2023-2024学年云南省开远市第一中学校高二上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年云南省开远市第一中学校高二上学期10月月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得.
【详解】由，即，解得或，
所以或，
所以，
又，所以.
故选：B
2．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由复数的坐标表示及共轭复数概念可得答案.
【详解】由题，，故，
故选：D
3．已知点是角终边上一点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义及诱导公式即可求解.
【详解】因为，所以.
故选：B.
4．如图所示，在中，，则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.
【详解】根据向量的线性运算法则，可得：
.
故选：A.
5．记是等差数列的前n项和，若，，则（ ）
A．16B．8C．4D．2
【答案】C
【分析】利用等差数列定义可求得是以为首项，2为公差的等差数列，代入前n项和公式可求得.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
根据题意可知，解得；
所以可得.
故选：C
6．已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ）
A．2023B．C．3D．
【答案】B
【分析】根据已知求出的周期、可得答案.
【详解】因为是定义域为的奇函数，所以，，
因为，所以，
可得，所以的周期为4，
因为，，，所以，
，
所以，
则.
故选：B.
7．已知抛物线C：，点M在C上，直线l：与x轴、y轴分别交于A，B两点，若面积的最小值为，则（ ）
A．44B．4C．4或44D．1或4
【答案】B
【分析】为定值，设则可将面积表示为以为自变量的二次函数，依据二次函数的性质可将面积的最小值用表示出来，因为面积的最小值为，解方程可以求出的值.
【详解】不妨设，，由，，
知．设，
则，
故，故.
故选：B．
8．已知圆台的上下底面半径分别为2和5，且母线与下底面所成为角的正切值为，则该圆台的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据圆台的轴截面，结合正切函数的定义、圆台表面积公式进行求解即可.
【详解】如图所示圆台的轴截面，

过点作，
因此有，
因为母线与下底面所成为角的正切值为，
所以，
该圆台的表面积为，
故选：D
二、多选题
9．设等差数列的前n项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．最大C．D．
【答案】AD
【分析】由已知条件可得，然后逐个分析判断即可
【详解】因为，所以，得，即，则A正确.
当时，，则，最小，故B错误.
因为，所以，所以，
对称轴为，所以，则C错误.
因为，所以D正确.
故选：AD
10．已知空间四点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．点到直线的距离为D．四点共面
【答案】BD
【分析】根据空间向量的坐标表示公式、夹角公式，结合四点共面的性质、点到线距离公式逐一判断即可.
【详解】A：因为，
所以，因此本选项不正确；
B：因为，
所以，因此本选项正确；
C：，
，
所以
所以点到直线的距离为，因此本选项不正确；
D：因为，
所以有，因此是共线向量，
所以四点共面，因此本选项正确，
故选：BD
11．已知椭圆的焦点分别为，，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．椭圆C的离心率为
C．直线l的方程为D．的周长为
【答案】AC
【分析】先由题意求出即可判断A；再根据离心率公式即可判断B；由点差法可以求出直线l的斜率，由直线的点斜式化简即可判断C；由焦点三角形的周长公式即可判断D.
【详解】如图所示：

根据题意，因为焦点在y轴上，所以，则，故选项A正确；
椭圆C的离心率为，故选项B不正确；
不妨设，则，，
两式相减得，变形得，
又注意到点为线段的中点，所以，
所以直线l的斜率为，
所以直线l的方程为，即，故选项C正确；
因为直线l过，所以的周长为，故选项D不正确.
故选：AC．
12．已知函数，下列四个选项正确的是（ ）
A．是偶函数
B．是周期函数
C．在，上为增函数
D．的最大值为
【答案】AD
【分析】根据角的范围分段写出函数解析式，结合奇偶性，周期性，单调性及最值判断各个选项即可.
【详解】对于选项A，的定义城为R，关于原点对称，
又，
所以是偶函数，故选项A正确；
对于选项B，
先画出函数在的图象，再利用对称性得到的图象.
由函数的图象可知，不存在非零实数T使得对任意实数x恒成立，故选项B不正确；
对于选项C,当，时，，
所以，，单调递减，故选项C错误；
对于选项D,当，时，；
当，时，，
因为，，所以，，
所以，所以；
当，时，；
当，时，，
因为，，所以，所以，
绿上所述，当时，的最大值为，
由于为偶函数，所以当时，的最大值也为，故的最大值为，故选项D正确.
故选：AD.
三、填空题
13．2023年四川省高考分数公布后，石室中学再续辉煌，某基地班的12名同学成绩分别是（单位：分）：673，673，677，679，682，682，684，685，687，691，697，705，则这12名学生成绩的上四分位数为 .
【答案】689
【分析】根据上四分位数的定义进行求解即可.
【详解】因为12，
所以这12名学生成绩的上四分位数为，
故答案为：689
14．已知正实数x，y满足，则的最小值为 ．
【答案】25
【分析】由题意得，化简后利用基本不等式可求得其最小值.
【详解】因为正实数x，y满足，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为25.
故答案为：25.
15．社会实践课上，老师让甲、乙两同学独立地完成某项任务，已知两人能完成该项任务的概率分别为，则此项任务被甲、乙两人中至少一人完成的概率为 ．
【答案】
【分析】根据两人是否完成任务之间是相互独立，结合独立事件和对立事件的概率计算公式，即可求解.
【详解】由题意知，两人能完成该项任务的概率分别为，且两人是否完成任务是相互独立的，
可得两人都未完成任务的概率为,
则此项任务被甲、乙两人中至少一人完成的概率为.
故答案为：.
16．已知向量，，若非零向量满足，则取最小值时，的坐标为 .
【答案】
【分析】设，根据已知列出关系式，代入坐标整理得出.表示出，根据二次函数的性质，即可得出最值，求出答案.
【详解】设，
则由，得，所以，
所以，即，化得.
又，
所以.
当时，取得最小值，
此时，即.
故答案为：.
四、解答题
17．已知点在圆上．
(1)求该圆的圆心坐标及半径长；
(2)过点，斜率为的直线与圆相交于两点，求弦的长．
【答案】(1)圆心坐标为，半径长为
(2)
【分析】（1）先根据点在圆上求出参数，再将圆的方程化为标准方程，即可得出圆心及半径；
（2）先写出直线方程，求出圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式即可得解.
【详解】（1）因为点在圆上，
所以，解得，
所以该圆的标准方程为，
所以该圆的圆心坐标为，半径长为；
（2）直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以.
18．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．
(1)求直方图中x的值；
(2)在被调查的用户中，求用电量落在区间内的户数；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据频率分布直方图的小矩形面积之和为1，计算即可；
（2）根据频率分布直方图直接计算，即可求解.
【详解】（1）解：由频率分布直方图，可得：，
解得.
（2）解：由频率分布直方图中的数据，可得用电量落在区间内的频率为：，
所以用电量落在区间内的户数为.
19．已知数列是递增的等差数列，，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，设数列的前项和为，求满足的的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据给定条件，利用等比中项列式求出公差即可求解作答.
（2）利用（1）的结论，利用裂项相消法求和，再解不等式作答.
【详解】（1）设递增等差数列的公差为，
依题意，，且，
则，，
所以有，而，解得，
，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，
则，
由得：，解得，而，则，
所以满足的n的最小值是13.
20．四棱锥中，四边形为菱形，，，平面平面．

(1)证明：；
(2)若，且与平面成角为，点在棱上，且，求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可得出平面，再利用线面垂直的性质可证得；
（2）设，推导出平面，可得出为与平面所成角，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面的夹角的余弦值．
【详解】（1）证明：因为四边形为菱形，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，
因为平面，故.
（2）解：设，则为、的中点，
又因为，则，
又因为平面，平面，所以，，
因为，、平面，所以，平面，
为与平面所成角，故，
由于四边形为边长为，的菱形，
所以，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
由得
，且，
设平面的法向量为，
则，取，则，所以
又平面的一个法向量为，所以，.
故平面与平面的夹角的余弦值为.
21．已知锐角中，角所对的边分别为；且．
(1)若角，求角；
(2)若，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两角差的正弦公式及同角三角函数的商数关系即可求解；
（2）根据（1）的结论及正弦定理，利用三角形的内角和定理及降幂公式，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】（1），
，即，
，
，
，
，
又，
，
.
（2）由（1）得，则，
由正弦定理得，
，
，
由正弦定理得则，
，
,
,
,
为锐角三角形，且，
，
，
，
当时，取得最大值为，
故的最大值为.
22．已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1.
(1)求的方程；
(2)设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与圆分别交于两点，记四边形的面积为，的面积为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）运用双曲线的焦点到渐近线的距离为b，双曲线的离心率公式计算即可.
（2）联立直线PQ方程与双曲线方程，运用韦达定理计算可得，设出直线AP、AQ方程，联立双曲线方程可求得、、、，进而求得的范围，再结合可求得结果.
【详解】（1）由题可知是双曲线的一条渐近线方程，右焦点为，
所以右焦点到渐近线的距离，
又因为，所以，则依题意可得，
由离心率，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）如图所示，

由（1）知，，
设直线的方程：，
由得，
因为直线与双曲线的右支交于两点，
所以解得，
，
所以，
设，且，
所以，即，所以，
又因为，所以，
由，得，
所以，同理可得，
由得，
所以，同理可得，
所以
，
令，由，得，
所以，
令，
因为在区间上为增函数，
所以的取值范围为，
又因为，
所以的取值范围为.
【点睛】方法点睛：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
（4）利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．