2023-2024学年上海市奉贤中学高二上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年上海市奉贤中学高二上学期10月月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1．已知点，，则直线的倾斜角 .
【答案】
【分析】根据直线斜率与倾斜角关系可得解.
【详解】，，
直线的斜率为，即，
.
故答案为：.
2．已知向量，，则
【答案】6
【分析】先计算出，再利用空间向量模长公式进行求解.
【详解】，
故.
故答案为：6
3．过点且与直线垂直的直线的斜截式方程是 .
【答案】
【分析】根据题意，由两直线垂直可得，再由点斜式方程，即可得到结果.
【详解】因为直线与直线垂直，所以，解得，所以直线的方程为，化简可得.
故答案为：
4．已知向量，，，若，，共面，则 .
【答案】1
【分析】根据空间共面向量定理，结合向量的坐标运算，列出等量关系，求解即可.
【详解】因为，，共面，则存在实数，使得，
即，
则，解得，，.
故答案为：.
5．若直线和直线斜率互为相反数，则 .
【答案】或0
【分析】分，和，根据两直线的斜率互为相反数求解.
【详解】解：当，即时，，，不符合题意；
当，即时，，不符合题意；
当时，直线和直线斜率互为相反数，
所以，解得或，
故答案为：或0
6．点关于直线的对称点为 .
【答案】
【分析】设出对称点，利用垂直和平分的关系可得答案.
【详解】设对称点为，则，
解得，即对称点为.
故答案为：.
7．已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则直线与平面的位置关系是 ．
【答案】或
【分析】先求得，再利用空间向量与立体几何的关系即可判断直线与平面的位置关系.
【详解】平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，
由，可得,
则直线与平面的位置关系是或,
故答案为：或
8．空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点分别是，，的中点，则的值为 .
【答案】/
【分析】由题意，四面体是正四面体，每个三角形都是等边三角形，利用向量的数量积的定义解答．
【详解】
故答案为：.
9．已知点和点到直线的距离相等，则 .
【答案】3或
【分析】利用点到直线距离公式建立等式求出参数即可.
【详解】因为点和点到直线的距离相等，
所以由点到直线的距离公式可得：
，
解得或，
故答案为：3或
10．如图，已知正方体中，分别为中点，，则到平面的距离是 ．
【答案】/
【分析】利用坐标法，根据点到平面的距离向量求法即得.
【详解】如图建立空间直角坐标系，则，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以到平面的距离是.
故答案为：.
11．在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为，，，.则该四面体外接球的表面积是 .
【答案】
【分析】利用坐标求出四面体棱长知四面体为正四面体，与棱长为1的正方体外接球相同即可得解.
【详解】因为，，
，
同理，可得，
即四面体是棱长为的正四面体，该四面体的外接球就是棱长为1的正方体的外接球，如图，
所以外接球的直径为，半径，
所以外接球表面积.
故答案为：
12．斜三棱柱中，平面平面，若，，，在三棱柱内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切，则三棱柱的高为 ．
【答案】/
【分析】根据给定条件，探求两个球的球心在平面上的投影确定的直线平行于直线，再建立空间直角坐标系，求出球的半径即可作答.
【详解】在斜三棱柱中，与平面相切的球的球心为，与平面相切的球的球心为，
因为球、球与平面都相切，令切点分别这，有，
又球、球与平面都相切，则平面，又平面，
于是平面，而平面，平面平面，因此，且，
在平面内过点作，在平面过点作，
因为平面平面，平面平面，则平面，
以点作原点，射线的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，

在中，，，则，
的方向向量，的方向向量，
由，得的方向向量，
设平面的法向量，则，令，得，
设平面的法向量，则，令，得，
令球的半径为，设点，则，
由，得，
显然点到平面的距离等于等腰底边上的高，即有，
由，得，代入，解得，
，线段在轴上的投影为，
显然三棱柱的高等于点到平面的距离，到平面的距离与在轴上的投影的和，
所以三棱柱的高为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：求点到平面的距离可以利用几何法，作出点到平面的垂线段求解；也可以用向量法，求出平面的法向量，再求出这一点与平面内任意一点确定的向量在法向量的投影即可.
二、单选题
13．已知直线l的倾斜角为120°，则下列直线中，与直线l垂直的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】两条直线斜率均存在时，两直线垂直，则它们斜率之积等于－1，据此即可求解.
【详解】直线l的倾斜角为120°，则其斜率为tan120°＝，则与l垂直的直线斜率为.
A、B、C、D选项中的直线斜率分别为，，，，
故选：A.
14．若直线与直线平行，则a的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用直线平行的性质得到关于的方程组，从而得解.
【详解】因为直线与直线平行，显然，
所以，即，解得，
所以.
故选：D.
15．已知矩形为平面外一点，平面，点满足，．若，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，由平面向量基本定理结合平面向量的线性运算，即可得到结果.
【详解】
因为，，
所以
，
因为，所以，，，
所以.
故选：C
16．在正四面体中，点E在棱AB上，满足，点F为线段AC上的动点，则（ ）
A．存在某个位置，使得
B．存在某个位置，使得
C．存在某个位置，使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为
D．存在某个位置，使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为
【答案】C
【分析】设正四面体的底面中心为点，连接，则平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，设正四面体的棱长为，然后利用空间向量法逐一分析求解可得结果.
【详解】如下图所示，设正四面体的底面中心为点，连接，则平面，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，
设正四面体的棱长为，
则，，，，，
设，其中，
对于A，若存在某个位置使得，，，
所以，解得，不满足题意，故A错误；
对于B，若存在某个位置使得，，，
则，该方程无解，故B错误；
对于C，设平面的一个法向量为，
，，
由，令，则，
若存在某个位置，使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为，又，
则，
整理得，解得或（舍去），
所以存在，即为的中点，满足题意，故C正确；
对于D，设平面的一个法向量为，
又，，
由，取，得，
设平面的一个法向量为，
，，
由，取，则，
若存在某个位置，使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为，
则，
整理得，易得，所以该方程无解，故D错误.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键点在于建立空间直角坐标系，利用空间向量法解决立体几何的相关问题，解题过程要注意利用方程思想进行向量运算，认真细心，准确计算．
三、解答题
17．已知直角坐标系中三点，，.
(1)求以三点为顶点的三角形中边上的高所在直线的方程
(2)求以三点为顶点的三角形的面积
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两点坐标可得答案；
（2）求出，利用三角形的面积公式计算可得答案.
【详解】（1）因为，，所以直线与轴平行，
所以三角形中边上的高所在直线的方程为；
（2），
由于直线与轴平行，所以到直线的距离为5，
所以三角形的面积为.
四、证明题
18．如图，正三棱柱中，底面边长为.
(1)设侧棱长为，求证：；
(2)设与的夹角为，求侧棱的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据空间向量的线性运算表示与，结合向量数量积的运算律计算，即可得证；
（2）根据向量数量积的运算律表示数量积及模长，根据夹角可得模长.
【详解】（1）由已知得，，
平面，
，，
又是正三角形，
,
；
；
（2）由（1）得，
又，
，
，
解得，
即侧棱长为.
五、解答题
19．在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，，，分别是，的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线线平行即可求证线面平行，
（2）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解.
【详解】（1）证明：取的中点，连接，，
又是的中点，所以，且.
因为四边形是矩形，所以且，所以，且.
因为是的中点，所以，所以且，
所以四边形是平行四边形，故.
因为平面，平面，所以平面.
（2）因为平面，四边形是矩形，所以，，两两垂直，
以点为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示）.
设，所以，.
因为，分别为，的中点，所以，，，，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，由即
令，则，，所以.
设直线与平面所成角为
所以
由于，所以直线与平面所成角的大小
20．已知直线恒过点，且与轴，轴分别交于 两点，为坐标原点.
(1)求点的坐标；
(2)当点到直线的距离最大时，求直线的方程；
(3)当取得最小值时，求的面积.
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）把直线的方程可化为，联立方程组，即可求解；
（2）当时，点到直线的距离最大，结合，求得，即可求得直线的方程；
（3）分别求得和，得到，结合基本不等式，得到，分类讨论，即可求得的面积.
【详解】（1）解：直线的方程可化为，
令，解得，即点的坐标为.
（2）解：当时，点到直线的距离最大，
此时直线的斜率与直线的斜率满足，
因为，所以，即，
所以直线的方程为，即.
（3）解：令，可得，所以；
令，可得，所以，且，
可得，
所以
当且仅当时，等号成立，
当时，直线的方程为，此时，
可得的面积为；
当时，直线的方程为，此时，
可得的面积为，
综上可得，的面积为或
21．如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成角的大小；
(3)若点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围.
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用等腰梯形的性质，结合面面垂直的性质定理进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；
（3）利用空间向量夹角公式，结合二次函数的性质进行求解即可.
【详解】（1）因为，，
所以梯形是等腰梯形，因为，
所以，
由余弦定理可知：，
，或舍去，
因为，
所以，
因为平面平面，平面平面，
平面，
所以：平面；
（2）由（1）可知平面，而平面，
所以，而四边形为矩形，
所以，因此建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，
设平面的法向量为，
则有，
设平面的法向量为，
则有，
设平面与平面所成角为，
；
（3）设，即，
，
设平面的法向量为，
则有，
由（2）可知平面的法向量为，
所以，
当时，函数单调递减，此时，
于是有，即，即.