2023-2024学年上海市吴淞中学高二上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年上海市吴淞中学高二上学期10月月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．下列事件中，属于随机现象的序号是 .
①明天是阴天； ②方程有两个不相等的实数根；
③明天吴淞口的最高水位是4.5米； ④三角形中，大角对大边．
【答案】①③
【分析】对于①③，根据生活经验判断即可；对于②④，利用数学知识即可判断.
【详解】对于①③，明天的事是未来才发生的事，具有不确定性，故①③属于随机现象；
对于②，由得，显然在实数域方程无解，故②属于不可能事件；
对于④，由正弦定理易知在三角形中，大角对大边．故④属于确定事件；
综上：属于随机现象的序号是①③.
故答案为：①③.
2．已知复数满足（为虚数单位），则 .
【答案】
【分析】根据复数的除法运算化简复数，从而可得虚部.
【详解】因为，所以
则.
故答案为：.
3．若，则 .
【答案】/
【分析】根据给定条件，利用诱导公式、同角公式计算作答.
【详解】由，得，解得，而，则，
所以.
故答案为：
4．若三点不能构成三角形，则 .
【答案】
【分析】三点不能构成三角形转化为三点共线，利用向量共线的坐标表示求解即可.
【详解】当三点共线，即时，三点不能构成三角形.
由已知得，
，
由得，，解得.
故答案为：.
5．一个与球心距离为的平面截球所得的圆的面积为，则球的体积为 ．
【答案】/
【分析】先求出截面圆半径，再求球半径，最后根据球体积公式得结果.
【详解】因为与球心距离为的平面截球所得的圆面面积为，所以该截面圆的半径为1，
因此球的半径为，故该球的体积为.
故答案为：
6．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700．从中抽取70个样本，若从下图提供随机数表中第2行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是 .
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
【答案】007
【分析】直接由随机数表依次读取数据即可.
【详解】从表中第2行第6列开始向右读取数据，依次为253，313，457，860（舍去），
736（舍去），253（舍去），007，
故得到的第4个样本编号是007.
故答案为：007
7．在棱长为的正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为 .
【答案】
【分析】取的中点，连接、、，分析可知直线与所成角为或其补角，计算出三边边长，结合余弦定理可求得结果.
【详解】取的中点，连接、、，如下图所示：
因为，，所以，四边形为平行四边形，故，
因为、分别为、的中点，所以，，所以，，
所以，直线与所成角为或其补角，
在中，由勾股定理可得，，，
由余弦定理可得，
因此，异面直线与所成角的大小为.
故答案为：.
8．抽样统计甲、乙两位同学次数学成绩绘制成如下图所示的茎叶图,则成绩较稳定的那位同学成绩的方差为 ．
【答案】2
【分析】根据题意，由茎叶图分析读出甲乙的成绩，据此由方差公式计算甲乙的方差，结合方差的意义分析可得答案．
【详解】根据题意，甲同学的5次成绩依次为：89、87、90、91、93，
其平均数，
其方差；
乙同学的5次成绩依次为：88、89、90、91、92，
其平均数，
其方差；
则乙同学的成绩较稳定，其方差为2；
故答案是：2．
9．已知正四棱锥的棱长都相等，侧棱、的中点分别为、，则截面与底面所成的二面角的正弦值是 .
【答案】
【分析】设交于，过作直线，证明出为所求二面角的平面角，求出，，，即可求解.
【详解】如图，正四棱锥中，为正方形的两对角线的交点，
则面.
因为侧棱、的中点分别为、，所以为的中位线，所以.
设交于，则.
因为面，所以.
又，，平面，平面，所以平面.
过作直线，则,所以面，面，所以为面与底面的交线.
因为为正方形，所以，所以.
由正四棱锥的对称性可得：.而为的中点，所以.
所以为所求二面角的平面角.
又，，所以
所以.
所以截面与底面所成的二面角的正弦值是.
故答案为：.
10．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，设比赛停止时已达局数为，则 ．
【答案】
【分析】根据题意可得的可能为前两局甲乙各胜一局，后两局甲或乙连胜，再结合独立事件的概率公式运算求解.
【详解】由题意可知：的可能为前两局甲乙各胜一局，后两局甲或乙连胜，
故.
故答案为：.
11．魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具.魔方拥有竞速､盲拧､单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一，一个三阶魔方，由27个单位正方体组成，如图是把魔方的中间一层转动了45°，则该魔方的表面积是 .

【答案】
【分析】利用俯视图分析多出来的表面积部分，结合对称性可解.
【详解】如图，转动了后，此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积，俯视图如图，
由图形的对称性可知，为等腰直角三角形，
设直角边为，则斜边为，
故，可得.
由几何关系得：，
故所求面积.
故答案为：

12．在中，，，分别为三个内角，，的对边，，，则的面积的最大值是 .
【答案】2
【分析】根据已知条件，由正弦定理有，从而由余弦定理有，进而有，最后利用三角函数的有界性即可求解.
【详解】解：在中，因为，所以由正弦定理得，即，
又，所以由余弦定理可得，
所以，
所以，
令，则，
所以，又，
所以，即，解得，
因为，所以，
所以的面积的最大值是2，
故答案为：2.
二、单选题
13．已知空间四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】一条直线和直线外一点确定一个平面，由此可验证充分性成立；“这四个点在同一平面内”时，可能有“两点分别在两条相交或平行直线上”，从而必要性不成立．
【详解】“这四个点中有三点在同一直线上”，则第四点不在共线三点所在的直线上，
因为一条直线和直线外一点确定一个平面，一定能推出“这四点在同一个平面内”，从而充分性成立；
“这四个点在同一平面内”时，可能有“两点分别在两条相交或平行直线上”，不一定有三点在同一直线上，从而必要性不成立，
所以“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的充分不必要条件.
故选：A.
14．某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（ ）人.
A．16B．18C．20D．24
【答案】A
【分析】由已知可求得抽样比为，再求出高三的学生数，即可求出结果.
【详解】设高一学生数为，则高二学生数为，高三学生数为.
所以，该高中共有学生数为，解得.
用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，抽样比为，
所以，高三年级应该抽取人.
故选：A.
15．某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为、，两人能否获得满分相互独立，则下列说法正确的是（ ）．
A．两人均获得满分的概率为
B．两人至少一人获得满分的概率为
C．两人恰好只有甲获得满分的概率为
D．两人至多一人获得满分的概率为
【答案】A
【分析】利用独立事件同时发生的概率公式和对立事件概率公式计算各自的概率，进而作出判定
【详解】解：∵甲、乙两人能得满分的概率分别为、，
两人能否获得满分相互独立，分别记甲，乙能得满分的事件为M，N，
则，，M，N相互独立，
∴两人均获得满分的概率为，故A正确；
两人至少一人获得满分的概率为，故B错误；
两人恰好只有甲获得满分的概率为，故C错误；
两人至多一人获得满分的概率为，故D错误．
故选：A．
16．已知平面所成角为为两平面外一点，则过点且与平面所成角均为的直线有（ ）条.
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】作出两平面所成二面角的平面角，先考虑二面角内符合题意的直线，再考虑在二面角的邻补的二面角内符合题意的直线，综合可得答案.
【详解】如图，作出两平面所成二面角的平面角，则，

设为的平分线，则，
当以O为中心，在二面角的角平分面上旋转时，与两平面的夹角变小，
此时与平面所成角均为的直线仅这一条；
设为的补角的角平分线，则，
当以O为中心，在二面角的邻补的二面角的角平分面上旋转时，与两平面的夹角变小，
此时在的两侧会各出现一条与两平面成的直线，可设为，
故过点P可作一条与平行的直线，符合题意；可作与平行的直线各一条，符合题意，
故过点且与平面所成角均为的直线有3条，
故选：C
三、解答题
17．已知向量，.
(1)求实数的值，使；
(2)若，求与的夹角的余弦值.
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）根据平面向量坐标运算求出向量坐标，然后根据模长公式可求答案；
（2）先求向量的模，再根据平面向量夹角运算公式可求答案.
【详解】（1）因为，，
所以，；
因为，所以，
解得.
（2）由题意得，，
所以，；
所以.
18．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活、蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示，一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示，已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米．
(1)求该蒙古包的侧面积．
(2)求该蒙古包的体积．
【答案】(1)平方米
(2)立方米
【分析】（1）先求出圆锥和圆柱的侧面积，再求和即可；
（2）先求出圆锥和圆柱的体积，再求和即可.
【详解】（1）依题意得米，米，米，
所以米，
所以圆锥的侧面积为平方米，
圆柱的侧面积为平方米，
所以该蒙古包的侧面积为平方米.
（2）圆锥的体积为立方米，
圆柱的体积为立方米，
所以该蒙古包的体积为立方米.
19．如图，在直棱柱中，，，点、、分别是、、的中点．

(1)求与平面所成角的大小；
(2)求到平面的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出平面的一个法向量，设与平面所成角为，利用向量数量积求解角大小即可.
（2）利用点到面的距离公式求解即可.
【详解】（1）以为坐标原点、为轴、为轴、为轴建立如图的空间直角坐标系.

由题意可知,,,.
故
设是平面的一个法向量,
又,,
故由，令，解得，故.
设与平面所成角为,则，
所以与平面所成角为.
（2）由（1）知平面的法向量为，.
设到平面的距离为,
故
所以到平面的距离为.
20．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，．
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)求该企业50名职工对该部门评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值表示）；
(3)从评分在的职工的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率．
【答案】(1)
(2)80
(3)
【分析】（1）根据频率和为求解即可；
（2）直接根据频率分布直方图计算平均数即可；
（3）先计算各组的频数，再结合古典概型公式计算即可；
【详解】（1）解：因为，解得；
所以
（2）解：可估算样本平均数为
；
（3）解：由题知，人，，
所以，评分在的职工有人，记为，
评分在的职工有人，记为，
所以，从中随机抽取人，所有的情况为：，，，共10种，
其中，此2人评分都在的有，3种，
所以，此2人评分都在的概率．
21．已知函数
(1)当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有的值；
(2)若为偶函数，设，若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围.
【答案】(1)1，
(2)
(3)
【分析】（1）由题意可得 ，由正弦函数的性质求解即可；
（2）由题意可得,，将问题转化为 ，且 在 上恒成立，结合正弦函数的性质即可求解；
（3）由题意可得将问题转化为结合正弦函数的性质及二次函数性质求解.
【详解】（1）当时，,
所以当，即 时，所以 ,此时 ；
（2）因为 为偶函数，所以,
所以,
所以
，
又因为在上恒成立，
即在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，
所以 ，且 在上恒成立，
因为，所以，所以，
解得
所以 m 的取值范围为;
（3）因为过点，所以
所以，
又因为,所以,
所以 ，
又因为对任意的，，都有成立，
所以，

因为，所以 ，
设 ,
则有 图像是开口向下，对称轴为 的抛物线，
当 时，在 上单调递增，所以 ,
所以，解得
所以；
当 时， 在上单调递减，
所以 ,
所以，解得
所以;
当时，,
所以，解得所以,
综上所述：所以实数 a 的取值范围为
【点睛】关键点点睛：关键点是把恒成立转化为结合正弦函数的性质及二次函数性质求解即可.