆C经过，．则，解得，．
所以椭圆C的方程为．
（2）由（1）知，，假设椭圆C上存在点，使得，
则，即，
联立，解得，．
∴椭圆C上存在点P使得．∴．
20．如图所示，四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为的中点，，．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，可通过证明，，得平面；
（2）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，通过向量的夹角公式可得答案.
【详解】（1）连接，在中，∵，∴，
∵、，∴，，
∴，∴，
又∵，平面，
∴平面
（2）以为原点，以、、方向为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，
则、、、、，
∴、，则，
∴、、、，
设平面法向量为，则
令，则、，即，
设平面法向量为，则
∴，令，则，即，
设平面与平面所成角的平面角为，
∴．
21．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；
（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案；
【详解】（1）[方法一]：几何法
因为，所以．
又因为，，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示，
过E作的平行线分别与交于其中点，连接，
因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点，
易证，则．
又因为，所以．
又因为，所以平面．
又因为平面，所以．
[方法二] 【最优解】：向量法
因为三棱柱是直三棱柱，底面，
，，，又，平面．所以两两垂直．
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．
，．
由题设（）．
因为，
所以，所以．
[方法三]：因为，，所以，故，，所以，所以．
（2）[方法一]【最优解】：向量法
设平面的法向量为，
因为，
所以，即．
令，则
因为平面的法向量为，
设平面与平面的二面角的平面角为，
则．
当时，取最小值为，
此时取最大值为．
所以，此时．
[方法二] ：几何法
如图所示，延长交的延长线于点S，联结交于点T，则平面平面．
作，垂足为H，因为平面，联结，则为平面与平面所成二面角的平面角．
设，过作交于点G．
由得．
又，即，所以．
又，即，所以．
所以．
则，
所以，当时，．
[方法三]：投影法
如图，联结，
在平面的投影为，记面与面所成的二面角的平面角为，则．
设，在中，．
在中，，过D作的平行线交于点Q．
在中，．
在中，由余弦定理得，，，
，，
当，即，面与面所成的二面角的正弦值最小，最小值为．
【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维.
第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面与面所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面在面上的投影三角形的面积与面积之比即为面与面所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维．
22．已知动点M与两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离的比为，动点M的轨迹为曲线C．
(1)求C的轨迹方程，并说明其形状；
(2)过直线x＝3上的动点P(3，p)(p≠0)分别作C的两条切线PQ、PR(Q、R为切点)，N为弦QR的中点，直线l：3x＋4y＝6分别与x轴、y轴交于点E、F，求△NEF的面积S的取值范围．
【答案】(1)(x＋1)2＋y2＝4，曲线C是以(－1，0)为圆心，2为半径的圆
(2)
【分析】（1）设出点M的坐标，利用直接法建立关系式，化简即可求解；
（2）写出以CP为直径的圆的方程，然后利用Q，R是两个圆的交点得到QR所在直线方程，联立直线QR与圆C的方程，利用韦达定理求出点N的纵坐标，从而得出点N在以OC为直径的圆上，求出该圆的圆心以及半径，利用点，直线与圆的位置关系即可求解．
【详解】（1）设M(x，y)，由＝，得＝，
化简得x2＋y2＋2x－3＝0，即(x＋1)2＋y2＝4，
故曲线C是以(－1，0)为圆心，2为半径的圆．
（2）由（1）知C(－1，0)，又P(3，p)，(p≠0)，
则线段CP的中点的坐标为，|CP|＝，
故以线段CP为直径的圆的方程为(x－1)2＋＝，
整理得x2＋y2－2x－py－3＝0①．
由题意知，Q、R在以CP为直径的圆上，
又Q、R在圆x2＋y2＋2x－3＝0②上，
由②－①，得4x＋py＝0，
所以弦QR所在直线的方程为4x＋py＝0，可得QR恒过坐标原点O(0，0)．
由得(16＋p2)y2－8py－48＝0，
设Q(x1，y1)，R(x2，y2)，则y1＋y2＝，
所以点N的纵坐标＝＝，
因为p≠0，所以≠0，所以点N与点C(－1，0)，O(0，0)均不重合．
因为N为弦QR的中点，且C(－1，0)为圆C的圆心，所以CN⊥QR，即CN⊥ON，
所以点N在以OC为直径的圆上，该圆的圆心为G，半径为．
因为直线3x＋4y＝6分别与x轴、y轴交于点E、F，
所以E(2，0)，F，因此|EF|＝，
圆心G到直线3x＋4y＝6的距离d＝＝．
设△NEF的边EF上的高为h，
则点N到直线3x＋4y＝6的距离h的最小值为d－r＝－＝1；
点N到直线3x＋4y＝6的距离h的最大值为d＋r＝＋＝2．
所以S的最小值＝××1＝，最大值＝××2＝．
因此△NEF的面积S的取值范围是．