2023-2024学年上海市东昌中学高二上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年上海市东昌中学高二上学期10月月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1．直线的倾斜角为 ．
【答案】
【分析】根据直线方程的特征进行求解即可.
【详解】因为直线与横轴垂直，
所以直线的倾斜角为，
故答案为：
2．关于的方程的一个根是，则
【答案】6
【分析】根据二次方程在复数域内的根的关系与韦达定理求解即可.
【详解】因为于的方程的一个根是,故另一个根为
.根据韦达定理有.故.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次方程在复数域内的根的应用,属于基础题.
3．若直线l经过点，且与圆相切，则直线l的方程是 .
【答案】
【分析】分析可得点在圆上，故直接根据过圆心与切点的直线与直线l垂直即可求得直线l的斜率，进而求得方程
【详解】因为，故点在圆上，又圆心到的斜率为，
故直线l的斜率，故直线l的方程是，化简可得
故答案为：
4．已知直线：（），若直线在x轴上的截距为2，则实数 ．
【答案】
【分析】根据截距的定义进行求解即可.
【详解】在中，令，得，
显然，于是有，
因为线在x轴上的截距为2，
所以，
故答案为：
5．已知表示圆，则实数a的值是 ．
【答案】/
【分析】把方程化为，根据题意可得，解之即可得解.
【详解】解：把方程化为，
因为此曲线表示圆，
所以，解得.
故答案为：.
6．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数根，则实数a的取值范围是 ．
【答案】(－∞，－2]∪[－1，＋∞)
【详解】当两个方程和时，都没有实数根， ① ，且 ②，解①求得 或 ，解②求得 ，可得此时实数 的取值范围为，故当时，两个方程中至少有一个方程实数根，故答案为 .
7．已知向量，，若，则 ．
【答案】
【分析】求出的值，即可得出的值.
【详解】由题意，
因为 所以，
所以，，
所以，
故答案为：.
8．设点，，直线l过点且与线段相交，则l的斜率k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意，求得，要使得直线l过点且与线段相交，结合图象，得到或，即可求解.
【详解】如图所示，由，，且，
可得，
要使得直线l过点且与线段相交，则满足或，
所以直线的斜率k的取值范围是.
故答案为：.

9．已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为 .
【答案】或．
【分析】先求，再根据夹角公式求得直线的斜率，利用点斜式即可求出直线的方程.
【详解】设直线的斜率为，
因为，且为锐角，
所以，
所以，解得，
故过点，且与直线的夹角为的直线的方程
为，即．
当直线的斜率不存在时，此时直线的方程，符合题意.
所以直线的方程为或.
故答案为：或
10．设函数（），已知在有且仅有5个零点．则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】结合正弦函数的零点求解．
【详解】是函数的第一个零点，此时，而从0开始向右第5个零点是，第6个零点是，
所以，，
故答案为：．
11．由曲线围成的图形的面积为 .
【答案】
【分析】曲线围成的图形关于轴，轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可，结合圆的方程运算求解.
【详解】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于轴，轴对称，因此只需求出第一象限的面积即可，
当，时，曲线可化为：，
表示的图形为以为圆心，半径为的一个半圆，
则第一象限围成的面积为，
故曲线围成的图形的面积为.
故答案为：.
12．若对圆上任意一点，的取值与、无关，则实数的取值范围是 .
【答案】（或）
【分析】可以看作点到直线：与直线：
距离之和的倍，进一步分析说明圆位于两直线中间，再由点到直线的距离公式求解直线与圆相切时的值，则可得出答案.
【详解】设
故可以看作点到直线：与直线：
距离之和的倍，
的取值与、无关，
这个距离之和与点在圆上的位置无关，
如图所示，可知直线平移时，点与直线、的距离之和均为、的距离，
即此时圆在两直线的中间，
当直线与圆相切时，
解得：或（舍去）
实数的取值范围是
故答案为：.
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，考查了数学转化思想方法，属于难题.
二、单选题
13．平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出即可得出动点P的轨迹方程.
【详解】由题意，
平面内点P到、的距离之和是10，
∴动点的轨迹为椭圆,焦点在轴上,
, 解得：，
∴，
∴轨迹方程为: ，
故选: B.
14．若直线：​与直线：平行，则​的值为 （ ）
A．或B．​C．​或D．
【答案】B
【分析】根据两直线平行时斜率相等，列出方程求解，再排除两直线重合的情况即可得到答案.
【详解】因为直线：​与直线：平行
则，解得：或，
当时，两直线重合，舍去；当时，验证满足.
故选:B.
15．若，下列四个不等式：①②③④．其中不正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】得出以及0之间的大小关系即可得出结论.
【详解】由题意，
由 可得 , 从而 ，不等式①②错误；
, 则, 不等式③错误；
, 不等式④正确, 故错误的不等式的个数是3 .
故选：D.
16．已知点在圆内，直线是以为中点的弦所在直线，直线的方程为，则（ ）
A．且与圆相离B．且与圆相切
C．且与圆相交D．且与圆相离
【答案】A
【分析】由圆的性质可确定直线的斜率，进而得到方程，可知；结合点在圆内的特点，利用点到直线距离公式可确定圆心到直线的距离，由此可得结论.
【详解】直线以为中点，直线的斜率，
直线的方程为：，即，则，
在圆内，，
则圆心到直线的距离，与圆相离.
故选：A.
三、解答题
17．已知中，，．
(1)若，求边上的高所在直线的一般式方程；
(2)若点为边的中点，求边所在直线的一般式方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线的点斜式方程进行求解即可；
（2）根据中点坐标公式，结合直线两点式方程进行求解即可.
【详解】（1）因为，，
所以，
因为是边上的高，
所以，
所以高所在直线的方程为；
（2）因为点为边的中点，
所以，
因此边所在直线的方程为.
18．在等差数列中，，且．
（1）求的通项公式；
（2）若，证明：数列为等比数列，并求其前项和．
【答案】（1）；（2）证明见解析，．
【分析】（1）设公差为，由已知求得和首项后可得通项公式；
（2）用定义证明数列为等比数列，由等比数列前项和公式得和．
【详解】（1）设公差为，则由已知得，解得，
所以；
（2）由（1）得，
时，，所以数列为等比数列，公比为16，
所以．
19．在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到原点，光线经过的重心．以点为坐标原点，以为轴（为正方向），建立平面直角坐标系．
(1)求的重心的坐标，及点的坐标；
(2)求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立坐标系，确定三角形顶点坐标，即可求得重心的坐标；设，关于直线的对称点分别设为，表示出的坐标，根据光线反射原理可知共线，结合重心坐标即可求得点的坐标；
（2）根据对称知识可知的周长即为，利用两点间距离公式可求得答案.
【详解】（1）如图所示：
以为坐标原点，以为轴建立平面直角坐标系，
则，
故的重心的坐标为，即；
设，关于直线的对称点分别设为，
则，设，
直线的方程为，则
解得，即，
由光的反射原理可知共线，且光线经过的重心，
故，解得或（舍去），
故点的坐标为.
（2）由（1）可得，所以即为，即为，
由题意可知，
故的周长为.
20．已知直线l：和圆C：．
(1)直线l恒过一定点M，求出点M坐标；
(2)当m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最短，求出弦长；
(3)在（2）的前提下，直线是过点且与直线l平行的直线，求圆心在直线上，且与圆外切的动圆中半径最小的圆的标准方程．
【答案】(1)
(2)当时，直线l被圆C所截得的弦长最短，弦长为
(3)
【分析】（1）根据直线方程的特征，通过解方程组进行求解即可；
（2）根据圆的性质，结合点到直线距离公式、勾股定理进行求解即可；
（3）根据外切的性质，结合点到直线距离公式、互相垂直的两直线的斜率关系进行求解即可.
【详解】（1），
因为，
所以有，所以直线l恒过一定点， 即；
（2）由，
所以，半径，
当时，直线l被圆C所截得的弦长最短，
所以有，
即，
所以
此时直线l的方程为，
点到直线l的距离，
因此直线l被圆所截得的弦长最短为；
（3）如图所示：
由（2）可知直线l的方程为，
因为直线是过点且与直线l平行的直线，
所以设直线的方程为，把点的坐标代入，得
，即直线的方程为，
过与直线垂直的方程设为，把代入，得
，所以，
由，
到直线的距离为，
所以圆心在直线上，且与圆外切的动圆中最小的圆的半径为：
，
因此圆心在直线上，且与圆外切的动圆中半径最小的圆的标准方程为：
.

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用圆的性质、勾股定理、点到直线距离公式.
21．已知圆，定点，，其中为正实数．
(1)当时，判断直线与圆的位置关系；
(2)当时，若对于圆上任意一点均有成立（为坐标原点），求实数，的值；
(3)当，时，对于线段上的任意一点，若在圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求实数的取值范围．
【答案】(1)相离
(2)，
(3)
【分析】（1）计算圆心到直线的距离，并和半径比较大小，即可求解；
（2）分别表示两线段长度并代入已知条件，化简即可求解；
（3）先由“为线段上的任意一点”给出的范围，再用圆心到直线的距离和表示，最后由任意性确定的范围.
【详解】（1）当时，的半径，圆心.
直线的方程为：，即，
所以圆心到直线的距离，故直线与圆相离；
（2）设，由题意可得：.
∵，所以，
化简整理得，也即.
∵点是圆上的任意一点，∴，∵均为正数，∴.
综上所述，结论是：，；
（3）时，直线的方程是：即.
圆心到直线的距离且.
∵为线段上的任意一点，∴.
设圆心到直线的距离，，
∴，
另外，即，
∴.
综上所述：.