2023-2024学年四川省遂宁市射洪市射洪中学校高二上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年四川省遂宁市射洪市射洪中学校高二上学期10月月考数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．圆心为，半径的圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据圆的标准方程的形式，由题中条件，可直接得出结果.
【详解】根据题意，圆心为，半径
圆的标准方程为；
故选：B．
2．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】利用复数的代数形式的乘法运算化简，求出其在复平面内对应点的坐标，即可得到答案．
【详解】，则在复平面内对应点的坐标为，所以位于第四象限．
故选：D．
【点睛】本题主要考查复数的乘法运算及复数的几何意义，属于基础题．
3．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据空间点关于面的对称点的坐标关系求解.
【详解】由空间直角坐标系中任一点关于平面的对称点为，
可得点关于平面的对称点的坐标为.
故选： B．
4．在平行六面体中，M为与的交点，，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用空间向量的线性运算进行求解．
【详解】．
故选：A．
5．已知点，点B在直线上，则AB的最小值为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】C
【分析】根据点和直线的位置关系，易知当与直线垂直时满足题意，求出点到直线的距离即可.
【详解】如下图所示：

易知当与直线垂直，且为垂足时，的值最小；
此时的最小值为点到直线的距离，
即.
故选：C
6．从甲、乙、丙、丁、戊五名同学中选2人参加普法知识竞赛，则甲被选中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用古典概型的概率求解.
【详解】从甲、乙、丙、丁、戊五名同学中选2人的基本事件有：
（甲、乙），（甲、丙），（甲、丁），（甲、戊），（乙、丙），（乙、丁），（乙、戊），（丙、丁），（丙、戊），（丁、戊），共10种，
甲被选中的基本事件有：（甲、乙），（甲、丙），（甲、丁），（甲、戊），共4种，
所以甲被选中的概率为，
故选：B.
7．台球运动中反弹球技法是常见的技巧，其中无旋转反弹球是最简单的技法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边之后按照光线反射的方向弹出，想要让目标球沿着理想的方向反弹，就要事先根据需要确认台边的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中．如图，现有一目标球从点无旋转射入，经过直线（桌边）上的点反弹后，经过点，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求得点关于的对称点坐标，由此可得直线方程，将方程与联立即可求得点坐标.
【详解】点关于对称的点为，
直线的方程为：，即，
由得：，点的坐标为.
故选：B.
8．已知直线：，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据直线的方程确定直线所过的定点，利用斜率公式求得直线和的斜率，根据过定点的直线与线段总有交点分析运算即可得解.
【详解】解：
如上图，由题意，直线方程可化为：
，由解得：，
∴直线过定点.
又∵，∴，，
∴由直线与线段总有公共点知直线的斜率满足或，
∴直线的倾斜角满足或，
即直线的倾斜角范围为.
故选：C.
二、多选题
9．经过点P（1，1），且在两轴上的截距相等的直线可以是（ ）
A．y=xB．x+y-2=0
C．x+2y-3=0D．3x-y-2=0
【答案】AB
【分析】分直线在两坐标轴的截距为，不为的两种情况，即可得出答案.
【详解】当直线在两坐标轴上的截距为时，设直线方程为：，
则，所以；
当直线在两坐标轴上的截距不为时，设直线方程为：，
把P（1，1）代入直线方程得：，解得：,
所以直线方程为：.
故满足条件的直线方程为：或.
故选：AB.
10．下列选项正确的是（ ）
A．若直线的一个方向向量是，则直线的倾斜角是
B．“”是“直线与直线垂直”的充要条件
C．“”是“直线与直线平行”的充要条件
D．直线的倾斜角的取值范围是
【答案】ACD
【分析】A项，通过求直线的斜率，即可得出直线的倾斜角；B项，讨论时直线与直线是否垂直，以及直线与直线垂直时的值，即可得出结论；C项，讨论时直线与直线是否平行，以及直线与直线平行时的值，即可得出结论；D项，通过求出直线的斜率，即可求出倾斜角的取值范围.
【详解】对于A项，在直线中，一个方向向量是，则直线的斜率为
∴直线的倾斜角是，A正确；
对于B项，当时，直线与直线变为：与
显然垂直，充分性成立.
当直线与直线垂直时，
解得：或，必要性不成立，故B错误；
对于C项，当时，直线与直线化为：与
即与，两直线平行，充分性满足要求.
若直线与直线平行
，解得：，必要性成立，故C正确；
对于D项，在直线中，该直线的斜率为
故倾斜角范围为.故D正确.
故选：ACD.
11．随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数.设事件“第一次为偶数”，“第二次为奇数”，“两次点数之和为偶数”，则（ ）
A．A与B互斥B．C．A与C相互独立D．
【答案】BCD
【分析】利用古典概型的概率公式求出、，即可判断B；根据互斥事件的定义即可判断A；根据相互独立事件的定义即可判断C；根据事件表示第一次为偶数或第二次为奇数，求出此事件的对立事件的概率即可求出，即可判断D.
【详解】解：由题意可得，，
所以，故B正确；
因为事件、可以同时发生或都不发生，故两事件不是互斥事件，故A错误；
因为事件、互不影响，所以、为相互独立事件，
则，
因为事件表示第一次为偶数且第二次为偶数，
所以，
又，所以与相互独立，故C正确；
事件表示第一次为偶数或第二次为奇数，
它的对立事件为第一次奇数且第二次都是偶数，
所以，故D正确.
故选：BCD.
12．如图，在直三棱柱中，，，为的中点，过的截面与棱，分别交于点F，G（G，E，F可能共线），则下列说法中正确的是（ ）
A．存在点F，使得
B．线段长度的取值范围是
C．四棱锥的体积为2时，点F只能与点B重合
D．设截面，，的面积分别为，，，则的最小值为4
【答案】BCD
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点、，其中，，利用空间向量垂直的坐标表示可判断A选项；求出与的关系式，利用反比例函数的基本性质可判断B选项；利用等积法可判断C选项；利用基本不等式可判断D选项.
【详解】因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、，设点、，其中，.
对于A选项，若存在点，使得，且，，
，解得，不合乎题意，A错；
对于B选项，设，其中、，
即，即，可得，
，则，所以，，B对；
对于C选项，，
其中，故，
又，故
即，故点F只能与点B重合，C对；
对于D选项，，，
则点到直线的距离为，
，则点到直线的距离为
，
所以，，故，
，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，D对.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：建立空间直角坐标系，运用空间向量的性质是解题的关键.
三、填空题
13．平行直线与之间的距离为 ．
【答案】/0.3
【分析】根据平行线间的距离公式即可求得答案.
【详解】由题意得即
则平行直线与之间的距离为，
故答案为：
14．已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为 ．
【答案】/
【分析】根据复数的除法运算以及虚部的概念求解.
【详解】由题可得，，
所以虚部为,
故答案为: .
15．在空间直角坐标系中，若，，且，则 .
【答案】
【分析】根据列方程得到，然后求模即可.
【详解】因为，所以，解得，所以，.
故答案为：.
16．已知直线：，：，直线垂直于，，且垂足分别为A，B，若，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据条件设出直线的方程为，求出点，坐标，用表示出，再借助几何意义即可计算得解．
【详解】由直线垂直于，，则设的方程为，
由，得，由，得，
由，，得，
表示动点到定点与的距离的和，
动点在直线上，点与在直线两侧，
则有，
当且仅当是直线与线段的交点，即原点时取“”，此时，
所以取最小值，
则的最小值为．
故答案为：．
四、解答题
17．已知三角形的三个顶点，，．
(1)求AC边所在直线的一般方程；
(2)求AC边上的高所在直线方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据直线的两点式方程，求出直线AC的方程即可；
（2）求出直线AC的斜率，得到AC边上高线的斜率，点斜式求AC边上的高所在直线方程.
【详解】（1）三角形的三个顶点，，．
则直线AC的方程为，
化为一般方程是；
（2）AC边所在直线的斜率为，
则有AC边上的高所在直线的斜率为，
所以AC边上的高所在直线的方程为，
即．
18．分别根据下列条件，求圆的方程：
(1)过点，，且圆心在直线上；
(2)过、、三点．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设圆心坐标为，由，解出，可求得圆心和半径，得到圆的方程；
（2）设直线的一般式方程，代入、、三点，求出系数即可.
【详解】（1）圆心在直线上，设圆心坐标为，
圆过点，，则有
即，解得，
可得圆心坐标为，圆的半径，
所以圆的方程为.
（2）设过、、三点的圆的方程为，
则有，解得，
故所求圆的方程为.
19．俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升．燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查，现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示：
(1)求的值及样本数据的第50百分位数；
(2)若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率．
【答案】(1)，第50百分位数为；
(2)
【分析】（1）利用频率分布直方图所有小矩形面积和为1计算求解，根据频率分布直方图和第50百分位数定义计算；
（2）利用分层抽样的概念和古典概型计算公式计算即可．
【详解】（1）依题意，，；
前三组的频率之和，
前四组的频率之和
样本数据的第50百分位数落在第四组，且第50百分位数为；
（2）与两组的频率之比为1：2，
现从与两组中用分层抽样的方法抽取6人，
则组抽取2人，记为，组抽取4人，记为．
从这6人中随机抽取2人，所有可能的情况为：
，共15种，
其中至少有1人的年龄在的情况有，共9种，
记“抽取的2人中至少有1人的年龄在组”为事件A，则.
20．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，AC与BD交于点O，底面ABCD，F为BE的中点，．
(1)求证：平面ACF；
(2)求AF与平面EBD所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解答
(2)
【分析】（1）通过证明，得证平面ACF；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值.
【详解】（1）证明：如图，连接，
因为底面是菱形，与交于点，可得点为的中点，
又为的中点，所以为的中位线，可得，
又平面，平面，
可得平面；
（2）以，所在直线为，轴，过作 的垂线所在直线为轴，建立如图所示的坐标系，
因为ABCD是菱形，，为等边三角形，
不妨设，则，，，，，
可得，，
设平面的一个法向量为，可得，
不妨取，则，可得.
又，
可得与平面所成角的正弦值为：.
21．过直线与的交点作直线分别与轴正半轴交于点．
(1)若与直线平行，求直线的方程；
(2)对于最小，面积最小，若选择_____作为条件，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)若选，直线的方程为；若选，直线的方程为
【分析】（1）联立方程组求出点坐标，由与直线平行，设直线的方程为，代入点坐标，即可求直线的方程；
（2）若选，利用基本不等式求最小时的条件，可求直线的方程；若选，利用基本不等式求面积最小时的条件，可求直线的方程.
【详解】（1），解得，即，
若与直线平行，设直线的方程为，
代入，解得，
直线的方程为.
（2）设，，则直线的方程为，
代入点可得.
若选：
，
当且仅当，即时等号成立，有最小值，
此时直线l的斜率
所以直线l的方程为，即.
若选：
由，可得，当且仅当时等号成立，
所以，即面积最小为4，
此时直线l的斜率，所以直线l的方程为，即.
五、证明题
22．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为.

(1)求证：平面；
(2)若点为棱的中点，求点到平面的距离；
(3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）法一：利用线面垂直、面面垂直的性质定理与判定定理可证；
法二：建立空间直角坐标系，利用数量积为0，可证，从而得证；
法三：如法二建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，证明其与平行，从而得证；
（2）利用空间向量法求点到面的距离；
（3）利用空间向量求出二面角的余弦值，再借助函数性质求值域.
【详解】（1）法一：连结，因为为等边三角形，为中点，，
又平面，平面，
平面
平面，又平面，
由题设知四边形为菱形，，
分别为中点，，
又平面平面.
法二：由平面，平面，
又为等边三角形，为中点，，则以为坐标原点，所在直线为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则
又平面平面.
法三：（同法二建系）设平面的一个法向量为

，即
不妨取，则，则
所以平面的一个法向量为
，，，平面
（2）由（1）坐标法得，平面的一个法向量为（或）
点到F到平面的距离=
（3）
设，则，
；
由（1）知：平面平面的一个法向量
（或者由（1）中待定系数法求出法向量）；
设平面的法向量，
则，令，则；
，
令，则；
，
即锐二面角的余弦值的取值范围为.